六年级奥数培优教程讲义第14讲圆类面积计算教师版.docx

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六年级奥数培优教程讲义第14讲圆类面积计算教师版

第 14 讲 圆类面积计算

教学目标

熟练掌握圆类面积计算的八种方法：

相加法、相减法、重新组合法、割补法、平移法、旋

转法、对称添补法、重叠法；

能运用上述方法快速解题。

知识梳理

圆的面积：

 π r 2 ，扇形的面积：

 α。

无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

典例分析

考点 1：

相加法

将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图

形的面积。

例 1、下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，

然后把它们相加就可以了。

考点 2：

相减法

将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

例 1、下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形的面积再减去里面圆的面积即可。

考点 3：

重新组合法

将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出

这个新图形的面积即可。

例 1、欲求下图中阴影部分的面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的 4 个角处，这时

就可以采用相减法求出其面积了。

考点 4：

割补法

将原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得

到解决。

例 1、如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分

的面积恰是正方形面积的一半。

考点 5：

平移法

将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，

便于求出面积。

例 1、下图中，欲求阴影部分的面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右

边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

考点 6：

旋转法

将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或者某一轴旋转一定角度贴补在另一图形

的一侧，从而组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。

例 1、欲求下图

（1）中阴影部分的面积，可以将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180 度，使 A

与 C 重合，从而构成如下图

（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等

腰直角三角形的面积。

考点 7：

对称添补法

作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形，原来图形的面积就是这个新图

形的一半。

例 1、下图中，欲求右图中阴影部分的面积，沿 AB 在原图下方作关于 AB 为对称轴的对称扇形

ABD。

弓形 CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

考点 8：

重叠法

将所求图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决。

注：

容斥原理：

（S

A⋃B

= S + S - S

A B

A⋂B

）

例 1、欲求下图阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分

的面积恰好是两个扇形重叠的部分。

实战演练

课堂狙击

1、求图中阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【解析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成 1 圆的面积。

4

62×3.14× 1 ＝28.26（平方厘米）

4

2、下图是一个直角等腰三角形,直角边长 2 厘米,求图中阴影部分面积。

【解析】由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为 45 的扇形面积减去直角三角形的面

积.即 3.14 ⨯ 2 2 ⨯

45          1

360          2

3、如右图,阴影部分的面积为 2 平方厘米,求等腰直角三角形的面积。

【解析】将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为 x 厘米,

则圆的半径为

x                                              1

2                                              8

⎛ 1 ⎫ 23200

⎝ 2 ⎭13

19

13213

4、ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知:

AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?

（圆周率 π = 3.14 ）

【解析】如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形 AED 的面积减去正方形 BEDO 的面积再加

上圆面积的

1                                        1

4                                        2

的

1   1

4   4

11

24

（平方厘米）。

5、右图中 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的

半径都是 1 厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

A

1

2

D

C

正方形内空白部分面积为 4 个 1 圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即 π ⨯ 12 - 2 = π - 2 （平

4

方厘米）,所有空白部分面积为 2（π - 2） 平方厘米.故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空

白面积之和的差,即为 π ⨯ 12 ⨯ 4 - 2 ⨯ 2（π - 2） = 8 （平方厘米）。

6、如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【解析 1】先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，

再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。

如图所示。

3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）

【解析 2】把阴影部分看作

（1）和

（2）两部分如图 20－8 所示。

把大、小两个扇形面积相加，

刚好多计算了空白部分和阴影

（1）的面积，即长方形的面积。

3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）

课后反击

1、求图中阴影部分的面积（单位：

厘米）。

【解析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。

从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。

3.14×42×1/4

－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）。

2、求如图所示，图中圆的直径 AB 是 4 厘米，平行四边形 ABCD 的面积是 7 平方厘米，∠ABC

＝30 度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。

【解析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积，再减去三角形 BOC 的面

积。

半径：

4÷2＝2（厘米）

扇形的圆心角：

180－（180－30×2）＝60（度）

扇形的面积：

2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米）

三角形 BOC 的面积：

7÷2÷2＝1.75（平方厘米）

7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）。

3、在图中，正方形的边长是 10 厘米，求图中阴影部分的面积。

【解析 1】先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方

形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半：

10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）

阴影部分的面积：

10×10－21.5×2＝57（平方厘米）。

【解析 2】把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而 8 个扇

形的面积又正好等于两个整圆的面积。

（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）。

4、三角形 ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小 28 平方厘米. AB 长 40

厘米,求 BC 长。

【解析】从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白

部分的面积是三角形 ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小 28 平方厘米,故半圆面积比三

角形 ABC 的面积小 28 平方厘米。

⎛ 40 ⎫ 21

⎝ 2 ⎭2

的长为 656 ⨯ 2 ÷ 40 = 32.8 （厘米）。

5、如图 19－10 所示，两圆半径都是 1 厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。

求长方形 ABO1O

的面积。

【解析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。

又因为图中两个阴影部分的

面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 19－10 右图所示）。

所以 3.14×12

×1/4×2＝1.57（平方厘米）。

6、如图所示，求图中阴影部分的面积。

【解析 1】阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角

三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为 20÷2＝10 厘米

[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）。

【解析 2】以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转 90 度后，阴影部分的

面积就变为从半径为 10 厘米的半圆面积中，减去两直角边为 10 厘米的等腰直角三角形的面积

所得的差。

（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）。

直击赛场

1、（2016 年希望杯第 18 题）如图，圆 O 的直径 AB 与 CD 互相垂直，AB=20 厘米，以 C 为圆心，

CA 为半径画圆弧 AB，则阴影部分的面积是（）平方厘米。

【解析】阴影部分面积等于上半圆 AB 的面积减去弓形 AB 的面积，所以阴影部分面积为

111

⨯102 π - （ ⨯ 2 ⨯102 π -⨯ 20 ⨯10） = 100

242

2、（2013 年希望杯第 5 题） 如图，边长为 12cm 的正方形与直径为 16cm 的圆部分重叠（圆心

是正方形的一个顶点），用 S ，S 分别表示两块空白部分的面积，则 S —S =cm2（圆

1212

周率 π 取 3）。

=

【解析】 S - S = （S + S ）-（S + S ） S - S = 3 ⨯ （16 ÷ 2）2 -122 =48 。

121阴2阴圆正

重点回顾

①有些圆类面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组

合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

②在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位

组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

③对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部

分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

名师点拨

3.14

①在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的,而在圆内的最大正方形占所在圆

3.14

。

②在圆的半径 r 用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

学霸经验

➢本节课我学到

➢我需要努力的地方是