中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案.docx
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中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案
经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”
一.名称由来
在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：
有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！
二.模型建立
【模型一：
定弦定角】
【模型二：
动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】
【模型三：
直角所对的是直径】
【模型四：
四点共圆】
三．模型基本类型图形解读
【模型一：
定弦定角的“前世今生”】
【模型二：
动点到定点定长】
【模型三：
直角所对的是直径】
【模型四：
四点共圆】
四．“隐圆”破解策略
牢记口诀：
定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
五．“隐圆”题型知识储备
六．“隐圆”典型例题
【模型一：
定弦定角】
1.（2017威海）如图1，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足
∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_。
简答：
因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。
因为AC定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。
当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：
点圆距离），
此时BP=2-2
2.
如图1所示，边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。
简答：
因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故A、B、O三点共圆，圆心角为60°，故以AB为边向O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以QA为半径作
⊙Q（如图2），由知识储备二可知当OC⊥AB时，OC距离最大，
OC=OQ+QH+HC=2++
=2+2
【思考：
若∠BOD=45°呢？
（提示：
需要构造倍角
模型）】
3.
如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积最大值为（）
A.2B.1
C.
1
D.
2
简答：
因为AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB是圆周角，故圆心角为90°，以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心（如图2），由“知识储备二”可知，当OQ⊥AB时，此时△OAB的高OH最大，面积最大。
面积为
1ABOH12（21）
22
21，所以此题选择B。
同学：
老师，你说错答案了，选C。
小段老师：
没错啊，就选B啊。
同学：
你是老师，你说了算，你开心就好...
小段老师：
题目有告诉你们A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于45°吗？
如图3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知当OQ⊥AB时，此时△OAB的
面积最大为1ABOH12（2+1）
22
2+1，故答案选B
4.如图1，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、
C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值
简答：
如图2，由M、N点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM
（如图2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P在⊙Q上，由“知识储备三”可知，当△ABP是等腰三角形时，
△ABP周长最短。
又由△APB是定角为120°的等腰三角形，故AP:
BP:
AB=1:
1:
，
AB=AC=2
，故PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为4+2
【模型二：
动点到定点定长】
1.
如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=度。
简答：
如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心的圆上，故∠CBD=1∠
2
CAD=38°
2.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=。
简答：
如图2，因为DA=DB=DC，故A、B、C三点在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠
ADB=140°，故∠ACB=1∠ADB=70°
2
3.
如图1，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD
简答：
因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故EB=CD=6，ED=2AD=10，故BD=8
4.
如图1，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？
.
简答：
由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。
5.在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，现有一根长为2的木棒EF紧贴着矩形的边（即
两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为？
如图1如图2
简答：
由上一题可知，P的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点P所围成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：
6
6.如图1，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？
如图1如图2
简单：
G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A＇，则AP+PG=A＇P+PG，当A＇、P、G三点共线时，最短，又因为A＇为固定点，G在圆上运动，由“知识储备一”可知当A＇、G、D三点共线时，此时A＇G最短，为4
7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），B为y轴正半轴上的点，C为第一象限内的点，且AC=2.设tAN∠BOC=M，则M的取值范围为？
简答：
因为AC=2，A是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）可知，C在⊙A上运动，当OC与⊙A相切时，此时∠BOC最小，tAN∠BOC也最小，此
时∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此时tAN∠CAO=OC5，
AC2
又因为角度越大，正切值越大，故tAN∠BOC=M≥5
2
8.
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是？
简答：
E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=2不变，故P点到F点的距离永远等于2，故P在⊙F上运动，如图2。
由垂线段最短可知，FH⊥AB时，FH最短，当F、P、H三点共线时，PH最短，又因为△AFH∽△ABC，所以AF:
FH:
AH=5:
4:
3，又因为AF=5，故FH=4，又因为FP=2，故PH最短为2
9.如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝33，M是AD边的中点，N是
AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN，连接PC，则PC长度的最小值是？
简答：
翻折过程中，MP=MA=2，故P在⊙M上运动，当M、P、C三点共线时，PC最短。
PC=MC-MP，要求MP需要过M作MH⊥CD于H，∠HDM=30°，故HM=1，HD=，
故HC=4，故易求MC=7，则PC=7-2=5
【模型三：
直角所对的是直径】
1.如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有
AP⊥BP，则线段CP长的最小值为？
简答：
如图2，因为AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故P在以AB为直径的
⊙H上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3，BC=4则HC=5，故CP=5-3=2
2.如图1，A（1,0）、B（3,0），以AB为直径作圆M，射线OF交圆M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为弦EF的中点，当射线绕O旋转时，CD的最小值为？
简答：
因为D是EF中点，故MD⊥EF，故∠ODM始终等于90°，故D在以OM为直径的圆上，如图2。
易知A为圆心，当A、D、C三点共线时，CD最短，CD=AC-AD，又易
知C（2,1），故AC=，故CD=-1
3.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交
射线AB,BC于E、F，则EF的最小值为？
简答：
因为∠EOF=90°，∠C=90°，故C、O均在以EF为直径的圆上（也称四点共圆），因为EF是圆的直径，O、C均在圆上，且OC长度固定，要使得EF最短，则圆最小，要使圆最小，OC为固定长度，则OC为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢磨），此时CO=EF=OA=OB=5（斜边上中线等于斜边一半）
4.
如图1，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围．
简答：
以CQ为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，若AB边上的动点P在圆上，
∠CPQ就为直角．当⊙O与AB相切时（如图2），直径CQ最小．由切线长定理，得AP＝
AC＝5，所以BP＝13―5＝8．再根据△BPO∽△BCA，所以OP＝10，CQ＝20．当点Q
33
与点B重合时（如图3），直径CQ最大，此时ＣＱ＝１２．综上所述，20≤CQ≤12
3
5.
如图1，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为？
简答：
因为∠CFA=90°（定角），AC=4
（定弦），故F在以AC为直径的⊙Q上，当E
在B处时，F在G处，当E在D处时，F在A处，故F的运动路径为弧AG的长度，易求
60
出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧AG长度=
2π23=23
3603
6.（2013武汉）如图1，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小
值是？
简答：
易证△ABE≌△DCF，△DAG≌△DCG，故∠DAG=∠DCG=∠ABE，又因为∠ABE+
∠AEB=90°，故∠EAH+∠AEH=90°，故∠AHB=90°，故H在以AB为直径的⊙O上，
当O、H、D三点共线的时候DH最小，DH=OD-OH=-1
7.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D为线段AC上一动点，将△BDC沿着BD翻折，点C的对应点为F，E为AC的中点，在D从C到A的运动过程中，当EF最短时，CD为？
简答：
在折叠过程中，BF始终等于BC，故F到B点的距离是定值，F在⊙B上，当EF最短时，B、E、F三点共线（如图2），此时∠BFD=∠BCD=30°，∠FBD=∠CBD=15°（因为BE=CE，故∠EBC=∠BCE=30°），故∠FDH=∠CDH=45°，∠FED=60°，故FD⊥CE，
EF=BF-BE=
1，又因为DF=DC，在Rt△EDF中
ED1EF
31，故
CD=1-ED=1
22
3133
22
8.（2017宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，
连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
简答：
（1）“K字形”秒杀，过程略，答案：
2
（2）由翻折全等可知∠B′AE=∠BAE=67.5°，又因为∠DAE=22.5°，故∠B′
AF=45°，故△AB′F、△DFE均为等腰直角三角形，后面略，答案：
5
2
（3）
折叠过程中始终有AC＇=AC，故C＇在以A为圆心，AC为半径的圆上。
根据点E在C时，C＇在C点，点E移动到D时，C＇在如图3位置，
π
易求C′运动的圆弧的圆心角为60°，故C′运动的轨迹为602π2=2
【模型四：
四点共圆】
3603
1.如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AF与BD交于N，AE与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形
简答：
因为∠1=∠2=45°，∠3=∠4，故A、B、E、N四点共圆，因为∠ABE=90°，故AE为直径，故∠ANE=90°，故△ANE是等腰直角三角形，同理可证△AMF是等腰直角三角形
（此题也是很经典的“半角模型”问题之一）
2.
如图1，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为？
简答：
因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，如图2。
∠EOD=2∠ECD=120°，故ED=3R，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故直径PC
最小，当CP⊥AB时，PC最短为3
，故R=33，故DE=
2
3R
3339
22
3.如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形APQR，连接CQ，延长BP交于CQ于点E，求证：
E是线段CQ的中点
简答：
因为AC=AQ，AB=AP且∠BAP=∠CAQ（旋转角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=
∠ACQ又因为∠1=∠2，故A、B、C、E四点共圆（如图2），因为∠ABC=90°，故AC是直径，故∠AEC=90°，又因为AQ=AC，所以AE垂直且平分QC（三线合一）
4.
如图1，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取AC的中点E，△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC相交于点H。
△GMN绕点E旋转的过程中，线段AH的最大值是？
简答：
因为EB=EN（分别是△ABC、△GMN的高），EC=EG，且∠GEC=∠NEB（旋转角相等），故△GEC∽△NEB，故∠GCE=∠EBH（前面相似主要目的是为了得到此处角相等，故不一定要说明相似，用内角和说明角相等亦可），又因为∠GCE+∠ECH=180°，所以∠EBH+∠ECH=180°，故E、B、H、C四点共圆，因为∠BEC=90°，所以BC为直径，圆
心O是BC中点，R=2，当A、O、H三点共线时，AH长度最大，AH=AO+OH=22
思考题：
如图，点D为∠ABC的一遍BC上一丁点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边
3
AB上移动，且PQ=2，若siNB=5，则当∠PDQ达到最大值时，PD的长为？
简单：
当DH垂直平分PQ时，∠PDQ最大，答案：
PD=（wHy？
自行思考）
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