高考数学考点测试57排列与组合.docx

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高考数学考点测试57排列与组合

考点测试57　排列与组合

高考概览

考纲研读

1．理解排列、组合的概念

2．理解排列数公式、组合数公式

3．能利用公式解决一些简单的实际问题

一、基础小题

1．4×5×6·…·（n－1）·n＝（　　）

A．AB．AC．n！

－4!

D．A

答案　D

解析　原式可写成n·（n－1）·…·6×5×4，故选D．

2．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（　　）

A．3种B．6种C．9种D．12种

答案　B

解析　甲、乙各选两个景点有CC＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6（种），故选B．

3．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

A．3种B．6种C．9种D．18种

答案　C

解析　解法一：

A类选修课选1门，B类选修课选2门，共有CC＝6（种）不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，共有CC＝3（种）不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有6＋3＝9（种）．故选C．

解法二：

从5门课中选3门，共有C种不同的选法，当在两类课中，有一类不选时，即B类选修课选3门，共有C种不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有C－C＝9（种）．故选C．

4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（　　）

A．34种B．48种C．96种D．144种

答案　C

解析　程序A有A＝2（种）结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA＝48（种），∴由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96（种）方法．

5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（　　）

A．16种B．36种C．42种D．60种

答案　D

解析　解法一（直接法）：

若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60（种）方法．

解法二（间接法）：

先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求，共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．

6．六个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数为（　　）

A．480B．720C．240D．360

答案　A

解析　6个人任意排列，共有A种排列方法，甲、乙站在一起的排列方法有AA种，则结果有A－AA＝480（种）．故选A．

7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）

A．144B．120C．72D．24

答案　D

解析　3把椅子形成四个间隔，3人从4个间隔任选3个即可，故坐法总数为A＝24．故选D．

8．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是（　　）

A．CCCAAB．AAAA

C．CCCAD．CCC

答案　C

解析　（分组分配法）将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有CCC种，再分配司机有A种，故共有方案数CCCA种．故选C．

9．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（　　）

A．30种B．90种C．180种D．270种

答案　B

解析　由每班至少1名，最多2名，知分配名额为1，2，2，∴分配方案有C··A＝90（种）．故选B．

10．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（　　）

A．12种B．18种C．36种D．54种

答案　B

解析　先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有·A种，故共有C·C＝18（种）．故选B．

11．5名同学分配到3个不同宣传站做宣传活动，每站至少1人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是________（用数字作答）．

答案　36

解析　将5名同学分成三组，要求甲、乙在同一组的方法数为C＋C＝6，将这三组分配到不同的宣传组的方法数为A＝6，故所有的分配方法数为6×6＝36．

12．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．（用数字作答）

答案　240

解析　假设4个路口分别为A，B，C，D，如果A路口有2人，则共有C·C·C·C种选派方法，同理若B，C，D路口有2人，则每种情况共有C·C·C·C种选派方法，故总的选派方法有4C·C·C·C＝240（种）．

二、高考小题

13．（2016·四川高考）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．48C．60D．72

答案　D

解析　奇数的个数为CA＝72．故选D．

14．（2016·全国卷Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：

{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（　　）

A．18个B．16个C．14个D．12个

答案　C

解析　当m＝4时，数列{an}共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1．

（1）当a2＝0时，分以下3种情况：

①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况；

（2）当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：

①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14（个）．故选C．

15．（2018·浙江高考）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．（用数字作答）

答案　1260

解析　若不取零，则排列数为CCA，若取零，则排列数为CCAA，因此一共有CCA＋CCAA＝1260个没有重复数字的四位数．

16．（2018·全国卷Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种（用数字填写答案）．

答案　16

解析　根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．

17．（2017·天津高考）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）

答案　1080

解析　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960．

②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120．

故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080（个）．

18．（2017·浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）

答案　660

解析　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480（种）选法．

有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CA＝180（种）选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660（种）不同的选法．

不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种．

故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660（种）．

三、模拟小题

19．（2018·汉口模拟）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（　　）

A．16种B．18种C．24种D．32种

答案　C

解析　将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A＝24（种）不同的停放方法．故选C．

20．（2018·武汉调研）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（　　）

A．60种B．48种C．30种D．24种

答案　B

解析　由题知，不同的座次有AA＝48（种）．故选B．

21．（2019·长春高三质量监测一）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为（　　）

A．6B．12C．24D．36

答案　B

解析　甲和另一个人一起分到A班有CA＝6种分法，甲一个人分到A班的方法有CA＝6种分法，共有12种分法．

22．（2019·贵州遵义航天高级中学模拟）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（　　）

A．60B．90C．120D．180

答案　B

解析　根据题意，分2步进行分析：

①5本不同的书分成3组，一组一本，剩余两个小组每组2本，则有＝15种分组方法；②将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，则有A＝6种情况．则有15×6＝90种不同的方法．故选B．

23．（2018·湖南岳阳一中一模）某高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有________种（　　）

A．24B．36C．42D．60

答案　D

解析　若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A＝6种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有CCAA＝36种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有CA＝18种；综上，这3个同学的不同进站方式有60种，故选D．

24．（2018·湖南三湘名校教育联盟第三次联考）“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（　　）

A．360种B．480种C．600种D．720种

答案　C

解析　从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600，故选B．

25．（2018·广东珠海质量检测）将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有________种（　　）

A．480B．360C．240D．120

答案　C

解析　解法一：

第一步：

先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：

从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有C种选法；第三步：

把剩下的3个球全排列，有A种排法，由乘法分步原理得不同方法共有4CA＝240种，故选C．

解法二：

根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，

分2步进行分析：

①先将5个小球分成4组，有C＝10种分法；

②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C．

26．（2018·广州一调）某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（　　）

A．36种B．24种C．22种D．20种

答案　B

解析　第一类：

男生分为1，1，1，女生全排，男生全排得AA＝12，第二类：

男生分为2，1，所以男生两堆全排后女生全排CAA＝12，不同的推荐方法共有12＋12＝24，故选B．

27．（2018·湖南、江西等十四校第二次联考）甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A，B，C，D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（　　）

A．48B．54C．60D．72

答案　C

解析　分两类：

乙、丙、丁、戊四位同学A，B，C，D四类课外书各借1本，共A＝24种方法；乙、丙、丁、戊四位同学B，C，D三类课外书各借1本，共有CA＝36种方法，故方法总数为60种．故选C．

28．（2018·辽宁朝阳一模）从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：

①CCC；②C－C－C；③CC＋CC＋CC．则其中正确算式的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　①错误，计算有重复；②正确，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③正确，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，所以选C．

29．（2018·山西康杰质检）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．

答案　120

解析　1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有AA＝144（个），4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2CCA＝24（个），所以所求六位数共有144－24＝120（个）．

30．（2018·长春质检）20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．

答案　120

解析　先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120（种）方法．

本考点在近三年高考中未涉及此题型．