•
由于k（t）=sf（k（t））−（n+g+δ）k（t）,
•
dk
=−++
sf'（k）（ngδ）,
dk
•
dk
2
=<
sf''（k）0
dk
2
••
当k0;当k>k*,k<0.
••
当k=0,k=sf（0）−（n+g+δ）0=0;当k=k*,k=0.
据上，得到下面图形
稳定点（均衡）是稳定的（Thestationarypointisstable）
当偏离k*时，有回到k*的趋势。
2）平衡增长路径
当k=k*,
依据假设,L和A的增长率为n和g
•••
KAL
K=k*AL⇒=+=g+n
KAL
•••
YAL
y=f（k）=Y/AL=>Y=ALf（k*）=>=+=g+n
YAL
•••（K/L）KL
=−=（g+n）−n=g
（K/L）KL
•••
（Y/L）YL
=−=（g+n）−n=
（Y/L）YL
g
索洛模型意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于平衡增长路
径，在此情形中，模型的每个变量都以不变速度增长。
（注意：
r,w等价格变量增长率为0）
在平衡增长路径上，人均产出的增长率只取决于技术进步速度g。
1.4储蓄率变动的影响
1）对产出的影响
k的动力系统:
k如何收敛至k*new
1.k=k*old,s开始增加
••
2.由于k（t）=sf（k（t））−（n+g+δ）k（t）,k（t）>0,因此k增加
3.直到k=k*new
因此，得到如下图形。
Y/L的动力系统:
Y/L=Af（k）.当k为常数，Y/L以速度g增长
当k增长时，Y/L增长一是因为A增长，二是因为k增长。
因此，
Y/L的增长率超过了g，即
•••••
（Y/L）（Af（k））Af（k）f（k）
==+=g+>g，当k增长时。
（Y/L）Af（k）Af（k）f（k）
当k=k*new,Y/L的增长率再次回到g
•
dln（Y/L）（Y/L）
=:
lnY/L的斜率等于Y/L的增长率
dt（Y/L）
因此，得到下面图形。
总长，储蓄率的变化具有水平效应（leveleffect），但不具有增长效应
（growtheffect）：
它改变了经济的平衡增长路径因而改变了在任何时点
上的人均产出Y/L，但这并不影响平衡增长路径上人均产出Y/L的增长
率。
只有g的变化具有增长效应。
2）对消费的影响
家庭关心消费。
C=Y-S=Y-sY=（1-s）Y
c=C/AL=（1-s）Y/AL=（1-s）f（k）.
注意到s在t0时非连续的变动，但k不能非连续变动。
因此，
问题：
最后的稳态消费是否会超过t0之前的稳态消费？
3）黄金规则水平的k
令c*表示平衡增长路径上的C/AL，
c=（1−s）f（k）
**
=f（k）−sf（k）
**
=f（k）−（n+g+δ）k
**
由于k*取决于s,n,g,δ,将k*记为：
k*=k*（s,n,g,δ）
有，
c*=f（k*（s,n,g,δ））−（n+g+δ）k*（s,n,g,δ）
得到
∂=−++∂
c*k（s,n,g,）
**δ
f'（k（s,n,g,δ））（ngδ）
∂s∂s
由于
∂>
k*（s,n,g,δ）
∂s
0,所以
∂c=⇒
*
0
∂s
fk*sngδ=n+g+δ
'（（,,,））（）
k*的这个值称为：
黄金规则水平的资本。
•Y
【含义：
f'（k*（s,n,g,δ））−δ=n+g=，实际收益率等于实际经济增
Y
长率】
相关性不是因果关系！
1.5定量的含义
以上的定性分析表明：
储蓄率的增加具有水平效应，将人均资本和
人均产出将增加到更高的水平。
下面的定量分析将表明：
储蓄的显著变化只会对平衡增长路径上的
产出水平产生中度的影响。
1）长期中对产出的影响
储蓄增加对产出的长期效应为
∂y
*
∂s
。
下面计算：
syy/y
∂*=∂**
yss/s
*∂∂
由
•
k（t）=sf（k（t））−（n+g+δ）k（t）
有
sf（k（s,n,g,δ））=（n+g+δ）k（s,n,g,δ）
**
∂k+=++∂k
**
sf'（k）f（k）（ngδ）
**
∂s∂s
∂*=*
kf（k）
∂sn+g+δ−sfk*
（）'（）
因此，由y*=f（k*），得到
∂=∂=
yk（s,n,g,）f'（k）f（k）
**δ**
f'（k）
*
∂∂++δ−*
ss（ng）sf'（k）
因此，
sysf'（k）f（k）
*∂（*）（++δ）−'（*）
∂=
***
ysfkngsfk
=
sf（k）f'（k）
**
f（k*）（n+g+δ）−sf'（k*）
=
（n+g+δ）kf'（k）
**
f（k）（n+g+δ）−sf（k）f'（k）/f（k）
****
=
（ng）kf'（k）
++δ**
f（k）（ng）（ng）kf'（k）/f（k）
*++δ−++δ***
=
kf'（k）/f（k）
***
1−k*f'（k*）/f（k*）
=
α（k）
*
K
1（k）
−α*
K
αK（k）=kf'（k）/f（k）的含义:
****
k=k*处产出关于资本的弹性。
[当为C—D生产函数时，αK的值]
资本份额（资本收入占总收入的比重）。
如果市场是竞争性的，并
且不存在外部性，资本就能获得其边际产出。
在平衡增长路径上，
资本（单位有效劳动的资本）所获得的总产出为k*f'（k*），因而资
本份额为k*f'（k*）/f（k*）。
例子：
大部分国家αK=1/3,因此αK/（1-αK）=0.5。
s增加10%（从0.2增加
到0.22），将导致y只增加5%。
即使s增加50%，y也只增加25%。
这
说明：
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的人均产出的影响是中度的
（moderate）。
【含义：
1、黄金规则下的储蓄率才是最优的。
2、储蓄率的增加虽然可
以增加收入，但是影响不大】
【注意：
中国的αK=2/3,因此αK/（1-αK）=2。
因此，储蓄率变动对中国
的影响比对美国的影响要大。
】
2）收敛速度
•••
记k=k（k）,有k（k*）=0。
由一阶泰勒近似，有
•
∂k（k）••
（）k≈k（k）+k−k
**
∂k
k=k
*
•
∂k（k）
（）≈k−k
*
∂k
k=k
*
•
由k（t）=sf（k（t））−（n+g+δ）k（t）,有
•
∂=−++
k（k）
sf'（k（t））（ngδ）
*
∂k
k=k
*
sf（k）f'（k（t））
=−（n+g+δ）
f（k）
**
*
（ng）kf'（k）
++δ**δ=−（n+g+）
f（k）
*
=[α（k）−1]（n+g+δ）
*K
因此,
•
（）k（t）[1α（k）]（ngδ）k（t）k
≈−−*++−*
K
定义
χ（t）=k（t）−k*,
λ=[1−α（k）]（n+g+δ）
*K
因此,
•
χ（t）≈−λχ（t）⇒χ（t）=χ（0）eλt
−
有
*
（）kt−k=e−−α++δk−k
（）（0）
**
[1K（k）]（ng）t
如果t∞,那么kk*。
还可以证明：
yt−y*=e−λy−y*
（）t（（0））
参数校准（Calibration）：
n+g+δ=6%每年，（人口增长率n=1~2%,人均产出增长率g=1~2%,
δ=3~4%）
αK=1/3
λ=（1−αK）（n+g+δ）=4%/每年
问题1：
k和y每年走完剩下距离的4%（i.e.k（t）-k*andy（t）-y*）:
Solution:
由
yt−y*=e−λy−y*
（）t（（0））
和
yt+−y*=e−λ（+1）y−y*
（1）t（（0））
有
y（t1）ye（y（0）y）
+−=−λt+−==
*
（1）*
−λ
e
−*t−*
−λ
y（t）ye（y（0）y）
0.96
注意y（t+1）−y*是还没有走完的路程。
问题2：
需要大约17年走完距离平衡增长路径的一半。
Solution:
由
yt−y=e−λy−y
（）*t（（0）*）
和
y（t+s）−y*=e−λ（t+s）（y（0）−y*）
有
0.5
y（ts）ye（y（0）y）
+−*−λ（t+s）−*
===
y（t）ye（y（0）y）
−*−λt−*
−λs
e
即,
s=ln（0.5）/（−λ）=17.3
问题3：
我们已经知道s增加10%（from0.2to0.22）,在长期中y增加
5%，这个变动需要多长时间？
Solution:
y（t）y（0）y（t）y*y*y（0）
y（0）y（0）
−=−+−
y*−y（0）y（t）−y*
=+
y（0）y（0）
y*y（0）e（yy（0））
−−λt*−
=−
y（0）y（0）
y*−y（0）
=（1−e）=（1−e）5%
−λt−λt
y（0）
>>（1-exp（-0.04*1））*0.05
ans=0.00196
>>（1-exp（-0.04*18））*0.05
ans=0.02566
>>（1-exp（-0.04*100））*0.05
ans=0.04908
1.6索洛模型与增长理论的核心问题
（人均）资本积累的差异无法说明（人均）收入的较大差异。
例如，
f1（k1）=k1α,若f1/f2=10,那么k1/k2=（f1/f2）1/α=1000.但是，资本-产
出比随时间大致不变。
收入的较大差异需要资本收益率的巨大差异。
资本收益率为f’（k）-δ.
而f’（k）=αkα−1=αy（α−1）/α.若y1/y2=10和α=1/3,那么
f’（k1）/f’（k2）=10-2=1/100.进而，
[f’（k1）-δ]/[f’（k2）-δ]
=[0.01f’（k2）-δ]/[f’（k2）-δ]
=[0.01f’（k2）-0.01δ-0.99δ]/[f’（k2）-δ]
=0.01-0.99δ/[f’（k2）-δ]
<1/100
1.7经验应用
1）增长核算（Growthaccounting）
Y（t）=F（K（t）,A（t）L（t））
•••
Y（t）=FK（t）+F（AL）（t）
KAL
•••
=++
FK（t）FL（t）A（t）A（t）L（t）
KAL
∂∂∂
Y（t）•Y（t）•Y（t）•
=++
K（t）A（t）L（t）L（t）A（t）
∂Kt∂AL∂AL
（）（）（）
∂Y∂Y∂Y
•••
≡K（t）+L（t）+A（t）
∂K∂L∂A
••••
Y（t）K（t）∂YK（t）L（t）∂YL（t）A（t）∂YA（t）
=++
Y（t）Y（t）∂KK（t）Y（t）∂LL（t）Y（t）∂AA（t）
••
K（t）L（t）
≡α+α+
KL
K（t）L（t）
R（t）
α+α=1.Why?
KL
Hint:
F=FKK+FALAL
2）趋同（Convergence，也译作收敛）
趋同：
穷国比富国倾向于更快地增长。
有三个理由：
索洛模型预期国家会收敛于其平衡增长路径。
人均产出的差异来源
于其现在所处的与其平衡增长路径相对应的不同的位置。
因此，预
期穷国赶上富国。
索洛模型意味着富国的人均资本更高，因此资本收益率更低，因此
资本从富国流向穷国。
知识扩散。
【因此？
现在中国与美国差距大、潜力大，未来20年可以8%？
不对：
1、差距和潜力不是潜在增速。
2、条件收敛下，中国未必就可以
收敛到美国。
】
Baumol（1986）
如果存在趋同,那么b<0:
具有较高初始收入的国家存在较低的增长。
b=0:
不存在趋同。
b=-1:
完全的趋同。
然而，Delong（1988）指出了两个问题：
样本选择。
今天的富国一般才有漫长的历史数据。
如果只考虑1870
年最富裕的国家，则见下图。
度量误差。
u的标准差代表度量误差，固定了之后可以估计其余的参数值。
即使中度的度量误差也会对结果产生显著的影响。
【中国经济高速增长：
1.增长核算是表象。
2.原因为：
改革红利，全球化红利，人口红利，技术进步红利，低收
入迈向高收入的自然过程。
亚当.斯密：
除了和平、低税负和过得去的执法，使一国从最原始的状
态发展到最富裕的状态几乎不需要其他东西，所有其他条件都来自于事
物的自然过程。
】
3）储蓄和投资
在索洛模型描述的世界里：
储蓄率上升r=f’（k）减少居民具有向国
外投资的激励如果不存在资本流动的阻碍，新增储蓄不会全部投在国
内。
因此，没有理由预期高储蓄国家也具有高的投资。
FeldsteinandHorioka（1980）
（I/Y）j=0.035+0.887（S/Y）j,R2=0.91
（0.018）（0.074）
如何解释这种强的关系：
资本流动性的阻碍显著存在
其他的解释。
1.8环境与经济增长
本节研究环境约束如何影响长期经济增长。
区分两种环境因素：
存在良好界定产权的环境因素。
如，自然资源与土地。
没有良好产权界定的环境因素。
如，自由排放在空气和水中的污染。
（1）自然资源与土地：
一种基本情形
生产函数为：
其中，R表示生产中可利用的自然资源，T表示土地数量。
资本、土地、劳动效率的动力系统仍然为：
假设土地数量固定：
资源禀赋固定而资源在生产中使用，因此资源使用必定会最终下
降：
由资本的运动方程：
有
这说明，为了使K的增长率不变，Y/K必定是不变的，即Y和K的增
长率相同。
由生产函数得到
由于Lnx关于时间的导数是x的增长率，因此有
此处gx表示x的增长率。
因为Y和K的增长率相同，所以
问题：
是否具有收敛性？
Solution：
由
知：
如果gK大于其平衡增长路径值，gY也会如此，但是其超过的数量
小于gK。
所以Y/K下降。
而由于
知gK=s（Y/K）-δ，Y/K下降，说明gK也下降。
平衡增长路径上的人均产出为
−βb−（β+γ）n表明人日益下降的人均资源与土地数量是增长的阻力。
g表明技术进步是增长的动力。
如果技术进步的动力大于由资源与土地所形成的阻力，那么人均产
出的增长是可持续的。
这正好是过去数个世纪所发生的事情。
（2）一种示例性计算
问题的提出：
以上为定性分析，定量上有多大？
对比两种经济：
即不存在资源与土地的限制，两者都同人口一起增长。
容易证明，这个不存在限制的经济的人均产出的增长率为
因此，增长阻力为：
估计值：
0.24%，其中1/4的阻力来自于土地的有限供给，剩余部
分可归于有限的能源。
含义：
环境约束导致的经济增长下降既不太大，也不太小。
【注意：
这是针对美国的结论。
中国呢？
】
【支持美国结论的另外依据：
美国资源品价格在过去100年里面一直是
在下降的。
】
升级会员 