中考数学常考易错点 44 多边形与平行四边形.docx

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中考数学常考易错点44多边形与平行四边形

2019-2020年中考数学常考易错点4.4多边形与平行四边形

易错清单

1.平行四边形的性质.

【例1】　（2014·湖南益阳）如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是（　　）.

A.AE=CFB.BE=FD

C.BF=DED.∠1=∠2

【解析】　A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;

B.当BE=FD,

∵　平行四边形ABCD,

∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴　△ABE≌△CDF（SAS）,故此选项错误;

C.当BF=ED,

∴　BE=DF.

∵　平行四边形ABCD,

∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴　△ABE≌△CDF（SAS）,故此选项错误;

D.当∠1=∠2,

∵　平行四边形ABCD,

∴　AB=CD,∠ABE=∠CDF.

在△ABE和△CDF中,

∴　△ABE≌△CDF（ASA）,故此选项错误;

【答案】　A

【误区纠错】　此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.

2.平行四边形的判定.

【例2】　（2014·云南）如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.

（1）求证:

四边形MNCD是平行四边形;

（2）求证:

BD=MN.

【解析】　

（1）根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;

（2）根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.

【答案】　

（1）∵　ABCD是平行四边形,

∴　AD=BC,AD∥BC.

∵　M,N分别是AD,BC的中点,

∴　MD=NC,MD∥NC.

∴　四边形MNCD是平行四边形.

（2）如图,连接ND,

∵　四边形MNCD是平行四边形,

∴　MN=DC.

∵　N是BC的中点,

∴　BN=CN.

∵　BC=2CD,∠C=60°,

∴　△NCD是等边三角形.

∴　ND=NC,∠DNC=60°.

∵　∠DNC是△BND的外角,

∴　∠NBD+∠NDB=∠DNC.

∵　DN=NC=NB,

【误区纠错】　本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.

名师点拨

　1.掌握多边形内角和公式（n-2）·180°及外角和均为360°这个特征.

2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.

名师点拨

　1.掌握多边形内角和公式（n-2）·180°及外角和均为360°这个特征.

2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.

提分策略

1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.

由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.

【例1】　如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:

（1）△ABE≌△CDF;

（2）四边形BFDE是平行四边形.

【解析】　

（1）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.

（2）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【答案】　

（1）∵　四边形ABCD是平行四边形,

∴　∠A=∠C,AB=CD.

在△ABE和△CDF中,

∵　AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,

∴　△ABE≌△CDF（SAS）.

（2）∵　四边形ABCD是平行四边形,

∴　AD∥BC,AD=BC.

∵　AE=CF,

∴　AD-AE=BC-CF,

即　DE=BF.

∴　四边形BFDE是平行四边形.

2.平行四边形的判定.

利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.

【例2】　（2014·甘肃白银）D,E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证:

四边形DGFE是平行四边形.

【解析】　根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;

【答案】　∵　D,E分别是AB,AC边的中点,

∴　DE∥GF且DE=GF.

∴　四边形DEFG是平行四边形.

3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.

（1）判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.

【例3】　在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是（　　）.

A.正三角形B.正六边形

C.正方形D.正五边形

【解析】　A.正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

B.正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

C.正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;

D.正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.

【答案】　D

（2）判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.

【例4】　现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（　　）.

A.正方形和正六边形

B.正三角形和正方形

C.正三角形和正六边形

D.正三角形、正方形和正六边形

【解析】　A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得

显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;

B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满;

C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;

D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.

【答案】　A

专项训练

一、选择题

1.（2014·北京房山区二模）若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为（　　）.

A.正八边形B.正九边形

C.正十边形D.正十一边形

2.（2014·江苏常州模拟）已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是（　　　）.

A.当AB=BC时,它是菱形

B.当AC⊥BD时,它是菱形

C.当∠ABC=90°时,它是矩形

D.当AC=BD时,它是正方形

3.（2014·四川乐山模拟）如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于（　　）.

A.4B.6

C.8D.不能确定

（第3题）

（第4题）

4.（2014·安徽安庆外国语学校模拟）如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是（　　）.

A.70°B.110°

C.140°D.150°

5.（2013·浙江海宁部分学校联考）如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是（　　）.

A.110°B.108°

C.105°D.100°

（第5题）

（第7题）

6.（2013·内蒙古赤峰模拟）一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是（　　）.

A.5B.6

C.7D.8

7.（2013·云南宣威模拟）如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为（　　）.

A.30°B.60°或120°

C.60°D.120°

8.（2013·陕西西安模拟）下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）.

A.1∶2∶3∶4B.2∶3∶2∶3

C.2∶3∶4∶5D.1∶2∶2∶3

二、填空题

9.（2014·江苏南京二模）如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转　　　　°. 

（第9题）

10.（2013·湖北枣阳模拟）已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF=　　　　. 

三、解答题

11.（2014·上海长宁区二模）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证:

四边形ACEF是平行四边形.

（第11题）

12.（2014·广东深圳模拟）已知:

如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,

（1）求证:

△AED≌△CFB;

（2）若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?

（第12题）

13.（2013·浙江湖州中考模拟试卷）如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.

（1）求证:

四边形EBFD是平行四边形;

（2）若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.

（第13题）

参考答案与解析

1.C　[解析]多边形外角和均等于360°,

2.D　[解析]当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.

3.C　[解析]∵　△PEF的面积是2,

∴　△PBC的面积是2×4=8.

∵　△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,

∴　S1+S2=8.

4.D　[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.

5.D　[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.

6.C　[解析]（n-2）×180°=3×360°-180°.

7.D　[解析]△ABE是等边三角形.

8.B　[解析]平行四边形对角相等.

9.72°　[解析]正五边形每个内角相等,均等于

至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.

11.∵　∠ACB=90°,E是BA的中点,

∴　CE=AE=BE.

∵　AF=AE,

∴　AF=CE.

在△BEC中,∵　BE=CE且D是BC的中点,

∴　ED是等腰三角形BEC底边上的中线.

∴　ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.

∴　∠1=∠2.

∴　∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.

∵　AF=AE,

∴　∠F=∠3.

∵　∠1=∠3,

∴　∠1=∠F=∠3.

∴　在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.

∴　∠AEC=∠FAE,

∴　CE∥AF.

又　CE=AF,

∴　四边形ACEF是平行四边形.

（第11题）

12.

（1）∵　平行四边形ABCD,

∴　AD=BC,AD∥BC.

∴　∠ADE=∠CBF.

又　AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,

∴　∠AED=∠CFB=90°.

∴　△AED≌△CFB（AAS）.

（2）在Rt△AED中,

∵　∠ADE=30°,AE=3,

∴　AD=2AE=2×3=6.

∵　∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,

∴　∠ABE=45°.

13.

（1）在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.

∵　E,F分别是AB,CD的中点,

∴　BE=DF.

∴　四边形EBFD是平行四边形.

（2）∵　AD=AE,∠A=60°,

∴　△ADE是等边三角形.

∴　DE=AD=2.

又　BE=AE=2,由

（1）知四边形EBFD是平行四边形,

∴　四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8.

2019-2020年中考数学常考易错点4.5特殊的四边形

易错清单

1.矩形的性质.

【解析】　连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.

【答案】　如图,连接BE,则BE=BC.

设AB=3x,BC=5x,

∵　四边形ABCD是矩形,

∴　AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.

由勾股定理,得AE=4x,

则DE=5x-4x=x,

【误区纠错】　本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.

2.菱形面积的计算.

【例2】　（2014·甘肃兰州）如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足

那么菱形的面积等于　　　　. 

【解析】　根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.

【答案】　由题意,得a-1=0,b-4=0,

解得a=1,b=4,

∵　菱形的两条对角线的长为a和b,

∴　菱形的面积

【误区纠错】　本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.

　　3.正方形的性质.

【例3】　（2014·广东梅州）如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

（1）求证:

CE=CF;

（2）若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?

为什么?

【解析】　

（1）由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.

（2）由

（1）得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.

【答案】　

（1）在正方形ABCD中,

∵　BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴　△CBE≌△CDF（SAS）.

∴　CE=CF.

（2）GE=BE+GD成立.理由如下:

∵　由

（1）,得△CBE≌△CDF,

∴　∠BCE=∠DCF.

∴　∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,

又　∠GCE=45°,

∴　∠GCF=∠GCE=45°.

∵　CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,

∴　△ECG≌△FCG（SAS）.

∴　GE=GF.

∴　GE=DF+GD=BE+GD.

【误区纠错】　本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.

名师点拨

　重点:

特殊平行四边形的性质和判定的应用.

难点:

以特殊平行四边形为对象,进行图形变换（如旋转、翻折等）,以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.

提分策略

1.在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.

以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.

　　【例1】　如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是（　　）.

A.12厘米B.16厘米

C.20厘米D.28厘米

【解析】　本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.

【答案】　设斜线上两个点分别为P,Q,如图.

∵　点P是点A对折过去的,

∴　∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.

∴　∠HEA=∠HEP.

同理∠PEF=∠BEF.

∴　∠PEH+∠PEF=90°.

∴　四边形EFGH是矩形.

∴　△DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.

∴　BF=DH=PF.

∵　AH=HP,

∴　AD=HF.

∵　EH=12cm,EF=16cm,

∴　FH===20（cm）.

∴　FH=AD=20cm.

故选C.

2.以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.

以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.

【例2】　如图,已知△ABC,按如下步骤作图:

①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;

②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;

③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.

（1）求证:

四边形ADCE是菱形;

（2）当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.

【解析】　此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.

（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.

（2）利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.

【答案】　

（1）由题意,知

直线DE是线段AC的垂直平分线,

∴　AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,

且　AD=CD,AO=CO.

又　CE∥AB,

∴　∠ADO=∠CEO.

∴　△AOD≌△COE.

∴　OD=OE.

∴　四边形ADCE是菱形.

（2）当∠ACB=90°时,

∵　OD∥BC,

∴　△ADO∽△ABC.

又　BC=6,

∴　OD=3.

又　△ADC的周长为18,

∴　AD+AO=9,

即　AD=9-AO.

∴　AO=4.

∴　DE=6,AC=8.

3.利用菱形、正方形的对称性进行解题.

求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.

【例3】　如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是　　　　. 

【解析】　由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.

【答案】　5

4.与正方形相关的综合性问题.

由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.

【例4】　已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N,AH⊥MN于点H.

（1）如图

（1）,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:

　　　　; 

（2）如图

（2）,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?

如果不成立请写出理由,如果成立请证明;

（3）如图（3）,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.（可利用

（2）得到的结论）

【解析】　

（1）由三角形全等可以证明AH=AB.

（2）延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.

（3）分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.

【答案】　

（1）AH=AB.

（2）数量关系成立.如图（4）,延长CB至E,使BE=DN.

∵　ABCD是正方形,

∴　AB=AD,∠D=∠ABE=90°.

∴　Rt△AEB≌Rt△AND.

∴　AE=AN,∠EAB=∠NAD.

∴　∠EAM=∠NAM=45°.

∵　AM=AM,

∴　△AEM≌△ANM.

∵　AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,

∴　AB=AH.

（4）

（5）

（3）如图（5）分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,

得到△ABM和△AND.

∴　BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.

由

（2）可知,AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.

在Rt△MCN中,由勾股定理,得

MN2=MC2+NC2.

∴　52=（x-2）2+（x-3）2.

解得x1=6,x2=-1（不符合题意,舍去）.

∴　AH=6.

专项训练

一、选择题

1.（2014·江苏常熟二模）如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是（　　）.

（第1题）

（第2题）

2.（2014·广西梧州模拟）如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为（　　）.

3.（2013·江苏扬州弘扬中学二模）如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（　　）.

（第3题）

A.2+B.2+2

C.12D.18

4.（2013·山西中考模拟六）在下列命题中,正确的是（　　）.

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边