上海初二八年级上数学知识点详细总结.docx
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上海初二八年级上数学知识点详细总结
《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章
实数
一、实数的观点及分类
1、实数的分类
实数
有理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
有限小数和无穷循环小数
无理数
无穷不循环小数
负无理数
2、无理数：
无穷不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无穷不循环”这一时之，概括起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如7,3
2等；
π
（2）有特定意义的数，如圆周率
π，或化简后含有
π的数，如
等；
+8
3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
二、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：
一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就
叫做
a的算术平方根。
特别地，
0的算术平方根是
0。
表示方法：
记作“
a”，读作根号
a。
性质：
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：
一般地，假如一个数
x的平方等于
a，即
x2=a，那么这个数
x就叫做
a的
平方根（或二次方根）
。
表示方法：
正数
a的平方根记做“
a”，读作“正、负根号
a”。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
a0
注意:
a的两重非负性：
a0
3、立方根
一般地，假如一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三
次方根）。
表示方法：
记作3a
性质：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
3
a
3
a
，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。
三、二次根式计算
1、含有二次根号“”；被开方数a一定是非负数。
2、性质：
（1）（
a）2
a（a
0）
a（a
0）
（2）
a2
a
a（a
0）
（3）
ab
a?
b（a
0,b
0）（
a?
b
ab（a
0,b0））
（4）
a
a（a
0,b
0）
（
a
a（a
0,b
0））
b
b
b
b
3、化简二次根式：
把二次根式被开方数的完整平方因式移到根号外。
例：
1823232。
（字母因式由根号内移到根号外时，一定考虑字母因式隐含的符号）
4、最简二次根式：
化简后的二次根式需同时切合以下两个条件：
⑴被开方数中各因式
的指数都为1；⑵被开方数不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种状况：
⑴假如被开方数是分式或分数（包含小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分
式的形式，而后再分母有理化；
⑵假如被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，而后把能开方的因式或
因数开出来，进而将式子化简。
化二次根式为最简二次根式的步骤：
⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式；
⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；
⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。
5、同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数同样，那么这几
个二次根式是同类二次根式。
例：
18、22、12。
（判断能否是同类二次根式：
第一，
2
要看它们能否是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数能否同样）
6、二次根式的加法、减法：
⑴化简，化成最简二次根式；⑵归并同类二次根（马上被
开方数同样的二次根式的系数进行归并）
7、二次根式的乘法、除法：
⑴先达成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，
带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽略隐含条件）。
8、分母有理化：
把分子和分母都乘以一个适合的代数式，使分母不含根号，这种计算
叫做分母有理化。
第二章一元二次方程一、定义：
只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。
2
三、一元二次方程的解法：
22
方法。
（三种状况：
有两个不相等的实数根，等于0,没有实数根）
2、因式分解法：
提取公因式、公式法（平方差、完整平方公式）、十字相乘法、分组分解法。
3、配方法：
⑴移常数项；⑵化二次项系数为
1；⑶配方，在方程的左右两边同时加前一次
项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。
4、公式法：
⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数
a、b、c的值（要注意它们
的符号）；⑶计算b2
4ac；⑷当b2
4ac
0时，将a、b、c的值代入求根公式，求出方
程的两个根；⑸当b2
4ac<0时，方程没有实数根，就不用解了。
（开平方法、因式分解法一般合用于特别形式的方程，
而配方法、公式法是使用最广泛的
方法，合用随意方程，此中：
公式法计算较繁琐。
）
四、一元二次议程根的鉴别式
1、定义：
b2
4ac叫做一元二次方程
aX2
bXc
0（a
0）的根的鉴别式，往常用符号
“△”来表示，即△
=b2
4ac。
2、一元二次方程aX2
bX
c
0（a
0）的根的状况与△的关系：
⑴△=
b
2
ac
0
方程有两个不相等的实数根。
4
⑵△=
b2
4ac
0
方程有两个相等的实数根。
⑶△=
b
2
4
0
方程没有实数根。
ac
3、由方程的状况求字母系数的值或取值范围
⑴假如说方程有实数根，那么
b2
4ac0；
⑵注意：
因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件
a
0。
五、一元二次议程的应用
1、二次三项式的观点：
形如（a、b、c都不为0）的多项式称为二次三项式。
2、二次三项式的因式分解：
⑴第一考虑可否提取公因式；⑵可否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。
3、列一元二次方程解应用题的一般步骤：
⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸查验⑹写答案
4、依据题意列方程时，一定同时知足以下四个条件：
⑴方程两边意义同样；⑵方程两边单位一致；⑶方程两边数值相等；⑷方程全面地反应了题
中全部数目之间的关系。
5、列一元二次方程解题的种类：
⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依照，列出一元两次方程，解题）；
⑵增加（降低）率问题：
如设基数为a，均匀增加率为x，则第一次增加后为a（1+x）,第二
次增加后为a（1+x）2；
⑶收益（销售）问题：
常用等量关系有：
收益=售价-进价（成本）、总收益=每件的收益×总
件数、收益率=
收益
0、售价=标价×打折数等；
100
0
进价（或成本）
注意：
解应用题时必定不要忘掉查验所求的根能否切合实质问题的要求。
第三章一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，假如给定一个x值，相应地就确立了一
个y值，那么我们称y是x的函数，此中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数存心义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实质意义几方面考虑。
（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一确实数。
（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，
自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一确实数。
（4）若分析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，而后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）关于与实质问题相关系的，自变量的取值范围应使实质问题存心义。
三、函数的三种表示法及其优弊端
（1）关系式（分析）法
两个变量间的函数关系，有时能够用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做关系式（分析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、函数图像
函数图象的定义：
一般的，关于一个函数，假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在座标平面内由这些点构成的图形，就是这个函数的图象．
用描点法画函数的图象的一般步骤：
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：
列表时自变量由小到
大，相差同样，有时需对称。
2、描点：
（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表
格中数值对应的各点。
3、连线：
（依照横坐标由小到大的次序把所描的各点用光滑的曲线连结起来）。
五、正比率函数和一次函数
1、正比率函数和一次函数的观点
一般地，若两个变量x，y间的关系能够表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形
式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数ykxb中的b=0时（即ykx）（k为常数，k0），称y是x
的正比率函数，是一次函数的特例。
2、一次函数的图像:
全部一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比率函数图像的主要特点：
一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比率函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符
b的符号函数图像图像特点
号
y
b>0
0
图像经过一、二、三象限，y
x
随x的增大而增大。
k>0
y
b<0
0
图像经过一、三、四象限，y
x
随x的增大而增大。
y
图像经过一、二、四象限，y
b>0
随x的增大而减小
0x
K<0
y
图像经过二、三、四象限，y
b<0
随x的增大而减小。
0x
注：
当b=0时，一次函数变成正比率函数，正比率函数是一次函数的特例。
4、正比率函数的性质
一般地，正比率函数ykx有以下性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数ykxb有以下性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比率函数和一次函数分析式确实定
确立一个正比率函数，就是要确立正比率函数定义式ykx（k0）中的常数k。
确
定一个一次函数，需要确立一次函数定义式
题的一般方法是待定系数法。
ykxb（k0）中的常数k和b。
解这种问
待定系数法：
先设出函数分析式，再依据条件确立分析式中未知的系数，进而详细写出
这个式子的方法。
（1）一次函数与一元一次方程：
从“数”的角度看x为什么值时函数y=ax+b的值为0。
（2）求ax+b=0（a,b是常数，a≠0）的解，从“形”的角度看，求直线y=ax+b与x轴交点
的横坐标。
（3）一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）。
从“数”的角度看，x为什么值时函数y=ax+b
的值大于0。
（4）解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）。
从“形”的角度看，求直线y=ax+b在x轴
上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转变成：
kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一
次函数分析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，?
即kx+b=0就与一元一次方程完整同样．
结论：
因为任何一元一次方程都可转变成kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．因此
解一元一次方程能够转变成：
当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确立它与x轴交点的横坐标值．
7、反比率函数
定义：
一般地，形如yk（k为常数，ko）的函数称为反比率函数。
yk
xx
还能够写成ykx1
反比率函数分析式的特点：
⑴等号左侧是函数y，等号右侧是一个分式。
分子是不为零的常数k（也叫做
比率系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
⑵比率系数k0
⑶自变量x的取值为全部非零实数。
⑷函数y的取值是全部非零实数。
反比率函数的图像
⑴图像的画法：
描点法
①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
②描点（有小到大的次序）
③连线（从左到右圆滑的曲线）
⑵反比率函数的图像是双曲线，
y
k（k为常数，
k
0）中自变量
x
0，函
x
数值y0，因此双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延长部分渐渐靠
近坐标轴，可是永久不与坐标轴订交。
⑶反比率函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx或yx）。
⑷反比率函数
y
k
（
k
0）中比率系数
k的几何意义是：
过双曲线
y
k
x
x
（k0）上随意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。
反比率函数性质以下表：
k
的取值
图像所在象限
函数的增减性
k
o
一、三象限
在每个象限内，y值随x的增大而减小
k
o
二、四象限
在每个象限内，y值随x的增大而增大
反比率函数分析式确实定：
利用待定系数法（只要一对对应值或图像上一个
点的坐标即可求出k）
“反比率关系”与“反比率函数”：
成反比率的关系式不必定是反比率函数,
可是反比率函数yk中的两个变量必成反比率关系。
x
第四章几何证明
一、几何证明中常用的证明方法：
1、证明两直线平行——利用平行线的性质和判断，利用平行线的判判定理及其推论来证明，这是证明两直线平行最基本的方法，重点是找出同位角、内错角的相等关系或同旁内角的互补关系。
2、证明两线段相等——利用三角形全等的性质和判断、利用等腰三角形的性质和判断
（1）假如两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等，有时可能缺乏直接条件，要证明两次全等；
（2）有时两线段分别在两个三角形中,但这两个三角形不全等,那么可添协助线结构全等三角形来证。
常添的协助线有:
平行线、垂线、中线、连结线段等。
（3）假如两线段是一个三角形的两边，可证它们所对的角相等、等角平等边；
（4）证明两条线段都等于第三条线段，即以第三条线段为媒介。
3、证明两角相等——利用三角形全等的性质和判断、利用等腰三角形的性质和判断。
4、证明两直线相互垂直——利用垂直的定义、利用等腰三角形三线合一的性质。
*5、证一线段等于另一线段的2倍或一半——利用加倍法或拆分法经常要作协助线。
添协助线：
因为证明的需要，能够在本来的图上添画一些线，即增添协助线来达成一些
几何证明，协助线往常画成虚线。
三角形证明题中常有在协助线做法：
利用三角形的主要线段结构全等三角形。
二、全等三角形
1、定义：
能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转
能够获得它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
（1）：
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：
全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：
全等三角形的对应边上的对应中线、角均分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判断
边边边：
三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
SSS”）
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“
SAS”）
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
ASA”）
角角边:
两角和此中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“
AAS”）
方法引导
斜边.直角边：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“
HL”）
证明两个三角形全等的基本思路：
4、证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边
（SSS）
（1）：
已知两边
----找夹角
（SAS）
找能否有直角（HL）
找这边的另一个邻角
（ASA）
已知一边和它的邻角
找这个角的另一个边
（SAS）
（2）:
已知一边一角
---
找这边的对角（AAS）
已知一边和它的对角
找一角（AAS）
已知角是直角，找一边
（HL）
找两角的夹边（ASA）
（3）:
已知两角---
找夹边外的随意边（AAS）
练习
三、勾股定理
1、勾股定理的定义
直角三角形两直角边
a，b的平方和等于斜边
c的平方，即a2
b2
c2
2、勾股定理的逆定理
假如三角形的三边长
a，b，c相关系a2
b2
c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：
知足a2
b2
c2的三个正整数，称为勾股数。
几何主要定义：
（1）角
角均分线的性质：
角均分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距
离相等的点在角均分线上。
（2）订交线与平行线
同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；对顶角的性质：
对顶角相等
垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点有与直线上各点连结的全部线段中，垂线段最短；
线段垂直均分线定义：
过线段的中点而且垂直于线段的直线叫做线段的垂直均分线；
线段垂直均分线的性质：
线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等，到线段两头点的距离相等的点在线段的垂直均分线；
平行线的定义：
在同一平面内不订交的两条直线叫做平行线；平行线的判断：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行；
平行线的特点：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补；
平行公义：
经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
（3）三角形
三角形的三边关系定理及推论：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边；
三角形的内角和定理：
三角形的三个内角的和等于；
三角形的外角和定理：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
角形的三条角均分线交于一点（心里）；
三角形的三边的垂直均分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：
三角形两边中点的连线平行于第三边，而且等于第三边的一半；
全等三角形的判断：
①边角边公义（SAS）
②角边角公义（ASA）
③角角边定理（AAS）
④边边边公义（SSS）
⑤斜边、直角边公义（HL）
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）
等腰三角形的判断：
有两个角相等的三角形是等腰三角形；
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
④直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判断：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②假如三角形的三边长a、b、c有下边关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
公式：
1、长方形的周长=（长+宽）×2
C=（a+b）×2
2、正方形的周长=边长×4
C=4a
3、长方形的面积=长×宽
S=ab
4、正方形的面积=边长×边长
S=a.a=a2
5、三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高
S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
S=（a＋b）×h÷2
8、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
c=πd=2πr
9、圆的面积=圆周率×半径×半径
S=πr2
10、菱形面积=对角线乘积的一半
S=（a×b）÷2
11、弧长计算公式：
L=n兀R／180
12、扇形面积公式：
S扇形=n兀R2／360=LR／2
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