第8章微分方程.docx

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第第8章微分方程章微分方程系专业第一节微分方程的基本概念.选择题1.微分方程xyy+x（y）34-yy，=0的阶是姓名学号第二节可分离变量的微分方程（A）2（B）3（04（D）52微分方程y-勿二0的通解是（A）y二Csin2x2x（B）y=4e二Cex3下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（A）xsin（xy）dx+ydy=0（B）（c）fsinydx（D）dxdy4微分方程一+丄=0满足yx*=4的特解是（A）3x+4y二7x2+y2=2522（0x-y=252（D）y-x=7二.填空题1.微分方程xyy=1y2=21nx-x2+cd七.微分方程dx+勺二0满足yx出二0的特解是ds|三的通解是dTYi-Llarcsins=arcsintc3eT=3ex-2三.计算题1.cosydx+（1+ejsinydy=0解：

原方程可化为tanydy=-Xdx1+e积分，得lncoyB=In弋df+）Cl故，方程的通解为cos0.00解：

特征方程为：

r2+6r+9+a2=0,求得特征根几上3ai3x所以方程的通解y=e（Cicosax+C2sinax）2求方程y=y的通解2解：

特征方程为r=r,得特征根为H二0,2=1所以方程的通解y=Ci+C2ex3.求方程4y+4y,+y=0,ys/Syx占二0的特解2解：

特征方程为4r+4r+1=0,解得特征根为r,二+GX）e2i-x所以方程的通解为y二（G111二Xy=（C-CC2x）e_22xm=ylxT=代入上二式，得G乂2二,3.X码鞭切方程y+y=sinX,故所求方程满足条件解y*时，正确的是D4.设f（X）=2x-Jo（Xt）f（t）dt,其中f（x）为连续函数,求函数f（x）解：

上方程可得：

f（x丿二f（x）,f0丿二2,f（0）=0设f（x）-p,则p=一p解得P二Ge当X=0,f（0）=2时，得f（X）二2eJ解得f（X丿二一2e+C2当x=0,f（X=0时，得C2=0故f（x丿-一2高等数学练习题第十二章微分方程.专业第九节.班姓名学号常系数非齐次线性微分方程.选择题（A）ae+b=ex+1的一个特解应具有形式（式中axe+b（C）aea,b为常数）+bxaxebxy*时，正确的是2.对于方程y-2y+y=3e，利用待定系数法求其特解（A）y*二Ay*=（Ax+B）/（C）y*Axe（D）-去-2-xy*二Axe（A）y*=asinxy：

Uacosx（C）y*=acosx+bsinx（D）y*=x（acosx+bsinx）二.填空题1.微分方程y+4y=ex的通解是y=Cicos2x+C2Sin2x+ge2微分方程y”_5y,_6y=x2-3的通解是y二Cxe6x+C2ei-丄X2+2X+-23618108三.计算题1.设函数y二y（x）满足微分方程y-3y+2y=2ex,且其图形在点（0,1）处的切线与曲线y=X2-x+1在该点的切线重合，求函数y二y（x）2辭好征初耗x3=+9=0.鯉每特邠炯r1-1Fo=非齐次方程中的7Z二7是特征根，所以设特解为得a=-2：

Xy=axe代入原方程，解于是原方程的通解为y=Ciex+C2e2x2xexy=X2-X+1有公共切线，所以y（0）=1,y（0）=1代入通解中得G+C2=1G+2C2=1因此对应的齐次方程的通解y二+C?

e由于积分曲线与曲线故所求的函数为y二（1-2x）ex2.求微分方程y+4y=xcosx的通解2解：

特征方程为r+4=0,解得其根为ri,2=:

i所以对应的齐次方程的通解为y二Gcos2x+C2sin2x代入原方程,设非齐次方程的特解为y*=（ax+b）cosx+（cx+d）sinx,并整理得（33X+3b+2c）cosC3x（32）sxn3a二13b+2c二01比较两边的系数,解得a-,b二0,c=0,d3d-2a二012所以y*二一xcosx+一sinx3912故所求方程的通解为y=Gcos2x+C2sin2x+-xcosx+sinx393.求微分方程=3/+2U的通解.2解：

特征方程为r3r+2二0,解得r二2和r二1,齐次方程的通解：

y=Ciex+弋2el设非次方程的特解为y二x（ax+b丿二Qx+bxeT代入原方程,并整理，得2a-b-2ax二x解得a二1,b二一12故所求方程的通解为y二Gex+C2e2x-（丄x+l）ex24设二阶常系数线性方程y+道+Py二电x的一个特解为y二e：

+（1+x）es,试确定常数2xx解：

将y二e+（1+x）e代入原方程，得（4+2a+P）ex+（3+2a+P）eX+（1+a+P）xe1e：

4+2d+二0P=y比较同类项的系数，得p+2a+P=1+a+P=q解方程组，得o3,P=2,Y=1,即原方程为y”一3y+2y=-ex对应的特征方程的根为n=l,r2=2,故齐次方程的通解为x2xy=Cie+C?

e所以原方程的通解为y=Ciex+C2弋e2x+（l+x）ex高等数学练习题第十二章微分方程.专业班姓名学号综合练选择题X电丫（X宅）21.已知函数yi二eAVo=A=eVqS，则产与y2线性相关（B）y2与y3线性相关（C）yi与y3线性相关（D）9V它们两两线性相关2若连续函数f（x）满足关系式f（x）=f（5）dt+ln2,则f（x）=（A）esln2（B）e2xln2（C）ex+1n23设y二y（x）是二阶常系数微分方程y+py+qy=满足初始条y（0）=y0）=0的特解，则当XT0时，函数z七）的极限是y（x）（A）不存在（B）1（02（D）3填空题,已知曲线过点（0,-2）,且其上任一点（X,y）处切线斜率为xln（1+X）,221yy+y=0满足初始条件y出二1,yL*出二寸的特解是4微分方程y2=X+15.微分方程yN+2y,+y=xex的通解三.计算题31求微分方程（y-x）dx2xdy=0的通解dx所以方程的通解为y=e,2xMe2XIdx2x2dx+CX2丄nxIlnx二顶一1Jxdx+C皿十2+d奴2.已知f（0）=0.5,试确定f（x）,使RX+f（X）ydx+f（x）dy=0为全微分方程，并求此全微分方程的通解.解：

由于P（x,y）=（es+f（x）y,Q（x,y）二f（x）要使ex+f（x）ydx+f（x）dy二0为全微分方程则f（X）=ex+f（x）且f（0）=0.5dXXrdXf（x）=efeedxC=esJehdx+C=exx+C由f（0）=0.5代入上式，得C=0.5所以f（X）=eX（x+0.5）因而原微分方程为exy（x+1.5）dx+ex（x+0.5）dy=0r（Xy）XXu（x,y）=ueyX+1.d5pex+（dy.5）0/X,）x=（o,ey：

XrX（y,XVx+1.5）d才e（X05dy（,0）eyfx1.5dxe+（x0.5c）yy=0匸ex（X+0.5dy=eA（x+0.5y原微分方程的通解为ex（x+0.5）y二C323.设f（x）在0,1连续，在（0,1）内f（x）A0且xf（X）=fg+ax,有设曲线y=f（x）与直线x=l,y二0围成的平面图形的面积为2,求函数f（x）.又问a取何值时，此图形绕X轴旋转成的旋转体体积最小dx33.Jdx解：

由于f（x）=e，x（J一xeXdx+C）二e（Jxedx+C）=xCx+C）=一X2+Cx22又2J（缪+5）dx低=所以所求的函数f（X）=3ax2+（4a）x2平面图形绕x轴旋转成的旋转体体积为：

3a22一X+（4a）xdx9a4322-x+3a（4a）x+（4a）xdx4+翌（47）+4帆2043,9a3a2（4a）令v，（a）二+3拠=0得a二_51023“932兀又v”（a）=+兀二一0所以当a=-5时。

平面图形绕X轴旋转成的旋转体体积最小。