姿态的欧拉角表示.docx

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姿态的欧拉角表示

题目：

比拟分析，找出一种适合乒乓球机器人的末端姿态的欧拉角方法

姿态的欧拉角表示

任何旋转矩阵都可以通过三个欧拉角进展参数化，一般来说，绕三个坐标轴的顺次旋转可以到达任意的姿态，由于旋转矩阵的乘法是非交换的，因此旋转的次序是很重要的。

按照旋转所绕轴的次序的不同，共有12种不同的欧拉角。

六种非对称型欧拉角:

XYZ，XZY，YXZ，YZX，ZXY和ZYX;

六种对称型欧拉角:

XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ和ZYZ。

记绕三个坐标轴的根本旋转矩阵为:

1、非对称型欧拉角表示

当三个旋转所绕的坐标轴相互不同时，称为非对称型欧拉角表示。

以XYZ欧拉角为例，假定起始时物体坐标系与惯性坐标系重合，首先刚体绕物体坐标系的x-轴旋转α角，接着绕y-轴旋转β角，最后绕z-轴旋转角，那么刚体最终的姿态矩阵为:

上式给出了XYZ欧拉角参数的正运动学方程，反解该式可求得其逆运动学方程，给定姿态矩阵R=【rij】3×3时，可求得其逆运动学方程为:

从上式可以看出，当β=π2时，逆运动学存在奇异。

其他五种非对称型欧拉角表示的姿态矩阵计算结果列于表1。

这些表示均在β=π2时存在奇异。

对称型欧拉角表示

当三个旋转所绕的坐标轴第一个和第三个一样时，称为对称型欧拉角表示，以ZYZ欧拉角为例，首先绕物体坐标系的z-轴旋转α角，接着绕y-轴旋转β角，最后绕x-轴旋转γ角，那么刚体最终的姿态矩阵为:

另外还有五种对称型欧拉角表示的姿态矩阵列于表2。

这些表示均在β=0时存在奇异。

欧拉角表示与RPY角表示的对偶性

姿态的三参数描述还有一种称为RPY角参数的方法。

1和2中所描述的欧拉角参数的运动过程都是在物体坐标系中进展的，因此其姿态矩阵是按照矩阵的右乘规那么得到的。

而RPY角参数的运动过程那么是在惯性坐标系中完成的，其姿态矩阵是按照矩阵的左乘规那么得到。

这样，与12种欧拉角参数相对应的就有12种RPY角参数。

以ZYXRPY

角参数为例，其运动过程是:

假定起始时物体坐标系与惯性坐标系重合，刚体首先绕惯性坐标系的z-轴旋转γ角，接着绕惯性坐标系的轴旋转角，最后绕惯性坐标系的轴旋转角。

最终刚体的姿态矩阵

为:

R'ZYX=R（x，α）R（y，β）R（z，γ）=RXYZ。

因此，ZYXRPY角参数与XYZ欧拉角参数具有对偶关系。

同样的方法可以求得其他的11种欧拉角参数与相应的11种RPY角参数之间的对偶关系。

欧拉角参数表示的一阶运动

旋转矩阵R满足正交矩阵的条件，即RRT=1，对这个式子两边求导数，可得R·RT+（R·RT）T，因此

是一个反对称矩阵。

我们定义^ω=R·RT为刚体的瞬时空间角速度矩阵，它是在惯性坐标系中描述的。

下面我们利用公式求刚体的瞬时空间角速度和欧拉角参数空间角速度之间的关系。

设R=ABC，其中A、B和C是三种根本旋转矩阵。

计算R=ABC的角速度矩阵，有:

写成向量形式有:

此处

称为XYZ型欧拉角参数表示的雅克比矩阵，由detJXYZ=cosβ可知，JXYZ在β=π/2时出现奇异，这就是XYZ型欧拉角参

数的一阶运动奇异位形。

其他欧拉角参数表示的雅可比矩阵列于表3和表4。

从表3可以看出，非对称型欧拉角表示的雅可

比矩阵都在β=π/2时出现奇异，因此它们存在大角度的一阶运动奇异;从表4可以看出，对称型欧拉角表示的雅可比矩阵都在β=0时出现奇异，因此它们存在小角度的一阶运动奇异。

欧拉角参数表示的二阶运动

对式（4）继续求导，可以得到刚体的瞬时空间角加速度，它也是在惯性坐标系中描述的。

计算的结果如下，

其他欧拉角参数表示的矩阵列于表5和表6。

从表5可以看出，非对称欧拉角表示在β=π/2时出现二阶运动奇异，因此在这些点上存在大角度的二阶运动奇异;从表6可以看出，对称欧拉角表示都在β=0时出现二阶运动奇异，因此在这些点上存在小角度二阶运动奇异。