22．1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质（3）
总结归纳：
一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：
当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．
抛物线y＝a（x－h）2＋k的特点是：
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是（h，k）．
2、自学检测：
函数y＝2（x＋3）2－5的图象是由函数的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到的；
抛物线y＝－2（x－3）2－1的开口方向是，其顶点坐标是，对称轴是直线，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而．
1、小组讨论：
探究1 填写下表：
解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－2x2
向下
y轴
（0，0）
y＝
x2＋1
向上
y轴
（0，1）
y＝－5（x＋2）2
向下
x＝－2
（－2，0）
y＝3（x＋1）2－4
向上
x＝－1
（－1，－4）
点拨精讲：
解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a（x－h）2＋k的形式，便于解答．
22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
（1）
一、
总结归纳：
二次函数y＝a（x－h）2＋k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；
用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a（x－h）2＋k的形式，则h＝－
，k＝
；则二次函数的图象的顶点坐标是（－
，
），对称轴是x＝－
；当x＝－
时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大（最小）值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值．
二、自学检测：
1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．
1、小组合作：
探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a（x－h）2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．
（1）y＝
x2－3x＋21；
（2）y＝－3x2－18x－22.
点拨精讲：
第
（2）小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．
22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
（2）
一、
总结归纳：
若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a（x－h）2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），可设函数的关系式为y＝a（x－x1）（x－x2），把另一点坐标代入式中，可求出解析式．
2、自学检测：
1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为．
点拨精讲：
可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值．
2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是（ D ）
A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b＋c的值为（ ）
A．0B．－1C．1D．2
点拨精讲：
根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（－1，0），将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．
5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是．
点拨精讲：
可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．
1、小组合作：
探究1 已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3），求函数的关系式和对称轴．
探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A（3，0），B（－1，0），且经过点C（2，9）．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．
点拨精讲：
因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．
22．2 二次函数与一元二次方程
（1）
一、自学指导．
总结归纳：
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：
当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：
有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．
二、自学检测：
1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x2＋x－2＝0的根是：
方程x2－6x＋9＝0的根是：
方程x2－x＋1＝0的根是：
1、小组合作：
探究 已知二次函数y＝2x2－（4k＋1）x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．
22．2 二次函数与一元二次方程
（2）
一、
总结归纳：
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是
的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是
的解．
2、自学检测：
1．若二次函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k¡Ù3D．k≤4且k¡Ù3
1、小组合作：
探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.
（1）求变换后新抛物线对应的函数解析式；
（2）若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－（4m＋n）x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．
探究2 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是．
22．3 实际问题与二次函数
（1）
一、
总结归纳：
图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax2＋bx＋c或y＝a（x－h）2＋k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题．
二、自学检测：
1．用长16m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是．
一、小组合作：
探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多？
此时，窗户的面积是多少？
（结果精确到0.01m）
解：
由题意可知4y＋
¡Á2πx＋6x＝15，化简得y＝
，设窗户的面积为Sm2，则S＝
πx2＋2x¡Á
＝－3x2＋
x，∵a＝－3<0，∴S有最大值．¡à当x＝1.25m时，S最大值≈4.69（m2），即当x＝1.25m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69m2.
点拨精讲：
中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？
为什么？
解：
设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为y＝x2＋（a－x）2＝2x2－2ax＋a2，当x＝－
＝
a时，y最小值＝2¡Á（
a）2－2a¡Á
a＋a2＝
a2.
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．
点拨精讲：
此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解．
22．3 实际问题与二次函数
（2）
一、
总结归纳：
在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．在二次函数y＝a（x－h）2＋k中，若a>0，当x＝h时，函数y有最小值，其值为y＝k；若a<0，当x＝h时，函数y有最大值，其值为y＝k．
点拨精讲：
遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值．
2、自学检测：
1．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是2，那么m的值是．
2．边长为10cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是xcm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数关系是．
3．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售（200－x）件，若想获得最大利润，则x应定为元．
1、小组合作：
探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）王强说：
¡°当月利润最大时，月销售额也最大．¡±你认为对吗？
请说明理由．
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