A [C1的焦点为（±
，0），C2的焦点为
（±
，0），
∵C1与C2的焦点重合，
∴
＝
，∴m2＝n2＋2，∴m2>n2.
∵m>1，n>0，∴m>n.
∵C1的离心率e1＝
，C2的离心率e2＝
，
∴e1e2＝
·
＝
＝
＝
＝
>
＝1.]
3．（2015·浙江高考）椭圆
＋
＝1（a>b>0）的右焦点F（c,0）关于直线y＝
x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
[设椭圆的另一个焦点为F1（－c,0），如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝
x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝
＝
，|OF|＝c，
可解得|OM|＝
，|MF|＝
，
故|QF|＝2|MF|＝
，|QF1|＝2|OM|＝
.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝
＋
＝2a，
整理得b＝c，∴a＝
＝
c，
故e＝
＝
.]
4．（2014·浙江高考）如图121，设椭圆C：
＋
＝1（a>b>0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
图121
（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：
点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
[解]
（1）设直线l的方程为y＝kx＋m（k<0），由
消去y，得（b2＋a2k2）x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.2分
由于l与椭圆C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为
.4分
又点P在第一象限，
故点P的坐标为
.6分
（2）证明：
由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离
d＝
，8分
整理，得d＝
.10分
因为a2k2＋
≥2ab，
所以
≤
＝a－b，12分
当且仅当k2＝
时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.15分
回访2 双曲线及其性质
5．（2016·浙江高考）设双曲线x2－
＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
（2
，8） [∵双曲线x2－
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，∴|F1F2|＝4，||PF1|－|PF2||＝2.若△F1PF2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－16>0，可化为（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|>16①.由||PF1|－|PF2||＝2，得（|PF1|＋|PF2|）2－4|PF1||PF2|＝4.故2|PF1||PF2|＝
，代入不等式①可得（|PF1|＋|PF2|）2>28，解得|PF1|＋|PF2|>2
.不妨设P在左支上，∵|PF1|2＋16－|PF2|2>0，即（|PF1|＋|PF2|）·（|PF1|－|PF2|）>－16，又|PF1|－|PF2|＝－2，
∴|PF1|＋|PF2|<8.故2
<|PF1|＋|PF2|<8.]
6．（2015·浙江高考）双曲线
－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．
2
y＝±
x [由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝
，∴焦距2c＝2
，渐近线方程为y＝±
x，即y＝±
x.]
7．（2014·浙江高考）设直线x－3y＋m＝0（m≠0）与双曲线
－
＝1（a>0，b>0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m,0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
[双曲线
－
＝1的渐近线方程为y＝±
x.
由
得A
，
由
得B
，
所以AB的中点C坐标为
.
设直线l：
x－3y＋m＝0（m≠0），
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝
＝
.]
回访3 抛物线及其性质
8．（2015·浙江高考）如图122，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
图122
A.
B.
C.
D.
A [由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于
.由抛物线方程知焦点F（1,0），作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴
＝
＝
.]
9．（2016·浙江高考）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是________．
9 [设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，
∴点M到y轴的距离为9.]
10．（2016·浙江高考）如图123，设抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
（1）求p的值；
（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
[解]
（1）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，2分
由抛物线的定义得
＝1，即p＝2.4分
（2）由
（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1,0），可设A（t2,2t），t≠0，t≠±1.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：
x＝sy＋1（s≠0），
由
消去x得y2－4sy－4＝0，6分
故y1y2＝－4，所以B
.7分
又直线AB的斜率为
，故直线FN的斜率为－
，从而得直线FN：
y＝－
（x－1），直线BN：
y＝－
，所以N
.8分
设M（m,0），由A，M，N三点共线得
＝
，
于是m＝
＝2＋
，11分
所以m<0或m>2.
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）.15分
（对应学生用书第46页）
热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析：
圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：
第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.
【例1】
（1）已知方程
－
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）【导学号：
68334125】
A．（－1,3） B．（－1，
）
C．（0,3）D．（0，
）
（2）已知抛物线C：
y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若
＝4
，则|QF|＝（ ）
A.
B．3
C.
D．2
（1）A
（2）B [
（1）若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵（m2＋n）＋（3m2－n）＝4，∴m2＝1，∴
∴－1若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－
＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.
（2）如图所示，因为
＝4
，所以
＝
，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，
所以
＝
＝
，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.]
[方法指津]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0），椭圆常设mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0），双曲线常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）．
[变式训练1]
（1）经过点（2,1），且渐近线与圆x2＋（y－2）2＝1相切的双曲线的标准方程为（ ）
A.
－
＝1B.
－y2＝1
C.
－
＝1D.
－
＝1
（2）（2017·金华十校第一学期调研）已知抛物线C：
y2＝2px（p>0），O为坐标原点，F为其焦点，准线与x轴交点为E，P为抛物线上任意一点，则
（ ）
图124
A．有最小值
B．有最小值1
C．无最小值D．最小值与p有关
（1）A
（2）A [
（1）设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由题意知
＝1，解得k＝±
，则双曲线的焦点在x轴
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