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算法导论复习笔记
《算法导论》复习笔记
Chapter22基本图算法
有向图邻接链表，计算节点出度和入度的时间复杂度
O（V+E）
开一个degree[]数组，大小为结点个数，复杂度O（V）;
遍历邻接链表，经过边uv时，计算出度degree[u]+=1,计算入度degree[v]+=1,复杂度O（E）
将一个多图变成等价无向图，用邻接链表表示，时间复杂度O（V+E）
多图是允许重复边和自循环边的图。
开一个bool数组mark[],大小为节点个数，初始化为false。
复杂度O（V）。
对每个顶点u的邻接链表，遍历，令v为u的边所指向的顶点；如果mark[v]=false，将uv加入新图，并将mark[v]设置为true；否则就跳过。
复杂度O（E）
再次遍历u的连边，将mark[v]初始化
整体复杂度O（V+E）
伪代码:
SOLVE（G,G’）
1foreachvetexu∈G
2foreachv∈[u]
3ifmark[v]==false
4mark[v]==true
5Addedge（G’,u,v）
6foreachv∈[u]
7mark[v]=false
图G的邻接矩阵表示，给出一个O（V）的算法来判断有向图G中是否存在一个通用汇点。
通用汇点指的是入度|V|-1，但出度为0。
等价问题：
给定有向图G的V×V邻接矩阵G，在O（V）时间内判断是否存在一个数k，使得对所有的i有A[i][k]=1,对所有的j有A[k][j]=0,（i≠k,j≠k）
令i和j初值为1，若G[i][j]=0,说明i到j无边，j不可能是通用汇点，令j=j+1;若G[i][j]=1,说明i到j有边，i不可能是通用汇点，令i=i+1，循环直到i>|V|或者j>|V|;若i>|V|，则不存在通用汇点，若j>|V|，则检查顶点i是否满足要求。
伪代码：
判断是否存在通用汇点O（V）
HAS_UNIVERSL_SINK（G）
1i=j=1
2whilei≤Vandj≤V
3ifG[i][j]==1
4i=i+1
5elsej=j+1
6ifi>V
7returnfalse
8elsereturnCHECK（G,i）
CHECK（G,u）
1foreachvertexv∈
2ifG[u][v]=1
3returnfalse
4foreachvertexv∈
5ifG[v][u]==0&u!
=v
6returnfalse
7returntrue
检查点u是否是通用汇点
【宽度优先搜索】
计算无向图BFS后的d值和π值
简单，注意初始节点u的π值写NIL或者写-1
r
s
t
u
v
w
x
y
D值
4
3
1
0
5
2
1
1
π值
s
w
u
NIL
r
t
u
u
输入如果是邻接矩阵表示的，BFS的运行时间
O（V^2）
对于队列中的每一个节点，都要遍历所有的节点来判断是否有边。
举例说明一个有向图G中可能存在这样一个边集Eπ：
s到v的唯一简单路径也是一条最短路径，但是无论如何该边集Eπ都不能通过在图G上运行BFS获得。
V={1,2,3,4,5},E={（1,2）,（2,3）,（1,4）,（4,5）,（2,5）,（3,4）},Eπ={（1,2）,（2,3）,（1,4）,（4,5）},s=1
求一棵树T=（V,E）的直径，并分析算法的运行时间。
直径指的是树中所有最短路径的最大值。
两遍BFS就能解决.
设v任意一点，BFS（v），令u=v能到达的最远点。
再BFS（u），取w为u能达到的最远点，则u和w之间的最短路径就是直径。
时间复杂度是O（V+E）。
注意本题的证明。
反证法，设t1到t2是直径，u是v能达到的最远点，但是u不是t1或者t2中的一个，产生矛盾的结论。
【深度优先搜索】
给出DFS每个结点的发现时间和完成时间，并给出每条边的分类
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
dis/fin
1/16
17/20
2/7
8/15
18/19
3/6
4/5
9/12
13/14
10/11
qs
sv
vw
ws
qw
qt
tx
xz
zx
ty
yq
ry
uy
ru
树边
树边
树边
后向边
前向边
树边
树边
树边
后向边
树边
后向边
横向边
横向边
树边
用栈实现DFS，写出伪代码
DFS-VISIT（G,u）
1（u）
2while（!
3u=
4if==GRAY
5==BLACK
6time=time+1
7=time
8
9continue
10if==WHITE
11=GRAY
12time=time+1
13=time
14foreachv∈G:
Adj[u]
15if==WHITE
16v.π=u
17（v）
举出一个反例反驳：
有向图G包含u到v的路径，并且DFS时<，则v是u在DFS森林中的一个后代。
V={w,u,v}
E={（w,u）,（u,w）,（w,v）}
有一条从u到v的路径，u->w->v，且d[u]w
u
v
dis
1
2
4
fin
6
3
5
举出一个反例反驳：
有向图G包含u到v的路径，则任意DFS都将导致≤。
例子同上
为什么节点u同时有入边和出边，u还是深度优先树中的唯一节点
V={w,u,v}
E={（u,w）,（v,u）}
w
u
v
dis
1
3
5
fin
2
4
6
证明：
在无向图上使用深度优先搜索来获取图G的连通分量，并且深度优先搜索包含的树的棵数与G的连通分量相同。
也就是说，修改深度优先搜索让每个结点赋予一个介于1和k之间的整数值，k是G的连通分量数。
相同连通分量中的点有相同的。
将DFS_VISIT（G,u）改成DFS_VISIT（G,u,++k），然后在该方法开头添加一句=k。
给出一个算法判断一个有向图是单连通图
单连通：
图G至多包含一条从u到v的简单路径。
判断是否出现了前向边或者横向边即可。
即分别对每个顶点进行DFS，记录过程中是否访问到黑色的节点。
时间复杂度（V*（V+E））
伪代码：
SOLVE（G）
1foreachvertexu∈
2foreachvertexv∈
3=WHITE
4v.π=NIL
5time=0
6if（DFS（G,u））
7returnfalse
8returntrue
DFS（G,u）
1time=time+1
2=time
3=GRAY
4foreachv∈G:
Adj[u]
5if==WHITE
6v.π=u
7if（DFS（G,v））
8returntrue
9if==BLACK
10returntrue
=BLACK
12time=time+1
=time
14returnfalse
【拓扑排序】
Computethenumberofdistinctpathsfromstotinadirectedacyclicgraph
（要求线性时间复杂度）
为每个顶点声明数组dp[],dp[v]为s到v的路径数，初始化为0,dp[s]置为1。
进行拓扑排序，在拓扑排序的过程中，每到达一个节点u，其每个相连的节点v都将dp[v]加上dp[u]。
最后dp[t]就是s到t的路径数。
复杂度：
O（V+E）
给出一个算法来判断给定无向图G=（V,E）是否包含一个环路，复杂度O（V）
DFS，访问当前节点的邻接表时，如果存在某个节点已经被标记为访问状态，而且该节点不是当前节点的父亲，则终止DFS，存在环路。
拓扑排序的另一种做法：
重复寻找入度为0的结点，输出该结点，将该结点及其发出的边从图中删除。
请解释如何在O（V+E）的时间内实现这种思想。
如果图G包含环路，将会发生什么情况
利用队列Queue。
邻接链表存储这个图G。
开一个大小为|V|的degree数组用来存储入度，遍历邻接链表，将各个点的入度存入degree数组中（复杂度O（E））。
从degree中取出入度为0的结点存入队列Q中，通过遍历数组实现（O（V））。
删掉入度为0的点，删除的过程中将该点引出的边也删掉，顺便检测有没有其他点因此变成了入度为0，将这些点加入队列中。
因此到最后所有的点都进过一次队列，复杂度O（V），每条边也都被处理了一遍，复杂度O（E）。
所以O（V+E）。
环路的入度不会为0，边不会被删掉，点不会加入拓扑序中。
给出一个算法判断图G是否是半连通的。
证明算法的正确性并分析运行时间。
对于有向图，任意节点对，存在u到v的路径或者v到u的路径。
这个题和拓扑排序的另一种做法有关。
对半连通图进行拓扑排序过程中，入度为0的点不能同时有2个或者以上。
否则，这两个入度为0的点之间就没有路径了。
因此就用中的算法，要求保持队列中最多只有1个点，如果多于1个就不是半连通的了。
思考题22-3欧拉回路
强连通有向图G=（V,E）中的一个欧拉回路是指一条遍历图G中每条边恰好一次的环路。
这条环路可以多次访问同一个结点。
a.证明：
图G有一条欧拉回路当且仅当对于图中每个节点v，有in-degree（v）=out-degree（v）。
b.给出一个复杂度为O（E）的算法来找出图G的一条欧拉回路。
a.证明：
=>若强连通有向图G有欧拉回路，则可知对于出发点s，假设有x次从s出，则最后回到s必须恰好有x次，因此对于s，出度和入度必然相等。
假设对于某个非出发点v，出度与入度不相等；假设出度y大于入度x，则第x次从v离开后再也不能回到v，剩余·的y-x条边不能被访问到；假设出度y小于入度x，则第y+1次进入v后无法出去。
由此可知，对于非出发点v，入度与出度同样相等。
因此G有Euler回路则入度等于出度成立。
<=假设强连通图G的每个结点出度等于入度，则从出发点开始遍历，最终必然会回到出发点s。
因为如果最终没有回到出发点，会有一条s->v1->v2->…->vi的路径，其中vi不等于s，则遍历过程中进入vi的次数比从vi走出的次数多一次，这样就肯定有一条从vi出去的边没有被访问到。
所以不成立。
这样遍历一次后会形成一个子回路，再在这个子回路上某个不同于s点的s1点继续遍历，会形成一个以s1为起始点（也是终止点）的子回路，这两个回路没有公共边，而这两个子回路明显可以合并为一个回路，该回路为s->…->e->s1->f->…->s1->…->s,这样不断扩展就必然形成一个欧拉回路。
b.从任意点开始DFS并在DFS过程中保存回路上的边。
DFS的复杂度是O（E）的。
设e为连通图G的某条环路上权重最大的边，证明：
图G’=（V,E-{e}）中存在一棵最小生成树，它也同时是G的最小生成树。
也就是说，G中存在一棵不包含边e的最小生成树。
证明：
反证。
假设G中所有最小生成树都包含e。
任取一个这样的最小生成树T，在T上去掉e，将T分为两棵子树T1和T2，T1上顶点集合为V1，T2上顶点集合为V2，则（V1,V2）是一个割。
e所在的圈至少穿越割（V1,V2）两次，C至少有2条边在（V1,V2）中，其中一条边是e。
令e’为除了e之外的另外一条边，则w（e’）≤w（e）。
将e’并到T1和T2上，将T1和T2连接成一棵新的生成树T‘。
由于T’是在T上去掉e、加入e’后形成的，因此w（T’）≤w（T）。
因此,T’也是G的一棵最小生成树，且T‘中不包含e，与假设矛盾。
23-4第三种最小生成树算法。
c.MayBE-MST-C（G,w）
1T=空集
2foreachedgee,takeninarbitraryorder
3T=T∪{e}
4ifThasacyclec
5lete’bemaximum-weightedgeonc
6T=T-{e’}
7returnT
证明：
算法实际上是在图G中删除一些圈上权值最重的边，最后得到一棵MST。
设删除的边依次是e1,e2,…em-n+1,剩余的图一次是G0,G1,..,Gm-n+1，其中G=G0,Gm-n+1=T,m=|E|，n=|V|。
证明Gi+1的MST同时也是Gi的MST即可。
前面已经证明存在Gi+1的MSTT’同时也是Gi的MST，而Gi+1的所有MST的大小与T’一样，所以它们都与Gi的MST大小一样，所以它们都是Gi的MST。
从而Gm-n+1必然是Gm-n,…,G0的MST。
23-1次优最小生成树
每次从最小生成树里换掉一条边，用不在最小生成树中的一边代替。
23-3瓶颈生成树
最小生成树是瓶颈生成树。
假定G为一个带权重的有向图，并且图中存在一个权重为负值的环路。
给出一个有效算法列出所有属于该环路上的结点。
证明正确性。
对G进行改造，增加一个新的顶点s，以及s到G中所有顶点的边。
边上的权重均为0.记为G’=（V’,E’）。
将E中的边任意定一个顺序。
对E中每一条边e，将e从G‘上去掉，调用Bellmanford算法测试当前图上是否有负圈。
若有，将e永久删除。
否则，表明e在剩下的唯一一个负圈中，将e放回G’。
测试完E中所有的边之后，最后留在G’中的就是负圈。
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