高中物理专题讲座必修二功和功率专题.docx
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高中物理专题讲座必修二功和功率专题
【例2】如图所示，劲度系数为K1的轻质弹簧两端分别与质量m1、m2的物体1、2拴接，劲度系数为K2的轻质弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将物体1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，物体2的重力势能增加了，物体1的重力势能增加了。
【分析与解答】先取弹簧K2为研究对象，从受大小为（m1g+m2g）的压力到恢复自然长度，弹力的变化量△F=（m1+m2）g。
由胡克定律可知弹簧K2的伸长量
。
则物体2增加的重力势能
再取弹簧K1为研究对象，从受大小为m1g的压力到受大小为m2g的拉力，弹力变化量为
。
由胡克定律可知在此过程中弹簧K1的伸长量为
，则物体1增加的重力势能
解析过程中要注意，物体2增加的重力势能
取决于弹簧K2的伸长量x2，物体1增加的重力势能
取决于弹簧组的伸长量x=x1+x2。
【例3】如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
【分析与解答】：
设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。
T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：
【例4】、如图所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：
A、0J B、20πJ
C、10J D、20J.
【分析与解答】：
把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J，故B正确。
【例5】一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。
当车前进100m时，牵引力做的功是多少？
【分析与解答】：
由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力
所做的功。
由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100m过程中的平均牵引力:
∴W＝
S＝1×105×100J＝1×107J。
【例7】、如图材所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
【分析与解答】：
物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功WG=mgR，水平面上摩擦力做功Wf1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
根据动能定理可知：
W外=0，所以mgR-umgL-WAB=0
即WAB=mgR-umgL=6（J）
【例8】一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点A离滑轮的距离是H。
车由静止开始向左作匀加速的运动，过了时间t绳子与水平方向的夹角是θ，如图甲的所示。
问：
在这个过程中，车对重物做了多少功？
【分析与解答】虽然车匀加速向左行驶，但重物却作变加速运动，因此提升重物的力不是恒定的力，无法用W=FScosα来求出对重物做的功，只能用动能定理来解。
①当绳子端点由A移到B时，重物升高的高度h=H/gsinθ-H，重力做的功为WG=-mgh=-mgH
.
②设绳子端点到达B点时车速为v，此时重物上升速度v’，由速度的分解（图6-28乙）得v’=v·cosθ
另外，由
得v=2Hctgθ/t.故v’=vcosθ=2Hcosθ·ctgθ/t，
所以重物动能增量为
③设车对重物做的功为W，根据动能定理W+WG=△Ek得
【说明】如果一个力大小不变而方向总是跟速度的方向相同或相反，不论是直线运动，还是曲线运动，那么该力所做的功就是正功或负功，大小等于该力乘以物体运动的路程。
【例9】如图6—42所示，质量为优的物体与转台之间的摩擦因数为产，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少?
【分析与解答】物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，根据牛顿定律：
μmg=mv2/R
由动能定理W=mv2/2
联立以上两式得：
W=μmgR/2
【例10】如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
【分析与解答】：
滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。
在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。
设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：
得
【例11】如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端B进入半径为R的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C，已知A、B两点间高度差为3R，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。
【分析与解答】对整个过程应用动能定理：
A点为初始点，C点为终点。
重力做正功，阻力做负功
在C点重力提供向心力mg=mv2/R,V2=gR
mg（3R-R）-Wf=mv2/2
Wf=0.5mgR
【例12】如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。
已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
【分析与解答】：
滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为
，斜面倾角为
，斜面底边长
，水平部分长
，由动能定理得：
从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。
【例13】、总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图13所示。
设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。
当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
【分析与解答】：
此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便。
对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：
对车尾，脱钩后用动能定理得：
而
，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg
由以上方程解得
。
【例14】、如图14所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C。
重物A（A视质点）位于B的右端，A、B、C的质量相等。
现A和B以同一速度滑向静止的C，B与C发生正碰。
碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行，A与C有摩擦力。
已知A滑到C的右端面未掉下。
试问：
从B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间，C所走过的距离是C板长度的多少倍？
【分析与解答】：
设A、B、C的质量均为m。
B、C碰撞前，A与B的共同速度为V0，碰撞后B与C的共同速度为V1。
对B、C构成的系统，由动量守恒定律得：
mV0=2mV1
设A滑至C的右端时，三者的共同速度为V2。
对A、B、C构成的系统，由动量守恒定律得：
2mV0=3mV2
设C的长度为L，A与C的动摩擦因数为μ，则据摩擦生热公式和能量守恒定律可得：
设从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S，则对B、C构成的系统据动能定理可得：
由以上各式解得
.
【例15】、如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度V0=4m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？
（g=10m/s2）.
【分析与解答】：
由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC圆弧上作永不停息的往复运动。
由于物体只在在BEC圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为WG=mg（h-R/2）,摩擦力所做的功为Wf=-μmgscos600,由动能定理得：
mg（h-R/2）-μmgscos600=0-
∴s=280m.
【例16】、如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
【分析与解答】：
由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则状态A：
EA=mgh+mV02/2
对状态B：
EB=－W弹簧+0
由机械能守恒定律得：
W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
【例17】、如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。
放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
【分析与解答】：
该系统在自由转动过程中，只有重力做
功，机械能守恒。
设A球转到最低点时的线速度为VA，B
球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2
据圆周运动的知识可知：
VA=2VB
由上述二式可求得VA=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图所示），则据机械能守恒定律可得：
mgr.cosθ-mgr（1+sinθ）/2=0
易求得θ=sin-1
。
【例18】、如图所示，长为L的轻绳，一端用轻环套在光滑的横杆上（轻绳和轻杆的质量都不计），另一端连接一质量为m的小球，开始时，将系球的绳子绷紧并转到与横杆平行的位置，然后轻轻放手，当绳子与横杆成θ时，小球速度在水平方向的分量大小是多少？
竖直方向的分量大小是多少？
【分析与解答】：
对于轻环、小球构成的系统，在水平方向上不受外力作用，所以在水平方向动量守恒。
又由于轻环的质量不计，在水平方向的动量恒为零，所以小球的动量在水平方向的分量恒为零，小球速度在水平方向的分量为零。
又因为轻环、小球构成的系统的机械能守恒，所以mgLsinθ=mVy2/2
即Vy=
.此为速度竖直方向的分量。
【例19】.如图，长木板ab的b端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg，a、b间的距离S=2.0m。
木板位于光滑水平面上。
在木板a端有一小物块，其质量m=1.0kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态。
现令小物块以初速V0=4m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。
碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板。
求碰撞过程中损失的机械能。
【分析与解答】：
设木块和物块最后共同的速度为V，由动量守恒定律：
设全过程损失的机械能为E，则有：
在全过程中因摩擦而生热Q=2μmgS,则据能量守恒可得在碰撞过程中损失的机械能为：
E1=E-Q=2.4J.
【例20】在水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，两球间距离为L，用两根长度同为L的不可伸长的轻绳与C球连接（如图所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。
已知A、B、C三球质量相等，试求A、B二球速度V的大小与C球到细杆的距离h之间的关系。
【分析与解答】：
此题的关键是要找到任一位置时，A、B球的速度和C球的速度之间的关系。
在如图所示位置，BC绳与竖直方向成
角。
因为BC绳不能伸长且始终绷紧，所以B、C
两球的速度VB和VC在绳方向上的投影应相等，
即VC.COS
=VB.Sin
由机械能守恒定律，可得：
mg（h-
L/2）=mvC2/2+2（mvB2/2）
又因为tg2
=（L2-h2）/h2
由以上各式可得：
VB=
.
【例21】如图所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为
，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。
【分析与解答】：
此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。
因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度V1和木块的速度V2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:
V1Cos
=V2Sin
由机械能守恒定律可得：
mgH=mv12/2+mv22/2
由上述二式可求得：
V1=
.sin
V2=
.cos
.
专题五．功率
◎知识梳理
1．物理意义是用来描述力对物体做功的快慢的物理量
2．公式；
（l）
于计算平均功率
（2）
当V为平均速度时．P为平均功率。
当V为瞬时速度时．P为瞬时功率
3．机车的两种特殊运动
（1）机车以恒定功率运动；设运动过程中所受阻力f不变．由于功率P=FV．
当速度开始增大时．牵引力F减小．根据牛顿第定律a=（F-f）/m．机车的加速度减小；当其加速度等零时机车的速度达到最大．以后机车将做匀速直线运动机车的最大速度Vm=
（2）机车以恒定加速度a起动：
机车以恒定加速度a起动后，开始牵引力P/f
机车做匀加速运动此时机车的功率随速度的增大而增大当其速度增大到某一值v时．功率达到最大值P．此时有P/V-f=ma。
，若以后再使其速度增加，由于机车的功率不变，机车的牵引力将减小，从而加速度减小直至加速度为零，速度达到最大．以后将做匀速直线运动机车做匀速直线运动的速度Vm=P/f
4．功率公式的应用
（1）求某力的平均功率和瞬时功率的方法
（2）机车问题
机车起动的最大速度问题
机车匀加速起动的最长时间问题
机车运动的最大加速度问题。
◎例题评析
【例22】质量为m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V0=5m/s抛出，在运动t=2s内重力对物体做的功是多少？
这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？
2s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？
（g取
）
【分析与解答】：
t=2s内，物体在竖直方向下落的高度
m，
所以有
，平均功率
W。
在t=2s末速度物体在竖直方向的分速度
所以t=2s末瞬时功率
W。
【例23】、起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图1所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图2中的哪一个？
【分析与解答】：
在0～t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F1=mg+ma1,速度Vt=a1t,所以拉力的功率为：
P1=m（a1+g）a1t;
在t1～t2时间内，重物匀速上升，拉力F2=mg,速度为V1=a1t1,所以拉力的功率为：
P2=mga1t1.
在t2～t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a2,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F2=mg-ma2,速度V2=a1t1-a2t,所以拉力的功率为：
P1=m（g-a2）（a1t1-a2t）.
综上所述，只有B选项正确。
【例24】、汽车发动机额定功率为60kW，汽车质量为5.0×103kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：
汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？
【分析与解答】：
汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F将随速度V的变化而变化，其加速度a也随之变化，具体变化过程可采用如下示意图表示：
由此可得汽车速度达到最大时，a=0，
=12m/s
小结：
机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。
弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。
【例25】、汽车发动机额定功率为60kW，汽车质量为5.0×103kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：
若汽车从静止开始，以0.5m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？
【分析与解答】：
要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V增大而增大，当P达到额定功率P额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：
所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：
匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻，设匀加速能达到最大速度为V1，则此时
小结：
机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。
弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。
【例26】电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？
【分析与解答】：
此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：
第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升.
在匀加速运动过程中加速度为
a=
m/s2=5m/s2，末速度Vt=
=10m/s
上升的时间t1=
s=2s，上升高度为h=
=10m
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为
Vm=
=15m/s
外力对物体做的总功W=Pmt2-mgh2,动能变化量为
ΔEk=
mV2m-
mVt2
由动能定理得Pmt2-mgh2=
mVm2-
mVt2
代入数据后解得t2=5.75s，所以t=t1+t2=7.75s所需时间至少为7.75s.
小结：
机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力决定的，而最大牵引力是由牵引物的强度决定的。
弄清了这一点，利用牛顿第二定律就很容易求出机车运动的最大匀加速度。
【例27】、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。
其正上方A位置有一只小球。
小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列说法中正确的是：
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
【分析与解答】：
小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。
从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。
A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。
选B、C、D。
【例28】、物体以150J的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点P时，其动能减少了100J时，机械能减少了30J,物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能等于。
【分析与解答】：
虽然我们对斜面的情况一无所知，但是物体从斜面一底点P与从点P到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点P到最高点过程中，损失的机械能为E，则100/30=（150-100）/E,由此得E=15J，所以物体从斜底到达斜面顶一共损失机械能45J，那么它从斜面顶回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能90J，回到出发点时的动能为60J.
【例29】一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。
现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高
度差为h。
稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。
每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。
已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。
这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。
求电动机的平均输出功率P。
【分析与解答】：
以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有
①
②在这段时间内，传送带运动的路程为
③由以上可得
④
用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为
⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功
⑥
两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量
⑦
可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。
T时间内，电动机输出的功为：
⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即
⑨
已知相邻两小箱的距离为L，所以
⑩
联立⑦⑧⑨⑩，得
⑾
专题六．典型错误举例、能源开发和利用
◎知识梳理
1．人类社会的文明进步与经济繁荣跟能源的开发与利用紧密相关，可以想象，人类一旦失去能源，社会将会变得怎样?
2．大量常规能源的使用在给人类带来文明与繁荣的同时，也给人类的生存环境带来
了巨大的灾难．环境问题已经成为世界各国关心的重点．
3．节约能源、开发新能源和使用清洁能源是缓解能源危机及保护和改善人类生存环境的有效措施．
4．这部分内容非常重要，在解题时要考虑到的关联因素比较多，容易出错，现举出一些常出错的例子。
◎例题评析
典型错误之一：
错误认为“人做功的计算”与“某个具体力做功的计算”相同。
人做的功就是人体消耗化学能的量度，不少学生错误认为只是人对其它物体作用力所做的功。
【例30】、质量为m1、m2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m的人站在m1上用恒力F拉绳子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为V1和V2，位移分别为S1和S2，如图所示。
则这段时间内此人所做的功的大小等于：
A．FS2B．F（S1+S2）
C．
D．
错解：
人所做的功等于拉力F对物体m2所做的功W=F·S2，由动能定理可得：
即AC正确。
分析纠错：
根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m1和m2的动能以及人的动能。
所以人做的功的大小等于
即B、D两选项正确。
典型错误之二：
混淆注意“相对位移”与“绝对位移”。
功的计算公式中，S为力的作用点移动的位移
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