《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1).ppt

1、推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第二节,一、偏导数概念及其计算,二、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,一、偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是,中的 x 固定于 x0 处,求,一阶导数与二阶导数.,关于 t 的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或 y 偏导数存在,例如,三元函数 u=f(x,y

2、,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,例1.求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2.设,证:,例3.求,的偏导数.,解:,求证,偏导数记号是一个,例4.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数),不能看作,分子与分母的商!,

3、此例表明,整体记号,二、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,偏导数为,例5.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,例6.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,则,定理.,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也

4、成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明略),证明,定理.,证:令,则,则,又令,同样,在点,连续,得,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),思考与练习,解答提示:,P129 题 5,P129 题 5,6,即 xy0

5、 时,P129 题6,(1),(2),作业,P68 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）,第三节,备用题,设,方程,确定 u 是 x,y 的函数,连续,且,求,解:,第九章,*二、全微分在近似计算中的应用,应用,第三节,一元函数 y=f(x)的微分,近似计算,估计误差,本节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量

6、,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,当函数可微时:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点的偏导数,同样可证,证:因函数在点(x,y)可微,故,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例:函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意

7、到,故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,可知当,*二、全微分在近似计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于误差分析或近似计算),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解:已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.

8、,解:设,则,取,则,分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例6.在直流电路中,测得电压 U=24 V,解:由欧姆定律可知,(),所以 R 的相对误差约为,0.3+0.5,R 的绝对误差约为,0.8,0.3;,定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流 I=6A,相对误差为 0.

9、5,=0.032(),=0.8,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,定义,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,思考与练习,1.P75 题5；P129 题 1,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,答案:,也可写作:,当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03,3.P129 题 7,4.设,解:,利用轮换对称性,可得,注意:x,y,z 具有 轮换对称性,答案:,作业 P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11,5.已知,第四节,在点(0,0)可微.,备用题,在点

10、(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0)不连,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证:设 t 取增量t,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u,v,(全导数公式),(t0 时,根式

11、前加“”号),若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,则定理结论不一定成立.,推广:,1)中间变量多于两个的情形.,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如,例如,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导,表示f(x,v)固定 v 对 x 求导,口诀:,与,不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,例1.设,解:,例2.,解:,例3.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符

12、号.,为简便起见,引入记号,例4.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,例5.设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解:已知,极坐标系下的形式,(1),则,题目,已知,注意利用已有公式,同理可得,题目,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1.,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是中间变量,思考与练习,解答提示:,

13、P81 题7,P81 题7;8(2);P130 题11,P81 题8(2),作业 P81 2;4;6;9;10;*12(4);*13,P130 题 11,第五节,备用题,1.已知,求,解:由,两边对 x 求导,得,2.,求,解:由题设,(2001考研),第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1)方程在什么条件下才能确定隐函数.,例如,方程,C 0 时,能确定隐函数,C 0 时,不能确定隐函数,2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程

14、,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还可求隐函数的,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解:令,连续;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令 x=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点

15、,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例2.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例3.,设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比,定理3.,

16、的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,(P85),有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4.设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习:求,答案:,由题设,故有,例5.设函数,在点(u,v)的某一,1)证明函数组,(x,y)的某一邻域内,2)求,解:1)令,对 x,y 的偏导数.,在与点(u,v)对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,式两边对 x 求导,得,则有,由定理 3

17、可知结论 1)成立.,2)求反函数的偏导数.,从方程组解得,例5的应用:计算极坐标变换,的反变换的导数.,同样有,所以,由于,内容小结,1.隐函数(组)存在定理,2.隐函数(组)求导方法,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用微分形式不变性;,方法3.代公式.,思考与练习,设,求,提示:,解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,作业 P87 3,6，7,*9,10(1);(3)，11,第六节,由d y,d z 的系数即可得,备用题,分别由下列两式确定:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.设,解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得,(2001考研),解得,因此,2.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得,(1999考研),解法2 微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,可得,二元线性代数方程组解的公式,解:,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积,分中.,他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微,分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.,他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.,