《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1).ppt

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推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:

善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第二节,一、偏导数概念及其计算,二、高阶偏导数,偏导数,第九章,一、偏导数定义及其计算法,引例:

研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是,中的x固定于x0处,求,一阶导数与二阶导数.,关于t的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:

同样可定义对y的偏导数,若函数z=f（x,y）在域D内每一点（x,y）处对x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或y偏导数存在,例如,三元函数u=f（x,y,z）在点（x,y,z）处对x的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,（请自己写出）,二元函数偏导数的几何意义:

是曲线,在点M0处的切线,对x轴的斜率.,在点M0处的切线,斜率.,是曲线,对y轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：

但在该点不一定连续.,上节例,在上节已证f（x,y）在点（0,0）并不连续!

例1.求,解法1,解法2,在点（1,2）处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2.设,证:

例3.求,的偏导数.,解:

求证,偏导数记号是一个,例4.已知理想气体的状态方程,求证:

证:

说明:

（R为常数）,不能看作,分子与分母的商!

此例表明,整体记号,二、高阶偏导数,设z=f（x,y）在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f（x,y）,的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:

类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f（x,y）关于x的三阶偏导数为,z=f（x,y）关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,例5.求函数,解:

注意:

此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,例6.证明函数,满足拉普拉斯,证：

利用对称性,有,方程,则,定理.,例如,对三元函数u=f（x,y,z）,说明:

本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点（x,y,z）连续时,有,而初等,（证明略）,证明,定理.,证:

令,则,则,又令,同样,在点,连续,得,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,（与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序）,思考与练习,解答提示:

P129题5,P129题5,6,即xy0时,P129题6,

（1）,

（2）,作业,P681（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9

（2）,第三节,备用题,设,方程,确定u是x,y的函数,连续,且,求,解:

第九章,*二、全微分在近似计算中的应用,应用,第三节,一元函数y=f（x）的微分,近似计算,估计误差,本节内容:

一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义:

如果函数z=f（x,y）在定义域D的内点（x,y）,可表示成,其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，,称为函数,在点（x,y）的全微分,记作,若函数在域D内各点都可微,则称函数,f（x,y）在点（x,y）可微，,处全增量,则称此函数在D内可微.,

（2）偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:

（1）函数可微,函数z=f（x,y）在点（x,y）可微,当函数可微时:

得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1（必要条件）,若函数z=f（x,y）在点（x,y）可微,则该函数在该点的偏导数,同样可证,证:

因函数在点（x,y）可微,故,必存在,且有,得到对x的偏增量,因此有,反例:

函数,易知,但,因此,函数在点（0,0）不可微.,注意:

定理1的逆定理不成立.,偏导数存在函数不一定可微!

即:

定理2（充分条件）,证：

若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,例1.计算函数,在点（2,1）处的全微分.,解:

例2.计算函数,的全微分.,解:

可知当,*二、全微分在近似计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:

（可用于误差分析或近似计算）,（可用于近似计算）,半径由20cm增大,解:

已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则,高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解:

设,则,取,则,分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计,利用,令,z的绝对误差界约为,z的相对误差界约为,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：

故绝对误差约为,又,所以S的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例6.在直流电路中,测得电压U=24V,解:

由欧姆定律可知,（）,所以R的相对误差约为,0.3+0.5,R的绝对误差约为,0.8,0.3;,定律计算电阻为R时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流I=6A,相对误差为0.5,=0.032（）,=0.8,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:

2.重要关系:

定义,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,思考与练习,1.P75题5；P129题1,函数,在,可微的充分条件是（）,的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,答案:

也可写作:

当x=2,y=1,x=0.01,y=0.03时z=0.02,dz=0.03,3.P129题7,4.设,解:

利用轮换对称性,可得,注意:

x,y,z具有轮换对称性,答案:

作业P741（3）,（4）;3;*6;*9;*11,5.已知,第四节,在点（0,0）可微.,备用题,在点（0,0）连续且偏导数存在,续,证:

1）,因,故函数在点（0,0）连续;,但偏导数在点（0,0）不连,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点（0,0）不连续;,同理,在点（0,0）也不连续.,2）,3）,题目,说明:

此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:

一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点t可导,则复合函数,证:

设t取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,（全导数公式）,（t0时,根式前加“”号）,若定理中,说明:

例如:

易知:

但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广:

1）中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微.,2）中间变量是多元函数的情形.,例如,例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:

这里,表示f（x,（x,y）固定y对x求导,表示f（x,v）固定v对x求导,口诀:

与,不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,例1.设,解:

例2.,解:

例3.设,求全导数,解:

注意：

多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见,引入记号,例4.设,f具有二阶连续偏导数,求,解:

令,则,例5.设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:

已知,极坐标系下的形式,

（1）,则,题目,已知,注意利用已有公式,同理可得,题目,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1.,例6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:

所以,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论u,v是自变量还是中间变量,思考与练习,解答提示:

P81题7,P81题7;8

（2）;P130题11,P81题8

（2）,作业P812;4;6;9;10;*12（4）;*13,P130题11,第五节,备用题,1.已知,求,解:

由,两边对x求导,得,2.,求,解:

由题设,（2001考研）,第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数的求导方法,1）方程在什么条件下才能确定隐函数.,例如,方程,C0时,能确定隐函数,C0时,不能确定隐函数,2）方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.,本节讨论:

一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数y=f（x）,并有连续,（隐函数求导公式）,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：

具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对x求导,在,的某邻域内,则,若F（x,y）的二阶偏导数也都连续,二阶导数:

则还可求隐函数的,例1.验证方程,在点（0,0）某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:

令,连续;,由定理1可知,导的隐函数,则,在x=0的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对x求导,两边再对x求导,令x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数z=f（x,y）,定理证明从略,仅就求导公式推导如下:

满足,在点,满足:

某一邻域内可唯一确,两边对x求偏导,同样可得,则,例2.设,解法1利用隐函数求导,再对x求导,解法2利用公式,设,则,两边对x求偏导,例3.,设F（x,y）具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:

解法2微分法.,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由F、G的偏导数组成的行列式,称为F、G的雅可比行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:

在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:

导数；,（P85）,有隐函数组,则,两边对x求导得,设方程组,在点P的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4.设,解:

方程组两边对x求导，并移项得,求,练习:

求,答案:

由题设,故有,例5.设函数,在点（u,v）的某一,1）证明函数组,（x,y）的某一邻域内,2）求,解:

1）令,对x,y的偏导数.,在与点（u,v）对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对x求导,得,则有,由定理3可知结论1）成立.,2）求反函数的偏导数.,从方程组解得,例5的应用:

计算极坐标变换,的反变换的导数.,同样有,所以,由于,内容小结,1.隐函数（组）存在定理,2.隐函数（组）求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式.,思考与练习,设,求,提示:

解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,作业P873,6，7,*9,10

（1）;（3），11,第六节,由dy,dz的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定:

又函数,有连续的一阶偏导数,1.设,解:

两个隐函数方程两边对x求导,得,（2001考研）,解得,因此,2.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1分别在各方程两端对x求导,得,（1999考研）,解法2微分法.,对各方程两边分别求微分:

化简得,消去,可得,二元线性代数方程组解的公式,解:

雅可比（18041851）,德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,