高中数学知识点大全填空版.docx

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高中数学知识点大全填空版

高中数学知识梳理

1.集合的概念

（1）集合中元素的三个特征：

__________、____________、____________　

（2）集合的表示法：

__________、___________、__________等．

（3）集合按所含元素个数可分为：

_____________、_____________、_________；按元素特征可分为：

____________、_____________.

（4）常用数集符号：

N表示_____________集；N*或N＋表示_____________集；Z表示_____________集；Q表示_____________集；R表示__________集；C表示_________集．

2.两类关系

（1）元素与集合的关系，用____或____表示．

（2）集合与集合的关系，用“_____”、“____”或“_____”表示．______时，称A是B的子集；当________时，称A是B的真子集；当_______时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完全相同．

3.集合的运算

（1）全集：

如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的_______.

（2）交集：

由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝____________________.

（3）并集：

由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝____________________.

（4）补集：

集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集（或余集），记作∁SA，即∁SA＝____________________.

4.常见结论与等价关系

（1）如果集合A中有n（n∈N*）个元素，那么A的子集有_______个，真子集有_______个，非空真子集有_______个．

（2）A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔A⊇B.

（3）∁U（A∩B）＝____________________，∁U（A∪B）＝____________________.

知识梳理

1.如果记“若p则q”为原命题，那么否命题为“_______________”，逆命题为“___________”，逆否命题为“______________”．其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与___________等价，逆命题与___________等价．因此，四种命题为真的个数只能是偶数．

2.

（1）若p⇒q，但q

p，则p是q的___________条件；

（2）若p

q，但q⇒p，则p是q的___________条件；

（3）若p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，则p是q的___________条件；

（4）若p⇒/q，且q

p，则p是q的___________________条件．

3.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的___________），又要证明它的逆命题成立（即条件的___________）.

1.全称量词

我们把表示___________的量词称为全称量词．

对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．

含有___________的命题，叫作全称命题．“对任意实数x∈M，都有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．

2.存在量词

我们把表示___________的量词称为存在量词．

对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．

含有___________的命题，叫作存在性命题．“存在实数x0∈M，使p（x0）成立”简记成“_________________”．

3.简单逻辑联结词有___________（符号为∨），___________（符号为∧），___________（符号为非）．

4.命题的否定：

“∀x∈M，p（x）”与“_________________”互为否定．

5.复合命题的真假：

对p且q而言，当p，q均为真时，其为_____；当p，q中至少有一个为假时，其为____.对p或q而言，当p，q均为假时，其为_____；当p，q中有一个为真时，其为____当p为真时，非p为_____；当p为假时，非p为____.

6.常见词语的否定如下表所示：

词语

是

一定是

都是

大于

小于

___________

___________

___________

___________

___________

___________

词语

且

必有一个

至少有

n个

至多有

一个

所有x成立

___________

___________

___________

___________

___________

___________

________

1.函数的概念

设A，B是两个___________的数集，如果按某个确定的___________，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y和它对应，那么称___________为从集合A到集合B的一个函数，记作：

y＝f（x），x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y＝f（x）的___________；所有的输出值y组成的集合叫作函数y＝f（x）的___________.

2.相同函数

函数的定义含有三个要素，即___________、___________和___________.

当函数的___________及___________确定之后，函数的___________也就随之确定．当且仅当两个函数的___________和___________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

3.函数的表示法：

___________、___________和___________.

1.函数的定义域

（1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式___________的x的取值范围．

（2）分式中分母应___________；偶次根式中被开方数应为___________，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数__________.

（3）对数式中，真数必须___________，底数必须________________________，三角函数中的角要使该三角函数有意义等．

（4）实际问题中还需考虑自变量的___________，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集．

2.求函数值域主要的几种方法

（1）函数的_____________________直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过___________求得值域．

（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用___________求值域．

（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用______________求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用___________求值域（主要适用于定义域为R的函数）．

（4）单调函数常根据函数的___________求值域．

（5）很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用___________求值域．

（6）有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域．

（7）只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.

1.函数单调性的定义

（1）一般地，对于_____________的函数f（x），如果对于属于这个区间的___________两个自变量x1，x2，当___________时，都有___________（或都有___________），那么就说f（x）在这个区间上是单调增函数（或单调减函数）．

（2）如果函数y＝f（x）在某个区间上是单调增函数（或单调减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫作f（x）的__________.若函数是单调增函数，则称该区间为____________；若函数为单调减函数，则称该区间为___________.

2.复合函数的单调性

对于函数y＝f（u）和u＝g（x），如果当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且u＝g（x）在区间（a，b）上和y＝f（u）在区间（m，n）上同时具有单调性，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上具有________，并且具有这样的规律：

____________________________________.

3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法

（1）_____________________________；

（2）______________；

（3）___________.

1.奇、偶函数的定义

对于函数f（x）的定义域内的___________x，都有______________（或f（－x）＋f（x）＝0），则称f（x）为奇函数；对于函数f（x）的定义域内的任意x，都有_____________（或___________________），则称f（x）为偶函数．

2.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于___________对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于___________对称）．

（2）奇函数的图象关于___________对称，偶函数的图象关于__________对称．

（3）若奇函数的定义域包含0，则f（0）＝___________.

（4）定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

1.函数图象的两种作法

（1）描点法：

①___________；②___________；③___________.

运用描点法作图前，必须对图象的特征（包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势）做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．

（2）图2.周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有___________，那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

3.最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就叫作f（x）的最小正周期．

象变换法：

包括___________变换、___________变换、__________变换．

1.二次函数的三种表示

（1）一般式：

____________________________；

（2）两点式：

__________________________；

（3）顶点式：

___________________________.

2.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据．

3.一元二次方程的根的分布问题

二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f（x）＝ax2＋bx＋c＝0（a>0）．

（1）若f（x）＝0在（m，n）（m

（2）若f（x）＝0在（m，n）（m＜n）内有两个实数根，则需满足_________

（3）设x1，x2为方程f（x）＝0的两个实数根：

①若x1＜m＜x2，则f（m）___________0；

②若m

（4）若方程f（x）＝0的两个实数根中一根小于m，另一根大于n（m＜n），则需满足

________________

（5）若一元二次方程f（x）＝0的两个实数根都大于r，则需满足___________________________

1.指数的相关概念

（1）n次方根

正数的奇次方根是一个___________，负数的奇次方根是一个__________，0的奇次方根是___________；正数的偶次方根是两个绝对值___________、符号___________的数，0的偶次方根是___________，负数__________________.

（2）方根的性质

①当n为奇数时，

＝___________；

②当n为偶数时，

＝___________＝_________________.

（3）分数指数幂的意义

①a

＝______（其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1）；

②a

＝______＝_________（其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1）．

2.指数函数的定义

一般地，函数__________________________________叫作指数函数．

3.指数函数的性质

（1）定义域：

____；

（2）值域：

___________；（3）过定点___________，即x＝___________时，y＝___________；（4）当a＞1时，在R上是___________函数；当0＜a＜1时，在R上是___________函数.

1.对数的相关概念

（1）对数的定义：

如果ab＝N（其中a＞0且a≠1），那么b叫作_________________，记作___________.

（2）常用对数和自然对数

①常用对数：

以___________为底N的对数，简记为lgN；

②自然对数：

以___________为底N的对数，简记为lnN.

（3）指数式与对数式的相互转化：

ab＝N⇔_______（其中a＞0且a≠1，N＞0）．

两个式子表示的a，b，N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．

2.对数运算的性质（M＞0，N＞0，a＞0且a≠1）

（1）loga（MN）＝________________；

（2）loga

＝_______________；

（3）logaMn＝___________.

3.对数换底公式（N＞0，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）

logbN＝__________.

由换底公式可以得到：

logab＝_____，loganbm＝______，logab·logbc＝________.

4.几个常用的结论（N＞0，a＞0且a≠1）

（1）logaa＝___________，loga1＝___________；

（2）logaaN＝___________，alogaN＝___________.

1.对数函数的定义

函数_____________________叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___________.

2.对数函数的性质

（1）定义域：

___________；

（2）值域：

____；

（3）过定点___________，即当x＝___________时，y＝___________；

（4）当a＞1时，在（0，＋∞）上是单调___________函数；

当0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是单调___________函数.

1.幂函数的定义：

一般地，函数式___________叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2.所有的幂函数y＝xα在区间___________上都有定义，并且图象都过点___________.

如果α>0，那么幂函数的图象过___________，并且在[0，＋∞）上是____________；如果α<0，那么幂函数的图象在（0，＋∞）上是_____________，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴的右边无限地逼近__________，当x趋向于正无穷时，图象在x轴上方无限地逼近___________.

3.对于函数y＝f（x），把使方程___________的实数x称为函数y＝f（x）的零点．

4.函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的___________，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的___________.因此，函数y＝f（x）有零点等价于函数y＝f（x）的图象与x轴有___________，也等价于方程f（x）＝0有___________.

5.如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有___________，那么函数y＝f（x）在（a，b）上有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，此时c就是方程f（x）＝0的根．但反之，不成立.

1.数学模型及数学建模

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．

数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．

2.常见的函数模型：

（1）___________；

（2）___________；（3）_________________；（4）___________.

3.解函数应用题时，要注意四个步骤：

第一步：

阅读理解．

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．

第二步：

引入数学符号，建立数学模型．

一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x，y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．

第三步：

利用数学方法对得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果．

第四步：

将所得结果再转译成具体问题的解答.

1.函数的平均变化率

一般地，函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________.

2.导数的概念

已知函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，且x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0，比值

＝___________________无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）．

3.基本初等函数求导公式

（1）（xα）′＝___________（α为常数）；

（2）（ax）′＝___________（a>0且a≠1），（ex）′＝___________；

（3）（logax）′＝________（a>0且a≠1），

（lnx）′＝________；

（4）（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝___________.

4.导数的四则运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝___________________；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）[cf（x）]′＝____________（c为常数）；

（4）

′＝______________________（g（x）≠0）．

1.导数的几何意义

（1）导数f′（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率，即k＝f′（x0）．

（2）设s＝s（t）是位移函数，则s′（t0）表示物体在t＝t0时刻的___________.

（3）设v＝v（t）是速度函数，则v′（t0）表示物体在t＝t0时刻的___________.

1.利用导数研究函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）≥0且在（a，b）的任意子区间上___________，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；

如果f′（x）≤0且在区间（a，b）的任意子区间上___________，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．

2.判定函数单调性的一般步骤

（1）确定函数y＝f（x）的定义域；

（2）求导函数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0；　

（4）根据（3）的结果确定函数的单调区间．

1.函数的极值

如果在函数y＝f（x）的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有___________，则称函数y＝f（x）在点x＝x0处取得极大值，记作_______________；如果在x0附近的所有点x，都有___________，则称函数y＝f（x）在点x＝x0处取得极小值，记作_____________.

2.求函数极值的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域，求导函数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的所有实数根；

（3）观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′（x）的符号如何变化：

如果f′（x）的符号由正变负，那么f（xn）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，那么f（xn）是极小值；如果f′（x）的符号在xn的两侧附近相同，那么xn不是函数f（x）的极值点．

3.函数的最值

如果在函数f（x）的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f（x0）为函数的最大值，记作ymax＝___________；如果在函数f（x）的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f（x0）为函数的最小值，记作ymin＝___________.

4.求函数y＝f（x）在[a，b]上的最值的步骤

（1）求函数f（x）在[a，b]上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与f（a），f（b）比较，得到函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值．

1.最值与不等式

（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥___________；

（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤___________；

（3）a≥f（x）有解⇔a≥___________；

（4）a≤f（x）有解⇔a≤___________.

2.实际应用题

（1）解题的一般步骤：

理解题意，_______________，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题．

（2）注意事项：

注意实际问题的___________；实际问题中的函数多数是单峰函数（即在定义域内只有一个极值点的函数），这样的极值点也是___________.

1.角的概念的推广

（1）正角、负角和零角：

一条射线绕顶点按___________方向旋转所形成的角叫作正角，按___________方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作___________.

（2）象限角：

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角（轴线角）不属于任何象限．

（3）终边相同的角：

与角α的终边相同的角β的集合为_____________________．

2.角的度量

（1）1弧度的角：

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角．

（2）弧度制与角度制的关系：

1°＝_____弧度（用分数表示），1弧度＝_____度（用分数表示）．