（二）n阶行列式
符号：
它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为
行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标
j称为列标，它表示这个数在第j列上。
所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。
为叙述方便起见，我们用（i,j）表示这个位置。
n阶行列式通常也简记作。
n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成
的一个（n-1）阶行列式叫元素的余子式，记作
例如，在三阶行列式
中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位
置组成的二阶行列式，所以
相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的
二阶行列式。
所以
例1若，求：
（1）
[答疑编号10010103：
针对该题提问]
（2）
[答疑编号10010104：
针对该题提问]
（3）
[答疑编号10010105：
针对该题提问]
（4）
[答疑编号10010106：
针对该题提问]
解
（1）
（2）
（3）
（4）
（2）符号叫元素的代数余子式
定义：
（系数其实是个正负符号）
例2求例1中的代数余子式
（1）
[答疑编号10010107：
针对该题提问]
（2）
[答疑编号10010108：
针对该题提问]
（3）
[答疑编号10010109：
针对该题提问]
（4）
[答疑编号10010110：
针对该题提问]
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）
例3若
计算（以上两组数相等）
[答疑编号10010111：
针对该题提问]
解：
由于
与例3的结果比较，发现
这一结果说明：
三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，
这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。
定义：
n阶行列式
即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果
中因为
所以有
特别情形
例4计算下列行列式
（1）
[答疑编号10010112：
针对该题提问]
由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积
（2）
[答疑编号10010113：
针对该题提问]
可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积
一般地可推得
即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积
同理有
1.2行列式按行（列）展开
在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以
后，再求出其值。
实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。
现在给出下面的重要定理，其证明从略。
定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式的乘积之和，即
（i=1,2,⋯,n）（1.8）
或（j=1,2,⋯,n）（1.9）
其中，是元素在D中的代数余子式。
定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与
其对应的代数余子式的乘积之和，即
（i=1,2,⋯,）n（1.8）
或（j=1,2,⋯,n）（1.9）
其中，是元素在D中的代数余子式。
（1.8）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2,⋯
上述展开定理也可以表示成
（i=1,2,⋯,n）
（j=1,2,⋯,n）
这两个展开式中的每一项都由三部分组成：
元素和它前面的符号以及它后面的
余子式，三者缺一不可！
特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。
根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行
列式，其值必为零。
特别情形
（1）
（2）
例5计算
[答疑编号10010201：
针对该题提问]
解：
由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）
可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积
例5的结果可推广为
我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。
例6计算
[答疑编号10010202：
针对该题提问]
解：
由于第2行含0最多，所以应按第二行展开
例7计算
[答疑编号10010203：
针对该题提问]
解：
将按第6行展开得
例8计算
（1）
[答疑编号10010204：
针对该题提问]
解：
按第4行展开
（2）
[答疑编号10010205：
针对该题提问]
解：
将D按第一行展开
（重新分组后得出）
1.3行列式的性质与计算
因为n阶行列式是n!
项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量
会非常大，例如，10!
=3628800。
所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，
这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。
下面我们来研究行列式的性质，
并利用行列式的性质来简化行列式的计算。
1.3.1行列式的性质
将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列⋯⋯第n行改为第n列，仍得到
一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。
即如果
则
性质1行列式和它的转置行列式相等，即或
根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。
凡是对“行”成立
的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。
所以只需研究行列
式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。
（运用最多）性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。
这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：
证将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：
注意如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。
例1计算行列式：
[答疑编号10010206：
针对该题提问]
解
=30（4+6+5-2-4-15）
=30（-6）=-180
在例1的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3，得到第一个
等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化
小以后，再求出原行列式的值。
例2
[答疑编号10010207：
针对该题提问]
因为
所以原式=4abcdef
这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f，第二
个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e，化简后再求出其值。
例3计算行列式：
在行列式D的每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到
[答疑编号10010208：
针对该题提问]
因为行列式D是一个数，所以由D=-D，可知行列式D=0。
用这种方法可以证明：
任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
所谓反对称行列式指的是，
其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。
即若
是反对称行列式，则它满足条件
（运用最多）性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。
即对于如
下两个行列式
有
根据这个性质可以得到下面的重要推论：
推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。
因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为
-D，因此D=-D，所以D=0。
性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。
证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素
乘以k得到的，则
由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行
对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。
行列式中某两列元素对
应成比例的情形可以类似地证明。
例4验算x=3是否是方程的根。
[答疑编号10010209：
针对该题提问]
解：
因为（第二行与第四行成倍数）
∴x=3是方程f（x）=0的根。
性质5行列式可以按行（列）拆开，即
证将左边的行列式按其第i行展开即得
这就是右边两个行列式之和。
（运用最多）性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一
行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。
即：
例5证明：
的充要条件是k=1或k=±2
[答疑编号10010301：
针对该题提问]
证因为
（第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）
所以，D=0的充要条件是k=1或k=±2。
此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有
列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中的②+（-1）×①表示将第一行的-1
倍加到第二行上，第二步是第一列展开。
根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：
定理1.3.1n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余
子式的乘积之和等于零，即
，（1.10）
，（1.11）
1.3.2行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法。
（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列
式化为上三角（或下三角）行列式再求值。
此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在
新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上
k。
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，
通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0元”素，再按包含0最多的行或列展开。
例6计算行列式
[答疑编号10010302：
针对该题提问]
解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，所以我们只要设法利用行列
式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。
我们在计算例6中的行列式时，是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求
出它的值，事实上在计算行列式的值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式
的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。
例7计算行列式：
[答疑编号10010303：
针对该题提问]
解观察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，利用这个（1，1）位置的元素1
把行列式中第一列的其他元素全都化为0，然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三
阶行列式来计算，具体步骤如下：
按第一列展开，得
=（-1）×2×
例8计算行列式（把最简单的调到第一列或是第一旬）
[答疑编号10010304：
针对该题提问]
在本例中，记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①
写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。
例9计算行列式：
（例子很特殊）
[答疑编号10010305：
针对该题提问]
解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易
方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第
一行：
（32）？
例10计算行列式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
[答疑编号10010306：
针对该题提问]
例11计算n阶行列式（n>1）：
[答疑编号10010307：
针对该题提问]
解将行列式按第一列展开，得
（简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等
例12计算范德蒙德（VanderMonde）行列式：
[答疑编号10010308：
针对该题提问]（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）
加到第三行上）
例13计算
[答疑编号10010309：
针对该题提问]
（这是个定律）
例14计算（解题规律：
每行或是每列中的和是一样的，故
每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一
行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）
[答疑编号10010310：
针对该题提问]
=（x+4a）（x-a）4
1.4克拉默法则
由定理1.2.1和定理1.3.1合并有
或
（一）二元一次方程组（方程1、2左右同乘以一个数，上下对减）
由a22*①-a12*②得
由a11②-a21①得
令=D=D1=D2
则有A是常数项
∴当D≠0时，二元一次方程组有唯一解
（二）三元一次方程组
令叫系数行列式
，，
由D中的A11①+A21②+A31③得
即
由D中的A12①+A22②+A32③得
即
由D中的A13①+A23②+A33③得
即
∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解
一般地，有下面结果
定理（克拉默法则）
在n个方程的n元一次方程组
（1）
中，若它的系数行列式
≠0
则n元一次方程组有唯一解。
推论：
在n个方程的n元一次齐次方程组
（2）
中
（1）若系数行列式D≠0，方程组只有零解
（2）若系数行列式D=0
则方程组
（2）除有零解外，还有非零解（不证）
例在三元一次齐次方程组
中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。
[答疑编号10010401：
针对该题提问]
解：
=2a-6+3-4-（-9）-a=a+2
∴
（1）a≠-2时，D≠0,只有零解
（2）a=-2时，D=0，有非零解。
本章考核内容小结
（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义
知道余子式，代数余子式的定义
（二）知道行列式按一行（列）的展开公式
（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式
重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算
（四）知道克拉默法则的条件和结论
本章作业
习题1.1
1.
（1）（4）（5）（6）
3.
（1）
（2）
习题1.2
1、2、3.
（1）
（2）（3），4.
（1）
习题1.3
1.
（1）
（2）（3）
2.
（1）
（2）
4.
（1）
（2）
5、6.
（1）
（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）
习题1.4
3
第二章矩阵
2.1矩阵的概念
定义2.1.1由m×n个数aij（i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n）排成一个m行n列的数
表
用大小括号表示
称为一个m行n列矩阵。
矩阵的含义是，这m×n个数排成一个矩形阵列。
其中aij称为
矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n），而i称为行标，j称为列标。
第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。
通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。
有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记
为
A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n
当m=n时，称A=（aij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。
n阶方阵是由n2个数排成
一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。
只有一阶方阵才是一个数。
一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主
对角线。
n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，⋯，ann，称为此方阵的对角元。
在本课程
中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
用Om×n或者O（大写字）表示。
特别，当m=1时，称α=（a1，a2，⋯，an）为n维行向量。
它是1×n矩阵。
当n=1时，称为m维列向量。
它是m×1矩阵。
向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
几种常用的特殊矩阵：
1.n阶对角矩阵
形如或简写为（那不是A，念“尖”）
的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。
例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。
2.数量矩阵
当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。
n阶数量矩阵有如下形式：
或（。
标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）
特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为En或In，即
或
在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。
n阶数量矩阵常用aEn或aIn表示。
其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。
3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵
形如
的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。
对角矩阵必须是方阵。
一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。
4.零矩阵
（可以是方阵也可以不是方阵）
2.2矩阵运算
本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。
只有在对矩阵定义了一些
有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。
2.2.1矩阵的相等（同）
定义2.2.1设A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，⋯，m；j=1，
2，⋯，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。
由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两
个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。
特别，
A=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n。
注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如
因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。
但是却有行列式等式
（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）
2.2.2矩阵的加、减法
定义2.2.2设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是两个m×n矩阵。
由A与B的对应元素
相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即
A+B=（aij+bij）m×n。
即若
则
当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。
只有当两个矩阵是同型矩
阵时，它们才可相加。
例如
注意：
（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别
例如
（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）
不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的
不变。
）
（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。
（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）
若A=（aij）为n阶方阵，n>1，a为一个数，则A+a无意义！
但是n阶方阵A=（aij）m×n
与数量矩阵aEn可以相加：
（把数转化为数量矩阵aEn
就可以想加了）
由定义2.2.2知矩阵的加法满足下列运算律：
设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，
则
（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）
（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.
（3）A+O=O+A=A.
（4）消去律A+C=B+CA=B.
2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）
定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（aij）m×n和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=
（kaij）m×n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）
即若
则
由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k与行
列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，
这两种数乘运算是截然不同的。
根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。
数乘运算律
（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。
（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实
数。
例1已知
求2A-3B。
[答疑编号：
10020101针对该题提问]
解
例2已知
且A+2X=B，求X。
[答疑编号：
10020102针对该题提问]
解：
（注意是乘以矩阵里的每个元素）
2.2.4乘法运算
定义2.2.4设矩阵A=（aij）m×
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