台风论文最终成果数学建模免积分.docx
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台风论文最终成果数学建模免积分
论文题目：
台风路径的预测
姓名：
陈子浙专业：
电力工程及其自动化0601
姓名：
王天福专业：
农业工程及其自动化06K1
姓名：
吝洪涛专业：
机械工程06k3
摘要
台风给广大的地区带来了充足的雨水，成为与人类生活和生产关系密切的降雨系统。
但是，台风也总是带来各种破坏，它具有突发性强、破坏力大的特点，是世界上最严重的自然灾害之一。
准确及时的台风预报，可以尽大可能减少生命和财产的损失。
台风预测是在原有数据的基础上预测将来的数据。
台风是由于气压差的作用而形成和行走的，在海平面上影响台风行走路径和风速的因素有很多，例如陆地的影响和海平面的湿度、温度等因素的影响。
通过对不同插值方法的比较，结合假设，考虑到台风的运动轨迹应该是时间的连续光滑函数，下面采用三次样条插值模型，对初始点及预测点之间的缺失点进行补充。
本文利用分型分布模型预测台风的未来位置，用首尾相接的分段折线将全部数据点一次相连，成为分段变维分型。
利用这种方法，算得分维数D，从而预测未来二十四小时的经纬度。
其次，本文利用灰色预测模型预测台风的未来风速，利用灰色预测方法建立风速的GM（1，1）模型，从而预测了未来24小时的风速。
本文利用Matlab计算得经度的分维数D和纬度的分维数D’，并根据模型分别预测出未来24小时的经纬度：
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经度
116.79
116.582
116.374
116.166
115.959
115.752
115.545
纬度
21.9775
21.9358
21.8941
21.8524
21.8108
21.7693
21.7278
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经度
115.339
115.133
114.928
114.722
114.517
114.313
114.108
纬度
21.6864
21.645
21.6037
21.5624
21.5212
21.48
21.4389
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经度
113.904
113.701
113.497
113.294
113.091
112.889
112.687
纬度
21.3979
21.3569
21.3159
21.275
21.2342
21.1934
21.1527
时间
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00
23:
00
经度
112.485
112.283
112.082
纬度
21.112
21.0714
21.0309
根据灰色预测预测出未来24小时的风速，根据Matlab编程计算获得。
关键词：
分维分布模型；灰色预测；插值预测；
一、问题的提出
台风给广大的地区带来了充足的雨水，成为与人类生活和生产关系密切的降雨系统。
但是，台风也总是带来各种破坏，它具有突发性强、破坏力大的特点，是世界上最严重的自然灾害之一。
准确及时的台风预报，可以尽大可能减少生命和财产的损失。
请利用附件中的数据，预测未来24小时内的台风的位置和风速。
二、问题的分析
根据某一台风的已知路径，建立两个独立的分段变维分型模型，一个代表已知路径的经度与时间的关系，另一个代表已知路径的纬度与时间的关系。
根据这两个模型，即可分别独立地预测未来台风路径的经度和纬度。
灰色系统是指既含有己知信息，又含有未知信息的系统，它是介于自色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授首先提出并加以发展的〔它研究的是信息不完全的对像，内涵不确定的概念，关系不明确的机制其任务就是要开拓一条新的途径，克服概率统汁的弱点，从杂乱无章、有限的、离散的数据中找出规律.建立灰色系统模型.」灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，是根据过去的及现在已知的或非确定的信息.建立一个从过去延伸到将来的灰色模型（GreyModel.简称GM），从而确定系统未来发展变化的趋势，并为规划、决策提供依据。
三、模型假设
1、假设台风的行走路径没有障碍。
2、气流涡旋不发生突变性的变化。
3、风速与压强相关，但在压强没有太大变化时随时间的变化而变。
4、台风的运动路径近似为台风中心点的运动路径。
四、符号的说明
t------时间
λ------经度
Φ------纬度
n------纬度累计和
n’-----经度累计和
D------纬度分维数
D’-----经度分维数
五、模型建立与分析
一、台风路径的预测
1、分形分布的相关公式分形分布可用如下幂指数分布定义
（1）
式中：
r为特征线度，如时间．长度等：
N为与r有关的物体数目，如温度，应力等；c为侍定常数，D为分维数。
在目前一般应用的分形方法中，D为常数．这种分形可称为常维分形。
它在双对数坐标上是一条直线但是对于非直线的函数关系．常准分形就无法处理。
为克服这一困难，笔者引入变维分形的概念．即分维数D是特征线度r的函数：
D—g（r）
（2）
对于N与r之间的任一函数关系N=f（r）．均可转化为变维分形的形式，为此只须令
（3）
即可解得
（4）
亦即得到变维分形的形式。
2、经纬度的预测
如何构造分形模型，是一个需要认真研究和反复探索的问题。
经过多次试验和对比，发现可以根据一台风的已知路径，建立两个独立的连续变维分形模型，一个代表已知路径的经度与时间的关系，另个代表已知路径的纬度与时间的关系。
根据这两个模型，即可分别独立地预测未来台风路径的经度与度。
题中已知数据
编号
月
日
时
中心位置
D
D'
经度/度
纬度/度
1
8
8
5
125.9
23
-0.9983
-1
2
8
8
6
125.6
23
-0.9971
-1
3
8
8
7
125.3
23
-0.9965
-1
4
8
8
8
125.1
23
-0.9952
-1
5
8
8
9
124.8
23
-0.9946
-1.004
6
8
8
10
124.6
23.1
-0.994
-1.0074
7
8
8
11
124.4
23.2
-0.994
-1.0064
8
8
8
12
124.3
23.2
-0.994
-1.0056
9
8
8
13
124.2
23.2
-0.9931
-1.005
10
8
8
14
124
23.2
-0.9922
-1.0045
11
8
8
15
123.8
23.2
-0.9913
-1.0041
12
8
8
16
123.6
23.2
-0.9905
-1.0038
13
8
8
17
123.4
23.2
-0.9896
-1.0035
14
8
8
18
123.2
23.2
-0.9888
-1.0033
15
8
8
19
123
23.2
-0.9872
-0.9989
16
8
8
20
122.7
23.1
-0.9872
-0.9948
17
8
8
21
122.6
23
-0.9863
-0.9908
18
8
8
22
122.4
22.9
-0.9863
-0.9871
19
8
8
23
122.3
22.8
-0.9854
-0.9878
20
8
9
0
122.1
22.8
-0.9853
-0.9884
21
8
9
1
122
22.8
-0.9844
-0.9889
22
8
9
2
121.8
22.8
-0.9819
-0.9894
23
8
9
3
121.4
22.8
-0.9803
-0.9898
24
8
9
4
121.1
22.8
-0.9787
-0.9902
25
8
9
5
120.8
22.8
-0.9779
-0.9906
26
8
9
6
120.6
22.8
-0.9764
-0.991
27
8
9
7
120.3
22.8
-0.9748
-0.9913
28
8
9
8
120
22.8
-0.9741
-0.9916
29
8
9
9
119.8
22.8
-0.9741
-0.9876
30
8
9
10
119.7
22.7
-0.9725
-0.988
31
8
9
11
119.4
22.7
-0.971
-0.9884
32
8
9
12
119.1
22.7
-0.971
-0.9887
33
8
9
13
119
22.7
-0.9695
-0.9891
34
8
9
14
118.7
22.7
-0.9679
-0.9894
35
8
9
15
118.4
22.7
-0.9656
-0.9897
36
8
9
16
118
22.7
-0.9632
-0.99
37
8
9
17
117.6
22.7
-0.9634
-0.9902
38
8
9
18
117.5
22.7
-0.9619
-0.9905
39
8
9
19
117.2
22.7
-0.9612
-0.9907
40
8
9
20
117
22.7
-0.9613
-0.9866
41
8
9
21
116.9
22.6
-0.9622
-0.974
42
8
9
22
116.9
22.3
-0.963
-0.9616
43
8
9
23
116.9
22
表一
建立连续变维分形模型：
为简便计，在特征线度r和物体数目N之中，最好能有一个按自然数序列1，2，3⋯⋯取值。
经过对比，可以将r按自然数序列取值。
令特征线度r代表时间序列，t代表实际时间
表示表1中编号为i的中心位置所对应的时间。
由于表1中各中心位置所对应的时间间隔均为l小时，所以可令
（5）
式中
亦即
r=i（i=1，2，3．⋯⋯）（6）
在两种模型中．r值均按（8）式取值。
（1）建立代表已知路径的纬度与时间序列关系的连续变维分形摸型。
令
表示表1中编号为i的中心位置所对应的纬度，将值取为纬度的累计和，亦即有：
（7）
与r之问的连续变维分形关系接
（1）式处理，其中D值按（4）式计算。
D结果列写在表一中。
N值见附录。
（2）建立代表已知路径的经度与时间序列关系的分段变维分形模型。
令
表示表1中编号为i的中心位置所对应的经度，将
值取为经度的累计和，亦即有：
（8）
与
之间的连续变维分形关系按
（1）式处理，其中D’值按（5）式计算。
D’结果列写在表一中。
N’值见附录。
现在讨论如何预测编号为43的下一时刻的分维数之值。
在这种情况下，就需要应用已知的台风路径给出的信息，亦即表一中给出的
之值。
令
的总增量为δ，则平均增量为
。
根据平均增量一值，应用最简单的线性外插值公式，可近似的确定第42段及以后的分维数之值：
（i>42）（9）
（10）
又根据
（11）
（12）
根据上述的公式计算得预测的经纬度列写在表中。
下面给出用matlab绘制出来的图形。
原始数据的图形
经过插值运算后的图形
MATLAB程序：
jd=[....];%为了节省篇幅省去了纬度的值
wd=[....];%为了节省篇幅省去了纬度的值
j1=[116.9
116.9
116.9
];%非线性增加的部分
w1=[22.6
22.3
22
];%非线性增加的部分
j=linspace（116.9,130.5,500）;
w=interp1（jd,wd,j,'spline'）;
plot（jd,wd,'*',j,w,'r',j1,w1,'r'）
预测值的图形
总体途径图
二、台风风速的预测
1 灰色预测模型的问题
设有原始序列
对进行一次累加,得到生成序列x
（1）（t）。
根据x
（1）（t）,建立GM（1,1）模型,其白化形式的微分方程为
式中a、u为待定参数,可根据最小二乘法来确定,其参数向量
这里
由此可得时间响应函数
（1）
式
（1）即为GM（1,1）模型。
对
（1）求导即得还原模型
（2）
或者
（3）
2、求解
利用灰色预测原理，我们假设风速构成矩阵y。
预测得到的新的风速。
据灰色模型的算法关系，可编写matlab程序来预测未来二十四小时的风速。
程序如下：
function[]=Greymodel（y）
%本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。
%应用的数学模型是GM（1,1）。
%原始数据的处理方法是一次累加法。
y=[
18
18
18
18
20
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
20
20
20
18
18
18
18
23
23
23
23
23
23
20
20
20
20
20
20
18
18
18
18
18
16
16
16
16
];
n=length（y）;
yy=ones（n,1）;
yy
（1）=y
（1）;
fori=2:
n
yy（i）=yy（i-1）+y（i）;
end
B=ones（n-1,2）;
fori=1:
（n-1）
B（i,1）=-（yy（i）+yy（i+1））/2;
B（i,2）=1;
end
BT=B';
forj=1:
n-1
YN（j）=y（j+1）;
end
YN=YN';
A=inv（BT*B）*BT*YN;
a=A
（1）;
u=A
（2）;
t=u/a;
i=1:
n+24;
yys（i+1）=（y
（1）-t）.*exp（-a.*i）+t;
yys
（1）=y
（1）;
forj=n+24:
-1:
2
ys（j）=yys（j）-yys（j-1）;
end
x=1:
n;
xs=2:
n+2;
yn=ys（2:
n+2）;
plot（x,y,'^r',xs,yn,'*-b'）;
det=0;
fori=2:
n
det=det+abs（yn（i）-y（i））;
end
det=det/（n-1）;
disp（['百分绝对误差为：
',num2str（det）,'%']）;
fori=1:
24
disp（['再下个拟合值为',num2str（ys（n+i））]）;
end
程序运行后的结果为图形如下图所示
按预测模型进行计算
，并进行累减生成
，然后计算原始序列
与
的绝对误差序列和相对误差序列：
（18）
（19）
1）关联度检验
关联系数：
（20）
关联度：
（21）
以关联度计算方法得到
与原始序列
的关联系数，再计算出其关联度，据经验，当ρ=0.5时，关联度r大于0.6就满意了。
2）后验差检验
原始序列标准差：
（22）
绝对误差标准差：
（23）
方差为绝对误差标准差与原始序列标准差之比：
（24）
小误差概率：
评判标准表
精度等级
好
合格
勉强合格
不合格
要
求
P
>0.95
>0.80
>0.70
≤0.70
C
<0.35
<0.60
<0.65
≥0.65
若此模型经残差检验、关联度检验、后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测，否则，需要进行残差修正。
由图形观测得，数据的误差较大，这是因为风速给定的比较离散，无法准确的预测的很准，残差较大。
风速具体与很多因素有关，所以根据给定数据无法较准确的预测结果。
若用拟合的思想进行预测则，借助与Mathematica软件对风速和压强进行拟合，按照对数递减的规律拟合。
数据进行列表后如下编程：
程序如下：
fx[x_]:
=1/x;fy[y_]:
=Log[y]
biao={{18.,998.},{18.,998.},{18.,998.},{20.,995.},{23.,990.},{25.,985.},{25.,985.},{25.,985.},{25.,985.},{23.,985.},{18.,995.},{16.,998.},{18.,996.},{18.,996.},{18.,996.},{18.,996.},{20.,995.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{20.,990.},{20.,990.},{18.,992.},{18.,992.},{18.,992.},{18.,992.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{23.,990.},{20.,992.},{20.,992.},{20.,992.},{20.,992.},{20.,992.},{20.,992.},{18.,995.},{18.,995.},{18.,995.},{18.,995.},{18.,995.},{16.,998.},{16.,998.},{16.,998.},{16.,998.}};
nb=Table[{fx[biao[[i,1]]],fy[biao[[i,2]]]},{i,1,54}]
ft3=Fit[nb,{1,x},x]
运行得到结果
6.8753+0.493939x
按照
的关系进行拟合，先作变换x’=1/x,y’=lny，拟合函数变形为y’=lna+bx’。
按照上述方法得到：
a=exp（6.8753）b=0.493939.
从而得到风速与压强的一个预测关系：
。
风速的大小影响因素很多，本文只预测了与压强的大致关系，其他的有待考证。
七、模型的结果
1、经纬度的预测：
编号
月
日
时
纬度
经度
44
8
10
0
21.978
116.79
45
8
10
1
21.936
116.58
46
8
10
2
21.894
116.37
47
8
10
3
21.852
116.17
48
8
10
4
21.811
115.96
49
8
10
5
21.769
115.75
50
8
10
6
21.728
115.55
51
8
10
7
21.686
115.34
52
8
10
8
21.645
115.13
53
8
10
9
21.604
114.93
54
8
10
10
21.562
114.72
55
8
10
11
21.521
114.52
56
8
10
12
21.48
114.31
57
8
10
13
21.439
114.11
58
8
10
14
21.398
113.9
59
8
10
15
21.357
113.7
60
8
10
16
21.316
113.5
61
8
10
17
21.275
113.29
62
8
10
18
21.234
113.09
63
8
10
19
21.193
112.89
64
8
10
20
21.153
112.69
65
8
10
21
21.112
112.49
66
8
10
22
21.071
112.28
66
8
10
23
21.031
112.08
2、风速的预测：
时间/h
0
1
2
3
4
5
6
7
风速/m/s
17.5108
17.3874
17.265
17.1434
17.0226
16.9027
16.7837
16.6655
时间/h
8
9
10
11
12
13
14
15
风速/m/s
16.5481
16.4316
16.3158
16.2009
16.0868
15.9735
15.861
15.7493
时间/h
16
17
18
19
20
21
22
23
风速/m/s
15.6384
15.5282
15.4188
15.3102
15.2024
15.0953
14.989
14.8835
八、模型评价及改进方向
8.1模型的优缺点：
1.本文的模型编程简单,可操作性强,易于推广.
2.本文在分析经纬度的时候采用了变维分形分析方法。
在预测台风路径的时候获得的结果比较理想。
3.在预测台风风速的时候，使用了灰色预测的方法，这样在影响因素较多的情况下，预测出的结果较为满意。
4.但是在分析台风风速的时候，掌握的资料不多，所以分析起来较为困难，用拟合的方法作为检验手段，分析风速与压强存在一定的关系，成一定的相同趋势。
九、附录
n'
n
125.9
23
251.5
46
376.8
69
501.9
92
626.7
115
751.3
138.1
875.7
161.3
1000
184.5
1124.2
207.7
1248.2
230.9
1372
254.1
1495.6
277.3
1619
300.5
1742.2
323.7
1865.2
346.9
1987.9
370
2110.5
393
2232.9
415.9
2355.2
438.7
2477.3
461.5
2599.3
484.3
2721.1
507.1
2842.5
529.9
2963.6
552.7
3084.4
575.5
3205
598.3
3325.3
621.1
3445.3
643.9
3565.1
666.7
3684.8
689.4
3804.2
712.1
392
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