②轻杆模型
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。
当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
当0N>0，N为支持力．
当v=Rg时，N＝0
当v>Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．
【典型例题】类型一、生活中的水平圆周运动
A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起
例1、（2015安阳二模）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的
做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
A小于盘对B的动摩擦因数B
D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数
答案】BC
2
解析】因为A、B两物体的角速度大小相等，根据Fnmr2，因为两物块的角速度大小相等，转动半
径相等，质量相等，则向心力相等；对A、B整体分析，fB2mr2，对A分析，有fAmr2，知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，则B正确；A所受的摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C正确；对AB整体分析，B2mg2mrB2，解得：
BBg，对A分析，AmgmrA2，解得AAg，因为B
先滑动，可知B先到达临界角速度，可知B的临界角速度较小，即BA，故D错误。
【总结升华】解决本题的关键知道A、B两物体一起做匀速圆周运动，角速度大小相等，知道圆周运动向
心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。
例2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径
为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在
同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ．不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
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思路点拨】座椅在水平面内做匀速圆周运动，其半径是它到转轴之间的水平距离。
解析】对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴上：
Fcosmg，①
x轴上：
2
Fsinm（rLsin），②
因此gtan．
rLsin
【总结升华】本题是一道实际应用题，考查了学生用物理知识解决实际问题的能力，解答这类问题的关键是把实际问题转化成物理模型，用物理知识解决实际问题，这是学习物理的最高境界，也是近几年高考命题一个非常明显的趋向．
类型二、生活中的竖直圆周运动
例3、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此AB．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有FT-mBg＝mB，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉
力为9mg，方向竖直向下．
FT，转动角速度为ω，由
（2）若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为牛顿第二定律可得：
22
FTm1gm11L，①FTm2gm2L2，②
由①－②得：
m1g+m2g＝（m1L1-m2L2）ω2，③从上式可见，只有当m1L1>m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．由③式代入已知条件可得：
（3m+m）g＝（3m·2L-mL）ω2，所以
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴所受力的作用，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
举一反三
【课程：
圆周运动的实例分析例9】
【变式】质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子C，把小球拉到与O在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P时（
A.小球线速度突然增大
B.小球角速度突然增大
C.小球的向心加速度增大
D.摆线上的张力突然增大
【答案】BCD
【变式】（2015北京西城区二模）如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P点是这段轨道的最高点，A、
B、C三处是过山车的车头、中点和车尾。
假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略。
那么，过山车在通过P点的过程中，下列说法正确的是（）
A．车头A通过P点时的速度最小B．车的中点B通过P点时的速度最小C．车尾C通过P点时的速度最小D．A、B、C通过P点时的速度一样大【答案】B
【解析】山车在通过P点的过程中，车头A和车尾C通过P点时，还不是整体过最高点，所以其重力比所需向心力要大，故经过时速度不是最小；而车的中点B通过P点时，如某质点过最高点，要能过最高点，其重力刚好提供向心力，所以车的中点B通过P点时的速度最小，故B正确，ACD错误。
类型三、斜面上的圆周运动
例4、在倾角30的光滑斜面上，有一长L＝0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量m＝
0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，取g=10m/s2，求：
（1）小球通过最高点时的最小速度vA？
2）如果细绳受到10N的拉力就会断，则通过最低点B时的最大速度vB？
【思路点拨】这是一个竖直面上变速圆周运动问题的变式问题，要注意找出和竖直面上的变速圆周运动的共同之处和不同之处，要特别重视分析问题方法的迁移。
【解析】小球在垂直于斜面的方向上处于平衡状态，在平行于斜面的平面内的运动情况和竖直平面内用细绳约束小球的运动情况类似。
（1）小球通过最高点A的最小速度，出现在绳子上拉力等于零的时候，此时重力的下滑分量提供向心力，在A点平行于斜面的方向上，
解得vAgLsin2m/s
（2）在B点绳子恰好被拉断时，在平行于斜面的方向上，
2
由牛顿第二定律得：
mvBFmaxmgsin
【总结升华】用细绳约束在斜面上的变速圆周运动和竖直面上的变速圆周运动，解决问题的方式是完全相同的，不同之处是：
在斜面上时只有重力的下滑分量对变速圆周运动有贡献。
类型四、连接体的圆周运动
例5、如图所示水平转盘可绕竖直轴OO'旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B，现将A和
B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两个球与杆之间的最大静摩擦力都是fm，试分析转速从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？
【思路点拨】解决本题关键是：
动态的分析物理过程，发现隐藏在过程中的临界状态；理解最大静摩擦力出现的条件，弄清外力提供的向心力和圆周运动需要的向心力对运动的影响。
物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态，它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供。
“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某种状态下所需的向心力之间出现了矛盾。
当“供”大于“需”时，将出现“向心”，当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出。
对于此题，当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。
而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。
【解析】当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。
而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。
（1）由于ω从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力。
随增大，静摩擦力f不断增大，直到1时将有fBfmax，即m2r12fmax，
（2）当1时，绳上的张力T将出现。
对A球：
fATmr2①对B球：
fmaxTm2r2②由②式，当增加到'时，绳上张力将增加，增加的张力Tm2r（'22）
由①式，fATfAm2r（22）mr（22），
可见△fA<0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小。
（3）当fA0时，设此时角速度2
对A球，Tm22r，对B球fmTm222r，
（4）当角速度从ω2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直到fAfmax为止，设此时角速度3，
22
A球：
Tfmaxm32rB球：
fmaxTm322r
（5）当3时，A和B将一起向B侧甩出。
【总结升华】
（1）由于A、B两球角速度相等，向心力公式应选用F＝mrω2；
（2）分别找出ω逐渐增大的过程中的几个临界状态，并正确分析各个不同阶段的向心力的来源及其变化情况，揭示出小球所需向心力的变化对所提供向心力的静摩擦力及绳子拉力之间的制约关系，这是求解本题的关键。
动态分析也是物理学中重要的分析方法，努力的通过此题加以体会、实践。
（3）对于两个或两个以上的物体，通过一定的约束，绕同一转轴做圆周运动的问题，一般求解思路是：
分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系（在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系）。
举一反三
【变式1】如图所示在水平转台上放一质量为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦因数为，它通过细
绳与另一木块m相连。
转台以角速度转动，M与转台能保持相对静止时，它到转台中心的最大距离R1和
最小距离R2分别为多大？
【解析】假设转台光滑，M在水平面内转动时，竖直方向上平台对M的支持力与Mg相平衡，绳子的拉力提
供M做圆周运动的向心力。
因为M与转台保持相对静止时，所以绳子的拉力T=mg。
设此时M距离中心的半径R0，则：
对M，TM2R0，即：
mgM2R0
R0mg2
0M2
讨论：
（1）
若R为最小值R1（R1R0）时，M有向圆心运动的趋势，故转台对M有背离圆心的静摩擦
对m仍有T=mg
2
对M有：
TMgM2R1
2）若R为最大值R2（R2R0）时，M有背离圆心运动的趋势，故转台对M有指向圆心、大小为fm的
静摩擦力
对m仍有T=mg
2对M有：
TfmM2R2
课程：
圆周运动的实例分析例3】
变式2】甲、乙两名溜冰运动员，M甲=80kg，M乙=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，
如图所示．两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是（
A．两人的线速度相同，约为40m/s
B．两人的角速度相同，约为6rad/s
C．两人的运动半径相同，都为0.45m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
答案】D
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