九年级相似较难题30题有解析汇报.docx

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九年级相似较难题30题有解析汇报

九年级相似较难题30题

一、选择题（共15小题）

1．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．

2.5AB

B．

3AB

C．

3.5AB

D．

4AB

2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：

①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：

①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：

S△DBH=1：

2．其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

②③④

C．

③④⑤

D．

①③⑤

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：

（1）△BEA与△ACD；

（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（　　）

A．

（1）（4）

B．

（1）

（2）

C．

（2）（3）（4）

D．

（1）

（2）（3）

6．已知：

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：

①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．

正确的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，则△ABC的面积是（　　）

A．

38

B．

42.8

C．

45.6

D．

47.5

8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：

①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形；

③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的接矩形，且EF：

FG=3：

1，AB：

BC=2：

1，则tan∠AHE的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论：

①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；

其中正确的是（　　）

A．

②④

B．

①④

C．

②③

D．

①③

12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：

①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

14．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

15．如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（　　）

A．

0对

B．

1对

C．

2对

D．

3对

二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值）

16．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：

①=；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF，

其中正确结论的序号是　_________　．

17．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H．下列结论：

①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．

其中正确的结论有　_________　．

18．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　_________　．（用含n的式子表示）

19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：

①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有　_________　．

20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：

①DF⊥CE；②DF=CE；③=；④=．其中正确结论的序号有　_________　．

21．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为　_________　．

22．已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形部（包括边界）任取一点P，得到△ACP并涂成黑色，使黑色部分的面积大于6cm2的概率为　_________　．

23．已知：

在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是　_________　．

三、解答题（共7小题）（选答题，不自动判卷）

24．如图

（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．

（图

（2）、图（3）供画图探究）

25．已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：

如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：

菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：

如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：

如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

26．情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：

与BC相等的线段是　_________　，∠CAC′=　_________　°．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

27．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．

（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在　_________　关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？

若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

28．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：

AC平分∠DAB；

（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长．

29．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：

△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

30．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在

（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：

3？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A．

2.5AB

B．

3AB

C．

3.5AB

D．

4AB

考点：

勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．菁优网所有

专题：

计算题；证明题；压轴题．

分析：

过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．

解答：

解：

过点B作BM∥AD，

∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，

∴AB=DM，AD=BM，

又∵∠ADC+∠BCD=90°，

∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，

∴MC2=MB2+BC2，

∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，

∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，

=，=，

即AD2=，BC2=，

∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==，

∵S1+S3=4S2，

∴MC2=4AB2，MC=2AB，

CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．

故选B．

点评：

此题涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．

2．（2012•二模）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网所有

专题：

压轴题；规律型．

分析：

由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．

解答：

解：

n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2．

∴S△AB1C1=×2×=，

∵∠B1C1B2=60°，

∴AB1∥B2C1，

∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，

∴△B1B2D1∽△C1AD1，

∴B1D1：

D1C1=1：

1，

∴S1=，

同理：

B2B3：

AC2=1：

2，

∴B2D2：

D2C2=1：

2，

∴S2=，

同理：

BnBn+1：

ACn=1：

n，

∴BnDn：

DnCn=1：

n，

∴Sn=．

故选D．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：

①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网所有

专题：

压轴题．

分析：

①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易证△ADE∽△ACD，得DE：

DA=DC：

AC=3：

AC，AC不一定等于4；

③当FC⊥AB时成立；

④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：

MC=BD：

DC=4：

3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．

解答：

解：

①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC．

故本选项正确；

②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：

DA=DC：

AC=3：

AC，但AC的值未知，

故不一定正确；

③由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE：

DA=BE：

BD，由②知DE：

DA=DC：

AC，

∴BE：

BD=DC：

AC，

∴AC•BE=BD•DC=12．

故本选项正确；

④连接DM，则DM=MA．

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM：

MC=BD：

DC=4：

3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：

AC=FM：

MC=4：

3，∴3BF=4AC．

故本选项正确．

综上所述，①③④正确，共有3个．

故选C．

点评：

此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，证明△ADE∽△ACD和△FMB∽△CMA是解决本题的关键．

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：

①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：

S△DBH=1：

2．其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

②③④

C．

③④⑤

D．

①③⑤

考点：

正方形的性质；相似三角形的性质．菁优网所有

专题：

压轴题．

分析：

本题为选择题，做选择题是要有技巧，像排除法，假设法都可以用，先看选项因为都有③选项故③可作为已知条件求解，

△DHB∽△CHG根据面积比等于相似比的平方可得S△CGH：

S△DBH=1：

2故选项有⑤，

然后再看①④中间哪个正确，先看①过G作GO⊥CD于O，设正方形边长为1，则，可求得CH=，====所以OC=，OD=1﹣，又==所以DH=，DO=DH﹣OH=1﹣，可得DO=OH，△DGH为等腰三角形，∠GDH=∠GHD，①正确．

解答：

解：

（1）∵选项都有③，故可确定EG=CH．

（2）由题意可得四边形BCED为平行四边形，进而推出△DHB∽△CHG，==，

∵面积比等于相似比的平方

∴S△CGH：

S△DBH=1：

2．

（3）先看①设正方形边长为1．则==可求得CH=，====所以OD=1﹣，又==∴DH=．DO=DH﹣OH=1﹣∴可得DO=OH，△DGH为等腰三角形，即得∠GDH=∠GHD，①正确

故选D．

点评：

本题考查的知识点比较多，正方形四边相等的性质及等腰三角形两底角相等的性质，面积比等于相似比的平方，相似三角形的比例关系要熟练掌握，另外还要掌握做选择题的一些方法，可是选择题的解答即快又准．

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：

（1）△BEA与△ACD；

（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（　　）

A．

（1）（4）

B．

（1）

（2）

C．

（2）（3）（4）

D．

（1）

（2）（3）

考点：

矩形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网所有

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据题意，分别寻找各对三角形相似的条件，运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90°

∴∠DCA+∠FED=180°

∵∠FED+∠AEB=180°

∴∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90°

∵∠DAC=∠ABE∴△BEA∽△ACD．

再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB，△CFD与△ABG相似，而（4）不成立．

解答：

解：

（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°，

∴∠BAF+∠CAD=90°，

又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，

∴∠CAD=∠ABF，

∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确；

（2）△FED与△DEB相似．理由：

DE2=AE2=EF•EB，∠DEF=∠BED；故此选项正确；

（3）△CFD与△ABG相似．理由：

∠CDF=90°﹣∠EDF，∠AGB=90°﹣∠EBG，

由

（2）的结论得：

∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确；

（4）△ADF与△CFB不具备相似条件．

故选D．

点评：

本题主要考查了三角形相似的判定．

6．已知：

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：

①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．

正确的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网所有

专题：

压轴题．

分析：

根据已知对结论进行分析，从而得到答案．

解答：

解：

作BG⊥CG，交CF的延长线于点G，

∵∠CGB=90°，CF⊥AD

∴∠1=∠2

∵AC=BC

∴△ACD≌△CBG

∴CD=BG，∠CDA=∠CBG

∵CD=BD

∴BG=BD

∵∠3=∠4，BF=BF

∴△BFG≌△BFD

∴∠FGB=∠FDB

∴∠ADC=∠BDF（故②正确）

如图2，作GB⊥BC，交CF延长线于点G，

∵∠ACB=90°，BG⊥BC

∴AC∥BG，∠CAB=∠3，∠AFC=∠BFG

∴△BFG∽△AFC

∵BE=BD=BC=AC

∴==

∴AF=2BF（③正确）

所以正确的有两个．

故选B．

点评：

此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形全等及相似求解．

7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，则△ABC的面积是（　　）

A．

38

B．

42.8

C．