三角函数的发展历史.docx

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三角函数的发展历史

三角学的起源与发展

三角学之英文名称Trigonometry，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono（三角）和metrein（测量），其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。

早期的三角学是天文学的一部份，后来研究围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。

现在，三角学的研究围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。

西方的发展

三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。

例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。

公元前600年左右古希腊学者泰勒斯（p13）利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。

公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（HipparchusofNicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密（Ptolemy）（85-165）

继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。

约同时代的梅劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。

他的工作使希腊三角学达到全盛时期。

（二）中国的发展

我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学围的实际问题。

据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。

1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启（p20）合编的《大测》为代表。

同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。

1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。

1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。

现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。

贰、三角函数的演进

正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometricfunction）。

尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉（p16）（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。

在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆进行的。

如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。

因此，当时的三角函数实际上是定圆的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为

的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图），而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。

到欧拉（Euler）时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。

正弦、余弦       

在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有

称此定理为正弦定理。

 正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发（940-998）首先发现与証明的。

中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞（p15）给三角形的正弦定理作出了一个証明。

也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论証了正弦定理。

他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。

这是区别球面三角与平面三角的重要标志。

至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。

托勒密（ClaudiusPtolemy）的《天文学大成》第一卷

除了一些初级的天文学资料之外，还包括了上面讲的弦表：

它给出一个圆从（

）°到180°每隔半度的所有圆心

角所对的弦的长度。

圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。

这样，以符号crda 表示圆心角ａ所对的弦长，例如crd36°=　37p4'55"，意思是：

36°圆心角的弦等于半径的

（或37个小部分），加上一个小部分的

，再加上一个小部分的

，从下图看出，  弦表等价于正弦函数表，因为

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。

他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概

念。

印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分

数式。

2.正切、余切

著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。

 公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。

为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数。

而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。

 14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。

他的正弦表精确到小数9位。

他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？

-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。

3.正割、余割

正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔

─威发首先引入。

　　sec这个略号是1626年荷兰数基拉德

﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用

才得以通行。

正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。

于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。

当时还没有对数，更没有计算机。

全靠笔算，任务十分繁重。

利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。

后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号

毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号，但当时并无

函数概念，于是只称作三角线（trigonometriclines）。

他以sinus1marcus表示正弦，以sinus2marcus表示余弦。

而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。

他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan.”,“sec.”,“sin.”,“tan.”,“sec.”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。

后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。

使用者

年代

正弦

余弦

正切

余切

正割

余割

备注

罗格蒙格斯

1622

S.R.

T.（Tang）

T.c

pl

Sec

Sec.Compl

吉拉尔

1626

tan

sec.

杰克

1696

s.

cos.

t.

cot.

sec.

cosec.

欧拉

1753

sin.

cos.

tag（tg）.

cot.

sec.

cosec

格

1767

sin.

cos.

tan.

cot.

Ⅰ

巴洛

1814

sin

cos.

tan.

cot.

sec

cosec

Ⅰ

施泰纳

1827

tg

Ⅱ

皮尔斯

1861

sin

cos.

tan.

cotall

sec

cosec

奥莱沃尔

1881

sin

cos

tan

cot

sec

csc

Ⅰ

申弗利斯

1886

tg

ctg

Ⅱ

万特沃斯

1897

sin

cos

tan

cot

sec

csc

Ⅰ

舍费尔斯

1921

sin

cos

tg

ctg

sec

csc

Ⅱ

注：

Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符Ⅱ－现代英美派三角函数符号

我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。

1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。

1736年欧拉以At表示反正切，一年后又以Asin

表示于单位圆上正弦值相等于

的弧。

1772年，C．申费尔以arc.tang.表示反正切；同年，拉格朗日采以

表示反正弦函数。

1776年，兰伯特则以arc.sin表示同样意思。

1794年，鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。

其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arcsinx，arccosx等。

于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示反三角函数之主值。

另一较常用之反三角函数符号如sin-1x，tan-1x等，是赫尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。

三、三角函数的和差化积公式

下列公式

称为三角函数的和差化积公式。

      法国著名数学家韦达﹝1540-1603﹞（p18）在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式:

【后记】三角函数名称的由来和补充

想知道为何三角函数要叫做sin，cos这些名字吗？

经过了多方的查取资料，找到了下图：

上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。

其中我们可以看到，sinθ为PM线段，也就是圆中一条弦（对2θ圆周角）的一半，所以称为「正弦」。

而cosθ是OM线段，但OM＝NP，故我们也可以将cosθ视为NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的余角的正弦值，故称之为「余弦」。

其余类推。

另外，除了课本中教的六种三角函数外，我们还查到了其他的三角函数，如上图中的versθ、coversθ和exsecθ。