高考数学二轮复习思想34等价转换思想教学案.docx

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高考数学二轮复习思想34等价转换思想教学案

2019-2020年高考数学二轮复习思想3.4等价转换思想教学案

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．

1.转化有等价转化与非等价转化．

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．

2．转化与化归的原则：

（1）熟悉化原则：

将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．

（2）简单化原则：

将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

（3）和谐化原则：

化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；

（4）直观化原则：

将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．

（5）正难则反原则：

当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．

3．常见的转化与化归的方法：

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：

（1）直接转化法：

把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

（2）换元法：

运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

（3）数形结合法：

研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．

（4）等价转化法：

把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．

（5）特殊化方法：

把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．

（6）构造法：

“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．

（7）坐标法：

以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．

（8）类比法：

运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．

（9）参数法：

引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．

（10）补集法：

如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．

4．转化与化归的指导思想：

（1）把什么问题进行转化，即化归对象．

（2）化归到何处去，即化归目标．

（3）如何进行化归，即化归方法．

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

【热点分类突破】

类型一　　特殊与一般的转化

例1.设是奇函数，对任意的实数，有，且当时，，则在区间上（）

A．有最小值B．有最大值C．有最大值D．有最小值

分析：

此题可根据题意，构造一个特殊函数，即可得出答案。

【答案】B

点评：

一般满足的，特殊也满足，可构造一个特殊函数，通过特殊函数求解．

【规律总结】一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点：

①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．

②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．

③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．

④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．

常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．

【举一反三】

已知函数f（x）＝（a－3）x－ax3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．[12，＋∞）C．[－1,12]D.

答案　D

类型二　相等与不等的转化

例２．设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围

试题分析：

（Ⅰ）先确定函数定义域，再求导函数

，进而求定义区间上导函数的零点，最后列表分析导函数符号：

当时，；当时，，确定单调区间：

增区间为，减区间为；（Ⅱ）化简方程得，变量分离得，利用导数研究函数单调性变化规律：

在区间上是增函数，在区间上是减函数.最后结合图像确定有唯一解的条件：

.或

试题解析：

（1）依题意，知的定义域为，当时，，

令，解得或（舍去），当时，；当时，，所以的单调增区间为，减区间为；

（2）当时，，由，得，又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，∴，由得；，得，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.

，故.或.

点评：

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

【规律总结】等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，有时表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式（组）来求解，则显得非常简捷有效．

【举一反三】

【湖南省衡阳市xx届一模】已知关于x的方程有且仅有2个实数根,则实数m的取值范围为_____________。

【答案】

类型三　常量与变量的转化

例３．已知函数

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数单调递增区间；

（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围．

分析：

（1）由导数几何意义得：

函数在点处的切线斜率为，又因为，所以函数在点处的切线方程为．

（2）利用导数求函数单调区间，先求函数导数，整理，讨论导函数符号：

当时，

；

；当时，

；

；从而的单调增区间为．（3）先去绝对值，即存在，使得等价于，由

（2）讨论知的最小值，的最大值为和中的最大值．这样本题关键为确定和大小：

作差，研究单调性得当时，；当时，．最后利用函数单调性解不等式．

（3）因为存在，使得成立，而当时，

，所以只要即可．又因为，，的变化情况如下表所示：

减函数

极小值

增函数

所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．因为

，令，因为

，所以在上是增函数．而，故当时，，即；当时，，即．所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．

综上可知，所求的取值范围为．

点评：

本题（3）把不等式转化为关于的函数，利用函数的单调性来解决，合理利用常量与变量的转化，会事半功倍．

【规律总结】在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．

【举一反三】

已知当时，恒成立，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】设

，则对成立等价于，即，解之得或，即实数的取值范围是.

类型四　正与反的相互转化

例4．设命题函数的定义域为;命题对一切的实数恒成立,如果命题“”为假命题,求实数的取值范围.

分析：

分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假p，q至少有一个为假命题，故其反面为：

p，q都为真命题；先求出p，q都为真命题时实数k的取值范围，再求其在实　集上的补集就是所求实数k的取值范围．

【规律总结】否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．

【举一反三】

函数

．

（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数在上不单调时；

①记在上的最大值、最小值分别为，求；

②设，若，对恒成立，求的取值范围．

（2）因为函数在上不单调，所以，①当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，所以

．当，即时，，

；当，即时，，

；当时，在上是减函数，所以

，故，综上得

．②对恒成立，即

类型五　数与形的转化问题

例5　某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为（材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积）（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【规律总结】数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．破解此类题的关键点：

①数形转化，确定需要等价转化的数量关系（解析式）与图形关系．

②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．

③回归结论，回归原命题，得出正确结论．

数与形转化问题，特别是空间转化问题，往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理，转化为平面几何问题来处理，降低维度，简化求解过程，降低难度．

【举一反三】

　已知直线l：

y＝kx＋1（k≠0）与椭圆3x2＋y2＝a相交于A，B两个不同的点，记直线l与y轴的交点为C.

（1）若k＝1，且|AB|＝

，求实数a的值；

（2）若

＝2

，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时椭圆的方程．

【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）由

得4x2＋2x＋1－a＝0，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

，

从而|AB|＝

|x1－x2|＝

·

＝

·

＝

，解得a＝2.

（2）由

得（3＋k2）x2＋2kx＋1－a＝0，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

.

易知C（0,1），由

＝2

，得（－x1,1－y1）＝2（x2，y2－1），

【方法技巧】

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。

化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：

怎样才能达到解原问题的目的。

在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确

化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。

例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。

学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。

5．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．

（2）简单化原则．将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．

（3）和谐化原则．化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．

（4）直观化原则．将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．

（5）正难则反原则．当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．

6．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系．

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．

7．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，也可以从几何的角度去认识问题．