第二章 线性规划.docx
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第二章线性规划
第二章线性规划
本章内容重点：
线性规划模型
解的主要概念
线性规划应用——建模
一.线性规划模型
引例：
（1）用一块边长为a的正方形铁皮做一容器，应如何裁剪，使做成的容器的容积最大？
（2）某企业计划生产甲、乙两种产品。
这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。
按工艺资料规定，生产每件产品甲需占用设备分别为2、1、4、0小时，生产每件产品乙需占用设备分别为2、2、0、4小时。
已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又已知每生产一件产品甲企业能获得2元利润，每生产一件产品乙企业能获得3元利润，问该企业应如何安排生产，使总的利润收入最大？
讨论：
（1）可用微积分的方法解决；
（2）复杂一些
甲
乙
设备
A
2
2
12
B
1
2
8
C
4
0
16
D
0
4
12
利润
2
3
目标：
最大
条件：
例2.1:
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲
产品乙
设备能力（h）
设备A
3
2
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件）
1500
2500
问题：
工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？
解：
设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。
根据题意，我们知道两种产品的生产受到设备能力（机时数）的限制。
对设备A，两种产品生产所占用的机时数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
3x1+2x2≤65；
对设备B，两种产品生产所占用的机时数不能超过40，于是我们可以得到不等式：
2x1+x2≤40；
对设备C，两种产品生产所占用的机时数不能超过75，于是我们可以得到不等式：
3x2≤75；另外，产品数不可能为负，即x1,x2≥0。
同时，我们有一个追求目标，即获取最大利润。
于是可写出目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润：
z=1500x1+2500x2。
综合上述讨论，在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的线性规划模型：
目标函数Maxz=1500x1+2500x2
约束条件s.t.3x1+2x2≤65
2x1+x2≤40
3x2≤75
x1,x2≥0
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。
其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含义为“最大化”；“s.t.”是“subjectto”的缩写，表示“满足于……”。
因此，上述模型的含义是：
在给定条件限制下，求使目标函数z达到最大的x1,x2的取值。
一般形式：
•目标函数：
Max（Min）z=c1x1+c2x2+…+cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤（=,≥）b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤（=,≥）b2
.
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=,≥）bm
x1，x2，…，xn≥0
标准形式:
•目标函数：
Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
.
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
x1，x2，…，xn≥0
可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：
目标最大化、约束为等式、决策变量均非负、右端项非负。
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:
1.极小化目标函数的问题：
设目标函数为:
Minf=c1x1+c2x2+…+cnxn
则可以令z＝-f，该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，即
Maxz=-c1x1-c2x2-…-cnxn
但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但他们最优解的目标函数值却相差一个符号，即
Minf＝-Maxz
2、约束条件不是等式的问题：
设约束条件为
ai1x1+ai2x2+…+ainxn≤bi
可以引进一个新的变量s，使它等于约束右边与左边之差
s=bi–（ai1x1+ai2x2+…+ainxn）
显然，s也具有非负约束，即s≥0，
这时新的约束条件成为
ai1x1+ai2x2+…+ainxn+s=bi
当约束条件为
ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi
时，类似地令
s=（ai1x1+ai2x2+…+ainxn）-bi
显然，s也具有非负约束，即s≥0，这时新的约束条件成为
ai1x1+ai2x2+…+ainxn-s=bi
为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。
例2.2：
将以下线性规划问题转化为标准形式
Minf=3.6x1-5.2x2+1.8x3
s.t.2.3x1+5.2x2-6.1x3≤15.7
4.1x1+3.3x3≥8.9
x1+x2+x3=38
x1,x2,x3≥0
解：
首先,将目标函数转换成极大化：
令z=-f=-3.6x1+5.2x2-1.8x3
其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4，x5≥0。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
Maxz=-3.6x1+5.2x2-1.8x3
s.t.2.3x1+5.2x2-6.1x3+x4=15.7
4.1x1+3.3x3-x5=8.9
x1+x2+x3=38
x1,x2,x3,x4,x5≥0
3.变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。
当某一个变量xj没有非负约束时，可以令
xj=xj’-xj”
其中
xj’≥0，xj”≥0
即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj”的大小。
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。
当某一个右端项系数为负时，如bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：
-ai1x1-ai2x2-…-ainxn=-bi。
例2.3：
将以下线性规划问题转化为标准形式
Minf=-3x1+5x2+8x3-7x4
s.t.2x1-3x2+5x3+6x4≤28
4x1+2x2+3x3-9x4≥39
6x2+2x3+3x4≤-58
x1,x3,x4≥0
解：
首先，将目标函数转换成极大化：
令z=-f=3x1–5x2–8x3+7x4；
其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量x5,x6,x7≥0；
由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0，x2”≥0；
由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘以-1。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
Maxz=3x1–5x2’+5x2”–8x3+7x4
s.t.2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5=28
4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6=39
-6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7=58
x1,x2’,x2”,x3,x4,x5,x6,x7≥0
二.线性规划的图解法:
线性规划的图解法（解的几何表示）对于只有两个变量的线性规划问题，可以二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
图解法求解线性规划问题的步骤如下：
（1）分别取决策变量x1,x2为坐标向量建立直角坐标系。
（2）对每个约束（包括非负约束）条件，先取其等式在坐标系中作出直线，通过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域（存在或不存在），若存在，其中的点表示的解称为此线性规划的可行解。
这些符合约束限制的点集合，称为可行集或可行域。
然后进行
（3）否则该线性规划问题无可行解。
（4）任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置（有时交于无穷远处，此时称无有限最优解）。
若有交点时，此目标函数等值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目标函数的值即最优值。
例2.4:
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲
产品乙
设备能力（h）
设备A
3
2
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件）
1500
2500
问题：
工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？
用图解法求解。
解：
设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。
根据前面分析，可以建立如下的线性规划模型：
Maxz=1500x1+2500x2
s.t.3x1+2x2≤65（A）
2x1+x2≤40（B）
3x2≤75（C）
x1,x2≥0（D,E）
按照图解法的步骤在以决策变量x1，x2为坐标向量的平面直角坐标系上对每个约束（包括非负约束）条件作出直线，并通过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域即可行集或可行域如下图阴影所示。
任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置，得到交点（5,25）T，此目标函数的值为70000。
于是，我们得到这个线性规划的最优解x1=5、x2=25，最优值z=70000。
即最优方案为生产甲产品5件、乙产品25件，可获得最大利润为70000元。
例2.5：
在例2.1的线性规划模型中，如果目标函数变为：
Maxz=1500x1+1000x2
那么，最优情况下目标函数的等值线与直线（A）重合。
这时，最优解有无穷多个，是从点（5,25）T到点（15,10）T线段上的所有点，最优值为32500。
如下图所示：
例2.6：
在例2.1的线性规划模型中,如果约束条件（A）、（C）变为：
3x1+2x2≥65（A’）
3x2≥75（C’）
并且去掉（D、E）的非负限制。
那么，可行域成为一个上无界的区域。
这时，没有有限最优解，如下图所示：
无有限解的情况
例2.7：
在例2.1的线性规划模型中，如果增加约束条件（F）为：
x1+x2≥40（F）
那么，可行域成为空的区域。
这时，没有可行解，显然线性规划问题无解
如下图所示：
根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规划的可行域和最优解有以下几种可能的情况
1.可行域为封闭的有界区域
（a）有唯一的最优解；
（b）有无穷多个最优解；
2.可行域为封闭的无界区域
（c）有唯一的最优解；
（d）有无穷多个最优解；
（e）目标函数无界（即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少），因而没有有限最优解。
3.可行域为空集
（f）没有可行解，原问题无最优解
以上几种情况的图示如下：
可行域无界—目标函数无界
可行域为空集—无可行解
三.线性规划解的概念
熟悉下列一些解的概念：
•可行解、可行解集（可行域）
•最优解、最优值
•基、基变量、非基变量
•基本解、基本可行解
•可行基、最优基
线性规划的基、基本解与基本可行解
在一般情况下，由于图解法无法解决三个变量以上的线性规划问题，对于n个变量的线性规划问题，我们必须用解方程的办法来求得可行域的极点。
再来进一步考察前例。
例2.8把例2.1的线性规划模型标准化，引入松驰变量x3，x4，x5≥0，得到
Maxz=1500x1+2500x2
s.t.3x1+2x2+x3=65（A）
2x1+x2+x4=40（B）
3x2+x5=75（C）
x1,x2,x3,x4,x5≥0
用（D）（E）（F）（G）（H）
分别表示x1=0、x2=0、x3=0、
x4=0、x5=0。
这里一共有8个约束条件，其中3个等式约束
（一般情况下，等式约束的个数少于决策变量的个数），5个变量非负约束（与决策变量个数相同）。
每5个方程若线性无关可解得一个点，我们可以看到前例图解法得到的区域中每两条直线的交点与此例的各个方程有如下关系：
见下图。
平面上各不等式约束半平面得交点
由上图可以看出：
直线A、B的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（F）、（G）的解，即：
x
（1）=（15,10,0,0,45）T
直线A、C的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（F）、（H）的解，即：
x
（2）=（5,25,0,5,0）T
直线A、D的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（D）、（F）的解，即：
x（3）=（0,32.5,0,7.5,-22.5）T
直线A、E的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（E）、（F）的解，即：
x（4）=（65/3,0,0,-10/3,75）T
直线B、C的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（G）、（H）的解，即：
x（5）=（7.5,25,-7.5,0,0）T
直线B、D的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（D）、（G）的解，即：
x（6）=（0,40,-15,0,-45）T
直线B、E的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（E）、（G）的解，即：
x（7）=（20,0,5,0,75）T
直线C、D的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（D）、（H）的解，即：
x（8）=（0,25,15,15,0）T
直线C、E无交点（C、E相互平行）
直线D、E的交点对应于约束条件（A）、（B）、（C）、（D）、（E）的解，即：
x（9）=（0,0,65,40,75）T
上图各约束直线的交点是由以下方法得到：
在标准化的等式约束中，令其中某两个变量为零，得到其他变量的唯一解，这个解就是相应交点的坐标，如果某一交点的坐标（x1,x2,x3,x4,x5）T全为非负，则该交点就对应于线性规划可行域的一个极点（如A、B，A、C，B、E，C、D和D、E的交点）；如果某一交点的坐标中至少有一个分量为负值（如A、D，A、E，B、C和B、D的交点），则该交点不是可行域的极点。
由上图可知，A、B交点对应于x3=0，x4=0，在等式约束中令x3=0，x4=0，得到x1=15，x2=10，x5=45。
即A、B交点对应于极点x=（x1，x2，x3，x4，x5）T=（15，10，0，0，45）T。
由于所有分量都为非负，因此A、B交点是可行域的极点。
又知，B、C交点对应于x4=0，x5=0，在等式约束中令x4=0，x5=0，得到x1=7.5，x2=25，x3=-7.5。
即B、C交点对应于点x=（x1，x2，x3，x4,，x5）T=（-7.5，25，-7.5，0，0）T。
由于有负分量，因此B、C交点不是可行域的极点。
我们同样可以讨论其他交点的情况。
下面讨论线性规划标准形式的基、基本解、基本可行解的概念。
考虑线性规划标准形式的约束条件：
Ax=b，x≥0
其中A为m×n的矩阵，n>m，秩（A）=m，bRm。
在约束等式中，令n维空间的解向量：
x=（x1，x2，…，xn）T
中n-m个变量为零，如果剩下的m个变量在线性方程组中有唯一解，则这n个变量的值组成的向量x就对应于n维空间Rn中若干个超平面的一个交点。
当这n个变量的值都是非负时，这个交点就是线性规划可行域的一个极点。
根据以上分析，我们建立以下概念：
（1）线性规划的基：
对于线性规划的约束条件
Ax=b，x≥0
设B是A矩阵中的一个非奇异（可逆）的m×m子矩阵，则称B为线性规划的一个基。
用前文的记号，A=（p1，p2，…，pn），其中pj=（a1j，a2j，…，amj）TRm，任取A中的m个线性无关列向量pjRm构成矩阵B=（pj1，pj2，…，pjm）。
那么B为线性规划的一个基。
我们称对应于基B的变量xj1，xj2，…，xjm为基变量；而其他变量称为非基变量。
可以用矩阵来描述这些概念。
设B是线性规划的一个基，则A可以表示为
A=[B,N]
x也可相应地分成
xB
x=
xN
其中xB为m维列向量，它的各分量称为基变量，与基B的列向量对应；xN为n-m列向量，它的各分量称为非基变量，与非基矩阵N的列向量对应。
这时约束等式Ax=b可表示为
xB
（B,N）=b
xN
或
BxB+NxN=b
如果对非基变量xN取确定的值，则xB有唯一的值与之对应
xB=B-1b-B-1NxN
特别，当取xN=0，这时有xB=B-1b。
关于这类特别的解，有以下概念。
（2）线性规划问题的基本解、基本可行解和可行基：
对于线性规划问题，设矩阵B=（pj1，pj2，…，pjm）为一个基，令所有非基变量为零，可以得到m个关于基变量xj1，xj2，…，xjm的线性方程，解这个线性方程组得到基变量的值。
我们称这个解为一个基本解；若得到的基变量的值均非负，则称为基本可行解，同时称这个基B为可行基。
矩阵描述为，对于线性规划的解
xBB-1b
x==
xN0
称为线性规划与基B对应的基本解。
若其中B-1b0，则称以上的基本解为一基本可行解，相应的基B称为可行基。
我们可以证明以下结论：
线性规划的基本可行解就是可行域的极点。
这个结论被称为线性规划的基本定理，它的重要性在于把可行域的极点这一几何概念与基本可行解这一代数概念联系起来，因而可以通过求基本可行解的线性代数的方法来得到可行域的一切极点，从而有可能进一步获得最优极点。
例2.9:
考虑例2.8的线性规划模型
Maxz=1500x1+2500x2
s.t.3x1+2x2+x3=65
2x1+x2+x4=40
3x2+x5=75
x1,x2,x3,x4,x5≥0
注意，线性规划的基本解、基本可行
解（极点）和可行基只与线性规划问
题标准形式的约束条件有关。
32100
A=[P1,P2,P3,P4,P5]=21010
03001
A矩阵包含以下10个3×3的子矩阵：
B1=[p1，p2，p3]B2=[p1，p2，p4]
B3=[p1，p2，p5]B4=[p1，p3，p4]
B5=[p1，p3，p5]B6=[p1，p4，p5]
B7=[p2，p3，p4]B8=[p2，p3，p5]
B9=[p2，p4，p5]B10=[p3，p4，p5]
其中B4=0，因而B4不是该线性规划问题的基。
其余均为非奇异方阵，因此该问题共有9个基。
对于基B3=[p1，p2，p5]，令非基变量x3=0，x4=0，在等式约束中令x3=0，x4=0，解线性方程组：
3x1+2x2+0x5=65
2x1+x2+0x5=40
0x1+3x2+x5=75
得到x1=15，x2=10，x5=45，对应的基本可行解：
x=（x1，x2，x3，x4，x5）T=（15，10，0，0，45）T。
于是对应的基B3是一个可行基。
类似可得到
x
（2）=（5,25,0,5,0）T（对应B2）
x（7）=（20,0,5,0,75）T（对应B5）
x（8）=（0,25,15,15,0）T（对应B7）
x（9）=（0,0,65,40,75）T（对应B10）
是基本可行解；
而x（3）=（0,32.5,0,7.5,-22.5）T（对应B9）
x（4）=（65/3,0,0,-10/3,75）T（对应B6）
x（5）=（7.5,25,-7.5,0,0）T（对应B1）
x（6）=（0,40,-15,0,-45）T（对应B8）
是基本解。
因此，对应基本可行解（极点）的B2B3B5B7B10都是可行基。
这里指出了一种求解线性规划问题的可能途径，就是先确定线性规划问题的基，如果是可行基，则计算相应的基本可行解以及相应解的目标函数值。
由于基的个数是有限的（最多个），因此必定可以从有限个基本可行解中找到最优解。
四.单纯形法（选讲）
利用求解线性规划问题基本可行解（极点）的方法来求解较大规模的问题是不可行的。
单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
由上节的讨论可知，对于线性规划的一个基，当非基变量确定以后，基变量和目标函数的值也随之确定。
因此，一个基本可行解向另一个基本可行解的移动，以及移动时基变量和目标函数值的变化，可以分别由基变量和目标函数用非基变量的表达式来表示。
同时，当可行解从可行域的一个极点沿着可行域的边界移动到一个相邻的极点的过程中，所有非基变量中只有一个变量的值从0开始增加，而其他非基变量的值都保持0不变。
考虑标准形式的线性规划问题：
Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
..
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