高一数学寒假作业.docx

1、高一数学寒假作业1.y=log0.5(4-x2) 0.5是底数 求单调区间 求单调性,首先要注意函数的定义域,再利用复合函数单调性法则.函数y=log0.5(4-x2) 的定义域为：（-2,2）,因为该函数为复合函数,外部为对数函数,而底数为0.51,所以外层函数单调递减,设h=4x2,当h递增时原函数递减,当h递减时原函数递增,h=4x2的增区间为（,0）,减区间为（0,+）,由定义域为：（-2,2）,所以原函数的单调减区间为（2,0）,单调增区间为（0,2）.2.函数y=lg(mx2-2x+1)的定义域是R，求实数m的取值范围lg(mx2-2x+1)的定义域为R 即mx2-2x+10在xR

2、上恒成立 (1) 当a=0 -2x+10不恒成立 (2) 当m0 mx2-2x+10在xR上恒成立 只需0 4-4m1(3) 当m0在xR上恒成立 综上所述m13.设0x1，a0，a1，比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小解一：当a1时，|loga（1-x）|=-loga（1-x），|loga（1+x）|=loga（1+x），|loga（1-x）|-|loga（1+x）|=-loga（1-x）+loga（1+x）=-loga（1-x2）a1，01-x21，-loga（1-x2）0，|loga（1-x）|loga（1+x）|当0a1时，|loga（1-x）|=loga（1-x

3、），|loga（1+x）|=-loga（1+x），|loga（1-x）|-|loga（1+x）|=loga（1-x2）0a1，01-x21，loga（1-x2）0，|loga（1-x）|loga（1+x）|因此当0x1，a0，a1时，总有|loga（1-x）|loga（1+x）|4.证明二次函数y=ax2+bx+c(a0)在-b/2a,+)上是增函数.令x1=t1-b/2a,x2=t2-b/2a,t1t20.那么,y1-y2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(t1-b/2a)2-(t2-b/2a2)+b(t1-t2)=a(t1-t2)(t1+t2-b/a)+b(t1-t2)=(t1-

4、t2)(at1+at2)0,因此y=ax2+bx+c(a0)在-b/2a,+)上是增函数.5.已知定义域在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)=x2+x-1,那么当x=0时,f(x)=_;当x0时,f(x)=_解析：f（x）为定义域在R上的奇函数,f（-x)=-f(x),且f(0)=0又当x0时,f(x)=x2+x+1,当x0时,-x0,则f(-x)=（-x）2+（-x）+1=x2-x+1即-f(x)=x2-x+1,f(x)=-x2+x-1,综上有f(x)=x2+x+1,x00 ,x=0-x2+x-1,x06.已知函数f(x)是偶函数,而且在(-无穷,0)上是减函数,判断f(x)在(0,正

5、无穷)的单调性,并证明你的判断解析：函数f(x)是偶函数,而且在(-无穷,0)上是减函数函数f(x)是偶函数,而且在(0,+无穷)上是增函数证明：函数f(x)是偶函数f(-x)=f(x)设0x1-x2=f(-x1)f(x1)f(x2)函数f(x)是偶函数,而且在(0,+无穷)上是增函数7.已知函数f(x)=2x-2-x/2x+2-x证明：f(x)是单调函数；求函数的定义域和值域f(x)=2x-2(-x)/2x+2(-x)=(2x-1/2x)/(2x+1/2x)=(4x-1)/(4x+1)=1-2/(4x+1)。(1)设x1x2，则4x14x2。 f(x1)-f(x2)=2(4x1-4x2)/(

6、4x1+1)(4x2+1)0，即f(x1)0在R上恒成立，所以f(x)的定义域是R。 4x+11，01/(4x+1)1，-2-2/(4x+1)0，-11-2/(4x+1)1。 所以f(x)的值域为(-1,1)。8.设函数f（X）=丨lgx丨，若0af（b），证明：abba0 在这个情况下f(a)=-lga f(b）=-lgb f(a)+f(b)=-lgab 因为f(a)0 f(b)0 所以lgab0 所以ab1a0 在这个情况下f(a)=-lga f(b）=lgb 因为f(a)f(b) 所以f(a)-f(b)=-lgab0 所以lgab0 所以aba1 在这种情况下不存在f(a)f(b) 综上

7、 ab0时,由基本不等式得：x+1/x2x(1/x)=2,等号只当x1/x时,即x=1时取得,当x0的,由基本不等式得-（x+1/x）2-x(-1/x)=2,两边除以-1,得x+1/x-2.等号只当-x=-1/x,即x=-1时候取得.单调性可以通过求导数得到（你自己求下导,研究下）.以下研究函数f(x)=x+1/x的渐近线.limx趋于（x+1/x-x）=limx趋于（1/x）=0,这说明了直线y=x是函数f(x)=x+1/x的斜渐进线.图像为：对于f(x)=ax+b/x,a,b皆大于零的研究也是一样的,你可以按照上面研究f(x)=x+1/x的步骤研究f(x)=ax+b/x,a,b皆大于零.这

8、里我求下这个函数的渐近线,limx趋于（ax+b/x-ax）=limx趋于（b/x）=0,这说明了,函数f(x)=ax+b/x的渐近线是y=ax.f(x)=x+1/x D=(-无穷大,0)并(0,+无穷大)是奇函数 在(-无穷大,-1)和(0,1)上单调递减,(-1,0)和(1,+无穷大)上单调递增 值域是(-无穷大,-2并2,+无穷大)f(x)=ax+b/x=a(x+b/ax) D=(-无穷大,0)并(0,+无穷大) 是奇函数拐点在x=b/ax处取到,即x=+-sqrt(b/a)所以在(-无穷大,-sqrt(b/a)和(0,sqrt(b/a)上单调递减,(-sqrt(b/a),0)和(sqr

9、t(b/a),+无穷大)上单调递增，将拐点代入,值域是(-无穷大,-2sqrt(ab)并2sqrt(ab),+无穷大)拐点求法仍然利用基本不等式f(x)=ax+b/x=2sqrt(ax*b/x)=2sqrt(ab)当且仅当ax=b/x 即x=sqrt(b/a)时等号成立图像形状相似10.当a,b满足什么条件时,集合A=xlax+b=0是有限集、无限集、空集?问题即是讨论方程ax+b=0解的情况当a0时,方程ax+b=0为一元一次方程,方程有唯一解x=-b/a当a=0,b=0时,0=0为恒等式,x可取任意值当a=0,b0时,b=0不可能成立,x无解所以,当a0时,集合A=xlax+b=0是有限集

10、,且为单元素集合-b/a当a=0,b=0时,集合A=xlax+b=0是无限集,即为实数集R当a=0,b0时,集合A=xlax+b=0是空集11.已知f(x)=log3(2x-3x2) 1.求f(x)的值域 2.求f(x)的单调递增区间log3(a)为增函数a0设a=2x-3x2所以0x2/3函数a在0x1/3单调递增在1/3x2/3单调递减所以f(x)在0x1/3单调递增在1/3x2/3单调递减f(x)在x=1/3时取得最大值-1f(x)的值域为(负无穷,-112.求函数f(x)=x2-2x-3,x0,b的值域如题.f(x)=(x-1)2-4对称轴x=1,开口向上若0b1则定义域在对称轴左边,

11、是减函数所以最大=f(0)=-3,最小=f(b)=b2-2b-3若1=b=2则x=1时,f(x)最小=-4,且b比0离对称轴更远所以最大=f(b)=b2-2b-3综上0b1,值域b2-2b-3,-31=b=2,值域-4,b2-2b-313.某城市的一种出租车,当行驶路程小于3km是,车费都为10元；大于或等于3km但小于15km时；超过3km的那部分路程每千米收费1.6元；大于或等于15km时.超过15km的那部分每千米收费2.4元乘客.乘客为了估算应付的车费,需要一个较简单的公式.假设路途上没有停车等侯.1.算出车费y元与行驶路程x千米之间的函数关系式吗?2.画出这个函数的图像1、当0X3时

12、,y=10 当3X15时,y=10+1.6(x-3),即y=1.6x+5.2 当X15时,y=29.2+2.4(x-15),即y=2.4x-6.82、图像如下：14.设函数f(x)与g(x)的定义域是XR且X1,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/x-1,求f(x)和g(x)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)f(x)+g(x)=1/(x-1).(1)f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)=-1/(x+1)即f(x)-g(x)=-1/(x+1).(2)(1)+(2)得2f(x)=1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x2-1

13、)(1)-(2)得2g(x)=1/(x-1)+1/(x+1)=2x/(x2-1)15.若关于x的方程3tx+(3-7t)x+4=0的两个实数根，满足012，求实数t的取值范围 16.有一批仪器原售价为每台1000元，在甲，乙两家商店均有销售。甲商店用以下的方式促销；买一台的单价为980元以此类推，每多买一台则所各买台单价在减少20元，但每台最低不能低于640元；乙商店一律按原价的75%销售。某学校需购买一批此类仪器，则取哪家商店购买花费较少？设这所学校购买x台这种仪器，甲乙两商店的购货款的差价为y元。则去甲商店购买共花费（100020x）x，依题意：100020x640解得：1x18（xN）去

14、乙商店购买共花费750x（xN） （4分）所以当1x18（xN）时，y（100020x）x750x20x2+250x （6分）当x18（xN）时，y640x750x110x （8分）则y0时，1x12（xN）y0时，x13（xN)所以要买少于13台，到乙商店购买花费较少，要买多于12台，到甲商店购买花费较少17.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6,经过这三个点的小圆的周长为4,球该球的半径?答案是 球的半径为2 * 根号3.由于任意两点的球面距离相等,所以这三点构成一个等边三角形(球面距离相等可以推出所在大圆的弧长相等,继而弦长相等,所以空间距离相等).又经过三点的小

15、圆是这个等边三角形的外接圆,且周长为4,容易算出其半径为2,所以等边三角形的边长为2 * 根号3.同时,任意两点的球面距离为大圆周长的1/6,所以等边三角形的边恰好是大圆的内接正六边形的边,容易算出大圆的半径等于等边三角形的边长,故为R = 2 * 根号3.18.如图 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为BC,CD,CC的中点。（1）判断直线BD与平面PQR的位置关系（2）判断平面ABD与平面PQR的位置关系（3）判断平面PQR与平面DDBB的位置关系（4）如果P，R分别是BC，CC上的动点，当点P，R满足什么条件时，PR平面ABD？(1)BDBDPQ，PQ平面PQRBD平面PQR(2)QRCDAB，PQBDQRPQ=平面PQR，ABBD=平面ABD平面ABD平面PQR(3)相交(4)必须满足PRAD，才能有PR平面ABD此时PRBCPC/RC=BC/CC