求函数零点近似解的一种计算方法二分法的教学设计.docx
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求函数零点近似解的一种计算方法二分法的教学设计
求函数零点近似解的一种计算方法—二分法的教学设计
1教材分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（B版）》的第二章2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法按大纲要求是用1课时完成.本文从
教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈这1课时的教学设计.
1.1教材的地位和作用
函数与方程是中学数学的重要内容之一,又是初等数学和高等数学衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天,函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系,因而函数与方程思想的教学,既有着不可替代的重要位置,又有着重要的现实意义.而这正是本节课要渗透的重要思想.
本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算器（或计算机）用二分法求函数零点的近似解即相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系.它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,即体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.
1.2教学重、难点
重点：
二分法基本思想的理解,用二分法求函数零点近似解的步骤.难点：
求函数零点近似解一般步骤的理解和概括.
2教学目标分析
2.1知识与技能
（1）了解二分法是求函数零点近似解的一种方法.
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
（3）根据具体函数的图像,能够借助计算器（或计算机）用二分法求相应方程的近似解.
2.2过程与方法
（1）通过经历“用二分法求函数零点近似解”的探索过程,初步体会数形结
合思想、逼近思想等.
（2）通过设置数学学习环境,让学生了解更多的获取知识的手段和途径.
2.3情感态度与价值观
（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程,感受精确与近似的相对统一.
（2）在探究解决问题的过程中,培养学生之间的合作态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.
3学情分析
3.1学生学习本课内容的基础
学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点,理解了函数图象与方程的根之间的关系,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识,在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法,并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔.
3.2学生学习本课内容的能力
高一学生对于动态与静态的认识薄弱,对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识,对于综合函数图象与性质,计算机的应用尚不够熟练,这些都给学生
在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度.但学生思维活跃,积极性高,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息
技术的应用.在用二分法教学时,应该为学生创设熟悉的问题情境,引导学生观察、计算、思考,理解问题的本质从而得出结论.
3.3学生学习本课内容的心理
高一学生是一个特殊的学习群体.由于个体认知水平、学习能力等方面的差异,表现出不同的学习状态.学生处于形式运算阶段,认知水平是从形象到抽象过渡,自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想.
4教学方法与教学手段
教学方法：
启发发现法、合作探究法.教学手段：
现代信息技术辅助教学
5教学程序与环节设计：
结合复习内容引入课题，结合实际问题诱发兴趣.
二分法的意义及方法步骤.明确二分法的适用范围及算法思想。
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题.
知识结构化.
进一步培养二分法的应用意识,并且培养再创造精神.以教材设计探讨教学规律，寻求合理教学思想与方法与方法
设计流程5.1创设情境
（一）问题情境
问题1:
你会求哪种方程的解？
问题2：
前面一节课学习了什么知识？
复习问题：
（1）方程的根与函数零点的关系
（2）根的存在性定理
[师生互动]根据情况由学生个别提出或回答,也可以集体提出或回答.教师直接以解方程的形式切入主题,多媒体展示数学史资料.复习上节课知识.
[设计意图]直接切入主题可以让学生对本节课的学习有个清楚的认识.同
时,数学史料的给出可以提高学生的学习兴趣,丰富学生的数学知识.旧知识的复习也为本节课求函数零点的近似解提供了理论依据.
（二）应用情境
在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km长的电话线路,每隔50m有一根电线杆,维修工人需爬上电线杆测试,如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多.
问题3：
请同学们想一想,如果是你,你会怎样解决这个问题？
[师生互动]给学生适当的时间分组讨论（各组负责人表达本组观点）.讨
论的结果可能有好多不同的方法,其中包括：
逐段检查、两面夹击、三等分等.教师提示应该注意操作的可行性.然后师补充引导.
思路引导：
如图所示,他首先从中点C开始查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中点D,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查.
问题4：
每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50至100m左右,总共需要几次？
[师生互动]学生独立思考交流答案.
[设计意图]以实际问题为背景,以学生感觉较简单的问题入手,激活学生的思维,形成学生再创造的欲望.注意学生解题过程中出现的问题,及时引导学生思考,从二分查找的角度解决问题.让学生初步体会二分法的算法思想与方法．
[师]然后教师准备引入课题,并且板演课题.这是采取逐步缩小范围的办法找故障,当范围越小越容易查找发生故障的电话线路.在数学中我们也可以用这样的方法求函数零点的近似解（或方程的近似
解）.
5.2实例探究
32
例1求函数f（x）x3x22x2的一个为正数的零点.
（1）精确到0.1.
（2）精确到0.01.
问题5：
如何求此函数零点的近似解？
[师生探究]
探究1零点的初始区间的确定（学生讨论并分组交流）
方法1：
试值法
方法2：
图像法
探究2缩小区间的方法（逼近）找中点,二分区间.
探究3零点的精确化比如要求精确到0.1,结果是多少？
为什么？
[师生互动]教师利用几何画板做出对应函数的图象,学生观察函数图象.师生共同从所画图象上选择一个最优区间,作为初始区间.利用多媒体动态展示,讲解缩小区间的方法和过程,重点讲清原理.师生共同完成所举例子,帮助学生规范解题格式.
解:
由于f
（1）20,f
（2）60,可以取区间[1,2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下：
次
数
端点（中点）
坐标
计算中点函数
值
取区间
区间长度
0
[1,2]
1
1
1.5
0.625
[1,1.5]
0.5
2
1.25
-0.984
[1.25,1.5]
0.25
3
1.375
-0.260
[1.375,1.5]
0.125
4
1.4375
0.165
[1.375,1.4375]
0.0625
5
1.40625
-0.05405
[1.40625,1.4375]
0.03125
6
1.421875
0.0526237
[1.40625,1.421875]
0.015625
7
1.4140625
-0.0010313
[1.4140625,1.421875]
0.0078125
由上表可知,第3次取中点后,区间长度为0.125<0.2,所以1.375和1.5的
中点1.4375满足精度要求,精确到0.1后为1.4（4次取中点）；第6次取中点后,区间长度为0.015625<0.02,所以1.40625和1.421875的中点1.4140625满足精度要求,精确到0.01后为1.41（7次取中点）.
[设计意图]
1紧紧围绕学生易接受的简单函数式展开教学,激发学生学习主动性,通过对具体函数零点的探究,为学生归纳出二分法的步骤埋下伏笔.
2通过对探究任务的分解及几何画板作图,进一步分散难点,同时让学生体会数形结合的思想和信息技术的重要作用.
3“缩小区间、逼近零点”是二分法的核心环节,是本课的重点内容,通过学生思考、探究和互动,反复触碰这个核心,不断深化对重点的理解.
4培养学生的探究意识,进一步感受精确与近似的相对统一；在经历解决问题的过程中获得方法,建构新知.
5.3总结升华
问题6：
什么是二分法？
[师生互动]学生大胆联想总结,师引导并且进一步完善.
1二分法（bisection）：
对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f（a）·f（b）0的函数yf（x）,通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
问题7：
用二分法求零点近似值的步骤是什么？
[师生互动]教师引导学生回答,并总结完善,教师多媒体演示定义.教师给出精度的定义.
2给定精度,用二分法求函数f（x）的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间[a,b],验证f（a）·f（b）0,给定精度；
（2）求区间（a,b）的中点x1；
（3）计算f（x1）：
若f（x1）=0,则x1就是函数的零点；
○2若f（a）·f（x1）<0,则令b=x1（此时零点x0（a,x1））；
○3若f（x1）·f（b）<0,则令a=x1（此时零点x0（x1,b））；
（4）．判断是否达到精度；
即若|ab|,则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2-4．
[设计意图]
1让学生总结二分法的定义以及求函数零点的步骤,可以帮助学生条理思路,养成独立思考,善于总结的学习习惯.
2让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法,揭示数学通
常的发现过程,给学生“数学创造”的体验,这种引出方式自然而易于学生接受
问题8：
你知道二分法在生活中的应用吗？
[师生互动]师生共同举例.
[设计意图]
体现数学在生活中的应用,清除学生对二分法的神秘感,激发学生的学习兴趣.
5.4知识拓展
1巩固提高
问题9：
借助计算器用二分法求方程2x3x7的近似解（精确度0.1）[师生互动]两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程,教师给予点评.
[设计意图]
让学生根据二分法的思想与步骤合作解答,培养合作意识.通过课堂练习进一步熟练和巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标.本环节以个别指导为主,体现面对全体学生的课改理念.
思考
问题10：
用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题11：
是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
[师生互动]教师有针对性的提出问题,引导学生回答,学生讨论,交流.
[设计意图]反思二分法的特点,明确二分法的适用范围以及优缺点,指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.让学生对一个具体函数（或方程）的零点（或根）的探究有更完整的认识.
2变式训练
1）在下列函数图像中,不能用二分法求零点的是
（2）用二分法求函数yf（x）在x∈（1,2）内零点近似值的过程中得到f
（1）0,f（1.5）0,f（1.25）0,则函数的零点落在区间（）.
（A）（1,1.25）（B）（1.25,1.5）（C）（1.5,2）（D）不能确定
32
（3）计算函数f（x）x3x22x2的一个正零点,列表如下：
中点坐标
中点函数
值
取区间
[1,2]
x0=1.5
f（x0）>0
[1,1.5]
x1=1.25
f（x1）<0
[1.25,1.5]
x2=1.375
f（x2）<0
[1.375,1.5]
x3=1.4375
f（x3）>0
[1.375,1.4375]
x4=1.40625
f（x4）<0
[1.40625,1.4375]
若精确度为0.1,结果是.
[师生互动]学生分析,师引导他们注意先验证二分法使用条件以及解题中注意计算的次数和达到精确度后的处理.
[设计意图]是对前面所学知识和数学思想的综合应用和巩固,同时也是让
学生在具体操作中体会二分法步骤当中的数学思想与方法.
5.5
课堂小结
自我小结
（1）知识小结.
（2）思想方法小结.
教师强调
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的通法
2.回顾二分法步骤,理解二分法思想本质.
3.渗透二分法的算法思想.
[设计意图]
关注学生学习的主动性,通过自主小结的形式将课堂还给学生,既是对一节课的简单梳理,也是对所学内容的再次巩固.
5.6作业回馈
（1）教材P80-练习A2,练习B2（必做）.
（2）我国古代数学家秦九韶在1247年,发明了一种高次方程根的近似计算法,我们称之为秦九韶算法,请查阅有关秦九韶算法的资料,并体会其算法思想.（选做）
附：
板书设计
§2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法
函数f（x）例题
（1）初始区间的确定
（2）缩小区间的方法
（3）零点的精确化
[设计意图]作业分必做与选做题.一是全面巩固本节所学内容,另外对学有余力的学生能够有能力涉外数学课外知识,不仅能够学习古人的探索精神,而且也能激励学习数学的兴趣.
6教学反思
本节课的教学设计注入了以学生为主体,教学相长的教育理念.要确定课堂教学中学生知识生长点,就要充分了解学生；充分理解学生,在课堂上及课后都要充分发动学生.课后的发动就是指,能使新的知识生长点有空间和有条件地继续生长.在教学过程中要注重思维活动过程的设计；注重学习方式、学习方法的开放性设计；注重双边活动、主体设置的和谐性设计；注重教学效果的有效性.
不过在本节课的设计中对于如何将学生在课堂上闪现的思想火花转化为课堂上可利用的资源我想还有待探究,值得跟同行们商榷.
学习资源
《普通高中课程标准实验教科书数学》（必修）人民教育出版社B版第一
B版第一
本
《普通高中课程标准实验教科书数学》（必修）人民教育出版社
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