北师大版小学六年级数学下册第二单元《正比例和反比例》教材解读.docx
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北师大版小学六年级数学下册第二单元《正比例和反比例》教材解读
北师大版小学六年级数学下册第二单元《正比例和反比例》教材解读
一．教学内容
本单元教学内容包括：
变化的量（相关联的量之间的关系）
正比例（成正比例关系的两个量比值一定）
画一画（正比例图像的认识）
反比例（成反比例关系的两个量乘积一定）
观察与探究（初步感知反比例图像，体会它与正比例图像的不同）
图形的放缩（按比将图形放大或缩小，图形的形状不变）
比例尺（已知图上距离和实际距离求比例尺；已知比例尺和实际距离求图上距离；已知比例尺和图上距离求实际距离）
二．教材解读
1．地位与作用
已学过的相关内容
六年级上册
比的意义
比的化简
比的应用
本单元的主要内容
正比例及其应用
反比例及其应用
比例尺
2．编排体系、特点及教学建议
本单元教材编写力图体现以下主要特点:
（1）提供具体情境，使学生体会生活中存在大量互相依赖的量。
我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。
同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。
我们知道，函数（函数可以直观地理解为:
在一个变化过程中有两个变量x,y,对于x的每一个变化的值，y都有唯一确定的值与之对应，y就叫做x的函数）是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，对它的学习一直是中学阶段数学学习的一个重要内容.而国际数学课程发展的趋势表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的.其实，以前学习的探索数、形的变化规律,字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验，而本章的正比例、反比例本身就是两个重要的函数。
函数是刻画变量之间相互关系的重要模型，体会函数思想需要丰富的情境,学生将在这些情境中，感受到生活中存在着大量变量，有的变量之间是存在一定关系的,一个变量随另一个变量的变化而变化。
因此，在正式学习正比例、反比例之前，教材设计了三个具体情境，通过学生感兴趣的日常生活中的问题，使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系，并尝试对这些关系进行大致地描述。
多种研究表明，为了有助于学生对函数思想的理解,应使他们对函数的多种表示——-数值表示（表格）、图像表示、解析表示（关系式），有丰富的经历.因此,教材在呈现具体情境中变量之间的关系时，分别运用了表格表示、图像表示、关系式表示的方法。
在后面正比例、反比例的学习中,也十分重视三种方式的结合。
（2）提供丰富情境，引导学生经历从具体情境中抽象出正、反比例的过程正比例关系、反比例关系是数学中比较重要的数量关系,同时，学生理解正比例、反比例的意义往往比较困难。
为此，教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验,设计了系列情境,让学生体会生活中存在大量相关联的量,它们之间的关系有着共同之处，从而引发学生的讨论和思考，并通过对具体问题的讨论，使学生认识成正比例的量、成反比例的量以及正比例、反比例在生活中的广泛存在.这些系列情境也为学生理解“正比例"“反比例"的意义提供了丰富的直观背景和具体案例,例如教材从不同的角度（实际生活、图形）提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，这些情境中既包括“时间与路程”“购买苹果应付的钱数与质量"等生活情境,也包括正方形周长与边长、面积与边长等数学情境,情境中有正例也有反例,以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程。
（3）注重引导学生利用“正、反比例”的意义解决实际问题，关注知识之间的联系。
正、反比例在生活中有着广泛的应用，教材不仅仅是在引入时为学生提供了丰富的现实情境，还鼓励学生寻找生活情境中成“正、反比例”的量.如,设计“找一找生活中成正、反比例的例子，并与同伴交流”的题目,使学生认识到正、反比例的知识与日常生活的密切联系。
同时,教材还特别注重知识之间的联系，呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系，鼓励学生判断它们之间的关系。
如，底一定时，平行四边形的面积与高；圆的周长与直径.
（4）在画图或解决实际问题等的活动中，体验比例尺的应用。
对于比例尺的知识，学生并不陌生，生活经验比较丰富，如地图上的比例尺等。
尽管如此,比例尺的应用对于学生来说还是比较抽象的，教材结合具体的活动和实例,贴近学生的生活经验，让学生感受到比例尺的广泛应用.如,在探究活动中，通过在方格纸上画小猫图,讨论哪只小猫长得更像乐乐，让学生初步体会比例尺的应用。
再如，在实践活动中，通过画自己卧室的平面图，设计巨人的教室，进一步体会比例尺在生活中的应用。
同时，通过“你知道吗"栏目中的知识，了解比例尺的另一种形式，拓宽学生的视野。
与老教材对比：
新教材（正比例和反比例）
旧教材（比例）
变化的量
比例的意义和基本性质（解比例、比例尺）
正比例
正比例和反比例的意义
画一画
反比例
观察与探究
图形的缩放
比例的应用
比例尺
不同之处：
1．减少的内容：
比例的基本性质、解比例、用正反比例的知识解决问题.
2．增加的内容：
用自己语言描述两个变量之间的关系、画正比例图像、认识反比例图像、图形的缩放.
3．要求的不同：
新教材所有的内容都从学生的身边入手,是在具体的情境中进行教学的,更接近学生的生活,更易理解、接受。
三．教学目标:
1．结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量;在具体情境中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
2。
结合丰富的实例,认识正比例和反比例；能根据正比例和反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例。
3.能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，会利用正、反比例的有关知识解决一些简单的生活问题。
4。
通过观察、操作与交流，体会比例尺产生的必要性和实际意义，了解比例尺的含义。
5.运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题.
四．课时安排：
内容
建议课时数
变化的量
5
正比例
画一画
反比例
3
观察与探究
图形的放缩
4
比例尺
练习二+机动
3
五．本单元内容总结
具体内容
重点知识
正
比
例
和
反
比
例
变化的量
1、结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量。
2、能用自己的语言描述两个变量之间的关系.
正比例
1、理解正比例的意义，并能根据正比例的意义判断两个相关联的量是不是成正比例。
2、能利用正比例解决一些简单的实际问题。
画一画
1、通过“画一画”初步认识正比例图像.
2、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，知道所描的点都在同一条直线上。
反比例
1、认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是反正比例。
2、能利用反比例解决一些简单的实际问题。
观察与探究
1、能用图来表示成反比例的量之间的关系。
2、知道反比例的量所对应的点不在同一条直线上。
图形的放缩
1、体会只有按照相同的比进行放缩，画的图才像。
2、结合具体情境，感受图形的相似.
比例尺
1、理解比例尺的意义,即比例尺就是图上距离和实际距离的比。
2、能用比例尺解决一些简单的实际问题。
变化的量
教学目标:
1．结合具体情境，体会生活中存在着大量互相依赖的变量。
2．在具体情境中,尝试用表格、图表达或自己的语言描述两个变量之间的关系.
3．尝试举出生活中一个量随另一个量变化的例子。
教学重点：
体会生活中存在着大量互相依赖的变量。
教学难点：
在具体情境中，尝试用表格、图表达或自己的语言描述两个变量之间的关系，即谁随谁的变化而变化，是如何变化的
教学建议：
知能点：
体会生活中存在着大量互相依存的变量,并能用自己的语言来描述两个变量之间的关系。
教材呈现了三个具体情境,鼓励学生在观察、思考、讨论和交流中,体会在生活情境中，存在着大量互相依存的变量.
情境一：
让学生观察体会,一个量变化，另一个量也会随着发生变化，两个变量之间存在着关系.
表中年龄和体重都在发生变化,小明的年龄增加，体重也在增加。
体重随年龄的增加而增加.教师也可以用折线统计图表示,效果会更好些，更容易观察。
学生能认识到体重随年龄的增长而增加即可.
情境二：
先让学生看懂图，横轴表示时间，如“4”表示一天中的4时这一时刻，“28”时表示次日凌晨4时;纵轴表示温度.让学生学会从图中读出某一时刻所对应的体温及某一体温所对应的时刻.感受到骆驼的体温随时间而呈周期性的变化。
情境三：
让学生体会生活中存在着大量互相依存的变量，只要我们用心观察，就会发现。
并能用自己的语言来描述两个变量之间的关系。
教学中，引导学生看懂图表，回答问题,并尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关系.同时，鼓励学生利用自己所学的知识和生活经验，举出一个量随另一个量变化而变化的例子。
学生说的合理,就给与肯定。
正比例
教学目标：
1．结合丰富的实例,认识正比例。
2．能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例.
3．利用正比例知识解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生产、生活中的广泛应用。
教学重点：
理解正比例的意义，能正确的判断两个相关联的量是不是成正比例.
教学难点：
理解正比例的意义。
教学建议：
知能点1：
体会相关联的两种量的变化规律。
情境一：
教学时，给学生充分思考、交流的时间，先让学生独立填表、观察，然后与同伴交流，并引导学生发现规律，从图中可以看出，正方形的周长随着边长的增加而增加，可用公式表示为Ｃ=4ａ，正方形的面积也是随着边长的增加而增加，可用公式表示为Ｓ=ａ².
“说一说”通过表格、图像、表达式的比较，我们发现，虽然正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，但正方形的周长与边长、面积与边长的变化规律并不相同。
在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍，也就是比值一定；正方形的面积是边长乘边长。
知能点2：
初步理解“正比例"的特征：
一个量随另一个量的变化而变化，在变化过程中相对应的两个数的比值始终不变。
情境二：
先把汽车行驶的时间和路程表填写完整。
观察并思考：
当时间发生变化时，路程怎么变化。
鼓励学生用自己的语言描述变化关系.从表中可以看出，路程是随着时间的变化而变化的。
时间增大，路程也随着增大；时间减少，路程也随着减少.它们的规律是:
路程与时间的比值（也就是速度）总是一定的。
情境三：
把买同一种苹果的质量和钱数的表格填写完整。
从表中可以看出，应付的钱数是随着质量的变化而变化的。
质量增大，应付的钱数随着增多；质量减少,应付的钱数也随着减少。
它们的变化规律是：
应付的钱数与质量的比值（也就是单价）总是一定的。
在此基础上，引导学生通过比较,概括出它们的共同点,引出“正比例”，观察思考成正比例的量的特征。
情境二的表中，时间增加，所走的路程也相应增加，而且路程与时间的比值（速度）相同，那么我们说路程和时间成正比例.如果用t表示时间，s表示路程,v表示速度，上面路程与时间的关系就可以表示为s∕t=v（一定）
情境三的表中，购买苹果的质量增加，应付的钱数也相应的增加，而且应付的钱数与质量的比值（单价）相同，那么我们说应付的钱数和质量成正比例。
知能点3：
能根据正比例的意义，判断两个量是不是成正比例。
（想一想练一练）
根据成正比例的量的两个特征,可以判断两个量是比是成正比例。
成正比例的两个量的特征是:
A．这两个量相关联，即一个量变化,另一个量也随着变化。
B．相对应的两个数的比值一定.
想一想2题：
加深对正比例意义的理解，小明的年龄虽爸爸的年龄增加而增加，但比值不是一个确定值,所以父子年龄不成正比例。
画一画
教学目标：
1．在具体情景中,通过“画一画”的活动，初步认识正比例图像。
2．会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
3．利用正比例关系,解决生活中的一些简单问题。
教学重点:
通过“画一画”的活动，初步认识正比例图像。
教学难点：
会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
教学建议：
知能点1：
运用已有的知识,用图的形式去直观表示两个成正比例的量的变化关系。
情境图：
1．把表格填写完整，表中的一个数与它的5倍的数成正比例。
2．观察方格纸，横轴表示“一个数"，纵轴表示“这个数的5倍"。
根据表中的数据，可以看出，图中的点与横轴相对应的就表示“这个数”是几，与纵轴上相对应的正好是这个数的5倍。
如最上面的点表示10的5倍是50。
试一试
先根据表中的数据（完整的表格），找出各相应的点，然后再连接各点。
连接各点发现，两个图形都是直线.路程与时间成正比例，质量与钱数成正比例.
从中体会出:
1．两个变量成正比例时,所画的图像时一条直线。
2．通过观察所画的图,在图中可以根据一个变量的值估计出它所对应的另一个变量的值。
练一练
1．圆的面积与半径不成正比例，因为圆的面积与半径的比值不是一个固定的数。
2．放手让学生独立探索,并在小组内交流。
（1）每人的船费（2元）不变。
（2）乘船船费与人数成正比例。
（3）所有的点都在一条直线上.
3．圆的周长与直径成正比例，因为周长∕直径=（一定）
4．先鼓励学生把表填写完整,然后在上页第
（1）题的图中描点表示表中的数量关系，并尝试用自己的语言描述自己的发现,即所有的点都在同一条直线上，而且图像在上页题中图像的下方。
反比例
教学目标：
1．结合丰富的实例，认识反比例.
2．能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例.
3．利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用.
教学重点：
认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例.
教学难点:
理解反比例关系的意义，并能判断两个相关联的量是不是成反比例。
教学建议：
知能点1：
体会生活中大量相关联的量,它们的变化规律是不同的。
说一说：
先鼓励学生独立观察、思考，引导学生发现规律。
加法表中，和是12，一个加数随着另一个加数的变化而变化。
乘法表中，积是12一个乘数随着另一个乘数的变化而变化，但这两个变化是不相同的，前者是和一定,后者是积一定。
知能点2：
一个量随着另一个量的变化而变化,在变化过程中这两个量的乘积一定,这两个量就是成反比例的量。
第2题:
先让学生把表填完整，观察思考：
当速度发生变化时，时间怎么变化，鼓励学生用自己的语言描述变化关系。
从表中我们发现,速度是原来的几倍，所需时间反而是原来的几分之一；速度是原来的几分之一，所需时间反而是原来的几倍。
在变化过程中，路程是不变的，也就是速度和时间的乘积是不变的.
第3题:
从表中我们发现，杯数是原来的几倍，每杯果汁量反而是原来的几分之一；杯数是原来的几分之一，每杯果汁量反而是原来的几倍。
在变化过程中，果汁的总量是不变的,也就是每杯的果汁量与分的杯数的乘积是不变的，总是等于600毫升。
通过比较，概括共同点，引出“反比例",思考成反比例的量的特征。
知能点3：
根据反比例的意义，判断两种量是否成反比例.
一个量随着另一个量的变化而变化，若这两个量中相对应的两个数的乘积一定，则这两个量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.判断两个量是否成反比例,首先要看这两个量是不是相关联，再看乘积是否一定.
想一想:
在加法表中，两个加数虽然相关联，一个加数变化另一个加数也跟着变化,但这两个量中相对应的两个数的和一定，积却是不一定的，不符合反比例的条件，所以两个加数不成反比例。
乘法表中两个乘数是相关联的量，一个乘数变化另一个乘数也跟着变化，这两个量中相对应的两个数的乘积一定，符合反比例的条件，所以这题中两个乘数成反比例。
练一练：
1题．把表填完整
看完全书所需天数随平均每天看的页数的变化而变化,并且它们的乘积一定（总页数120页）,所以平均每天看的页数和看完全书所需的天数成反比例.
3题．从表中数据可以看出，长×宽不是一定的，所以长方形周长一定时,长方形的长和宽不成反比例.
4题．寻找生活中成反比例关系的例子，体会反比例的广泛应用.
观察与探究
教学目标：
1。
在具体情境中,通过“画长方形"活动，初步认识反比例图像。
2。
会在方格纸上描出成反比例的量所对应的点。
教学重点：
用图表示成反比例的量之间的关系，利用图进一步认识反比例。
教学难点：
尝试用图表示成反比例的量之间的关系。
教学建议:
知能点：
通过“画长方形”活动，初步认识反比例图像。
观察表中数据，宽随着长的变化而变化,长和宽的乘积一定（面积24cm²）所以长和宽是成反比例的量。
正比例的图像是一条直线，而反比例的图像是一条曲线。
在作反比例的图像时，点与点之间不能用线段连接，要用圆滑线连接。
熟练记住一些常见的数量关系,能帮助我们判断两个量是不是成比例，成什么比例。
图形的放缩
教学目标:
1．通过具体情境，让学生观察、操作，体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义.
2．通过图形的放缩,结合具体情境，感受图形的相似.
3．懂得数对中的两个数所表示的意义,学会用数对确定点的位置的方法.
教学重点:
能根据要求对图形进行缩小与放大。
教学难点:
体会只有按照相同的比来画,画的图才像.
教学建议：
知能点：
体会只有按照相同的比来画,画的图才像，感受图形的相似。
出示情境图
1．通过观察，我们发现笑笑、淘气画得像，小斌画得不像.
为什么同样大小的贺卡,画在大小不同的长方形上，有的像，有的不像呢？
2．讨论:
他们是怎么画得？
学生讨论后交流，得出：
只有长和宽的比按原图的比来画，画得才像。
“画一画"
体会出：
在画图时，只有长和宽都按相同的比来画，画得图才像。
在画图时，首先可以量出原来的长和宽,再将它们的长和宽扩大或缩小相同的倍数来画。
“探究活动”
让学生独立尝试，通过在方格纸上描点，并用线连接起来，可以直观地看出它们分别是将乐乐的轮廓拉宽、拉长、按相同的比例放大得到的，欢欢是将乐乐放大两倍得到的，与乐乐最像。
比例尺
教学目标：
1．结合具体情境，认识比例尺；能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求第三个量.
2．运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估计、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，进一步体会数学与生活的紧密联系。
教学重点：
理解比例尺的意义
教学难点：
能运用比例尺的意义，通过测量、绘图等活动，解决一些生活中的问题。
教学建议:
知能点:
理解比例尺的意义，能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求出第三个量。
出示平面图
这是笑笑家的平面图，是将笑笑家的实际测量出来的距离缩小一定的倍数画出来的。
1题. 认识比例尺
比例尺表示图上距离和实际距离的比.
1：
100是指图上1厘米长的线段表示实际距离100厘米。
2题.通过测量平面图上笑笑卧室的长4厘米，宽是3厘米，笑笑卧室实际长是：
4×100=400（厘米）=4米,宽是3×100=300（厘米）=3米实际面积是4×3=12（平方米）
4题。
求图上距离，在父母卧室南墙正中有一扇宽为2米的窗户,也就是窗户的实际宽度是2米，根据比例尺和实际距离，可以求出图上距离.
实际距离：
2米=200厘米
图上距离：
200÷100=2（厘米）
5题．求比例尺，笑笑卧室实际的长是4米，也就是400厘米，笑笑用8厘米表示自己卧室的400厘米。
因此，图上1厘米表示的实际距离是50厘米，比例尺是1︰50。
“试一试”和“练一练”
注意：
测量要认真仔细，尽可能的减少误差.
实践活动：
要让学生动手测量、计算、画图，这样学生的体会会更深刻。
练习二
1题．让学生根据正、反比例的意义，先判断，再交流。
2题．目的是运用正比例关系解决实际问题，使他们进一步体验正比例在日常生活中的广泛应用,教学时，放手让学生独立探索，再交流。
3题．目的是运用反比例关系解决实际问题，使他们进一步体验反比例在日常生活中的广泛应用，教学时,先让学生分析表中的数据，独立完成题目后再交流。
4题．分析图像,根据图像信息解决问题。
5题．是比例尺的应用。
6题。
是讨论面积一定时,长方形的长和宽有什么关系。
让学生先填表，再分析解决问题。
7题．先让学生理解题意，读懂比例尺，然后解决问题。
实践活动：
这个实践活动是对比例尺的应用，可以采用小组合作的形式进行教学。
首先要让学生进行实地测量，收集信息，培养学生收集信息的能力.在此基础上，进行设计。
如：
巨人教师的黑板的长和宽,巨人教室的高，巨人使用的教材的长和宽等。
完成设计后,要进行展评，并充分交流。
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