高中数学正弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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高中数学正弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

《新课程标准》要求通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

利用正弦定理解三角形，可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，避免了许多繁杂的运算，从而使许多复杂的问题得以解决。

教材分析

一、内容结构

（1）正弦定理是高中新教材人教B版必修⑤第一章第一节第一部分的内容。

本节旨在基于高二已学的三角知识，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间数量关系，引出正弦定理。

（2）一个三角形，有六个元素：

三个角三条边。

知道其中的几个元素求其它元素的过程，即为解三角形。

由于三角形内角和为180度，故而只需建立二边二角的关系，就能解决所有解三角形的问题。

而其中二边二角的关系即为正弦定理。

这个过程是对三角知识的应用；也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

（3）教材证明正弦定理时，应用了前面所学“正弦函数定义”的知识，很好的解决了“已知两角一边或两边一角求其他边角”的问题。

教材的编排循序渐进，有效的把所学知识融会贯通，使学生更容易接收。

（4）正弦定理本身的应用十分广泛，同学们在下一节中即将学习领悟到。

因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正余弦定理的探索、发现和证明，感受“类比--猜想--证明”的科学研究问题方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学思想，对于下一节内容的学习有极大的帮助。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

（2）掌握简单运用正弦定理解三角形、初步解决与测量与几何计算有关的实际问题的方法。

2.过程与方法目标：

（1）通过对正弦定理的探究，培养学生发现数学规律的思维能力；

（2）通过对正弦定理的证明和应用，培养学生运用数形结合思想方法的能力；

（3）通过对实际问题的探索，培养学生从数学角度观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观目标：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

（2）通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值。

三、教学重点与难点

教学重点：

正弦定理的证明及应用

教学难点：

理解及掌握证明方法，感受在证明过程中蕴含的数学思想。

学情分析

正弦定理是学生在必修（4）已经系统学习了三角函数，明确了三角函数基本概念，而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。

高二学生对生产生活问题比较感兴趣，本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，得出正弦定理。

必修5《1.1.1正弦定理》教学设计

一．教材分析

本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学（5）》（人教B版）第一章第一节《正弦定理》。

根据我所任教的学生情况，我将《正弦定理》划分为两个课时，这是第一课时。

正弦定理的主要内容是用正弦定理解三角形，是典型的用代数方法解决几何问题的类型，在生活、测绘中有广泛的应用。

提出一个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。

。

在教学过程中，引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形；

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二．学情分析

正弦定理是学生在必修（4）已经系统学习了三角函数，明确了三角函数基本概念，而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。

高二学生对生产生活问题比较感兴趣，本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，得出正弦定理。

三．设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢？

建构主义认为：

“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：

知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

在本节课的教学中，我努力做到以下两点：

（1）在课堂中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

四．教学目标

（1）知识与技能：

通过对任意三角形边角关系的探究，引导学生通过观察，猜想，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容，能用其解三角形；同时能用其解决一些和测量有关的实际问题

（2）过程与方法：

经历猜想、证明、发现正弦定理的过程，培养学生的创新意识和合作交流意能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，学会由特殊到一般和分类讨论的思想方法。

（3）情感态度与价值观：

通过学生之间、师生之间的探究、合作、交流，培养学生勇于探索，善于发现，不畏艰辛的创新品质，增强学生的成功心里，激发学生学习数学的兴趣。

五．教学重点与难点

教学重点：

正弦定理的证明及应用

教学难点：

理解及掌握证明方法，感受在证明过程中蕴含的数学思想。

六．教法、学法分析

教学方法：

教学过程中以学生为主体，创设和谐、愉悦的教学环境。

根据本节课内容和学生认知水平，我采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。

学法指导：

指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将所学知识应用于对任意三角形性质的探究。

让学生在问题情景中学习、观察、类比、思考、探究、动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力和锲而不舍的求学精神。

教学手段：

利用多媒体展示图片，极大的吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，调动学生参与解决问题的积极性。

利用探究学案，让学生小组合作探究，培养探索精神和构建民主平等和谐的课堂文化。

七．教学过程

1.创设情境，引入新知

济南园博园占地5176亩，主要有齐鲁园，国内园，国际园三个展区，为节省游园时间，可坐船往返于三个展区，游船以3m/s匀速行驶，从齐鲁园码头至国内园码头需沿着东偏北60o方向行驶，用时5分钟，从国内园码头至国际园码头需沿着东偏南45o方向行驶，需用时几分钟？

设计意图：

从生活中的问题出发，有助于激起学生的兴趣，激发学生学习新知的兴趣和欲望；同时，让学生感受数学存在于生活中，渗透简单的数学建模思想。

问题1：

在直角三角形中，锐角的正弦是如何定义的

在学生原有认知水平基础上让学生自己找到在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？

引导思考：

那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？

得到的这个等式，说明了在Rt△ABC中，各边、角之间存在什么关系？

（各边和它所对角的正弦的比相等）

设计意图：

以旧引新,打破学生原有认知结构的平衡状态,刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织,促进认知发展.从直角三角形边角关系切入,符合从特殊到一般的思维过程。

在学生得到关系式的前提下，教师提出问题：

问题2此关系式能不能推广到任意三角形？

让学生发挥想象自己得到猜想。

猜想：

在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即：

设计意图：

鼓励学生大胆拓广,主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.为将来合理提出新思想、新概念奠定基础。

这样做符合学生的最近发展区，为学生进一步完善正弦定理的推导奠定了基础。

同时也体现了从特殊到一般的研究方法。

2深入认知，推理证明

问题3：

在锐角△ABC中，如何构造并表示a与sinA,b与sinB的关系呢?

为了充分发挥学生的主动性，让学生以小组为单位，合作交流，探究问题的证明。

根据预设学生的困难点是添加辅助线作高，为此我设计以下问题引导学生完成证明。

问题4：

能否构造直角三角形将问题化归为直角三角形问题解决呢？

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。

我们能否得到这个边，角关系准确量化的表示呢？

当△ABC是锐角三角形时，证明相对复杂，所以教师把证明拆分成多个小问题，依次逐步向学生提问，在问题中解决证明。

①需要证明几个等式，可以怎么组合？

（不妨先证明

）

②前边学习了直角三角形中边角关系，这里有没有直角三角形？

怎么产生直角三角形？

③需要找那些量的关系？

这些量在哪些三角形里出现了？

④△BCD、△ACD有什么关系？

能不能建立这些量的关系？

怎么建立？

【学情预设：

在教师引导下，发现以CD为中间量，找到等式a﹒sinB=b﹒sinA，进而变形即得

】

【学情预设：

学生发现只需再证明

或

即可，同时经历了以上证明，学生能够观察出只需要再做一高AE，同理可证

】

当△ABC为锐角三角形时，证完。

师：

把C角变成钝角，等式还成立吗？

师：

能不能类似锐角三角形的情况证明？

教师组织学生分组讨论，根据情况选择一组推荐一人上台演示。

学情预设：

类似锐角三角形的情况，学生由三角函数基本知识，能够逐步找出问题的答案，发现即b·sin∠ACB=c·sinB，变形即得

设计意图：

学生先独立思考，寻求解决问题的途径，有了想法后再小组讨论，观察学生的动态，找一个数学基础一般但又能解决此问题的学生板演示范，让学生享受跳一跳能摘到桃子的成就感。

学生类比上述过程完成钝角三角形中等式的证明，从而突破了教学难点。

进而培养学生的逻辑思维能力、推理论证能力。

学生的思维活跃，会想到其他证法，鼓励学生大胆创新，积极进取。

教师通过微课程向学生呈现，微课是传统课堂教学的重要补充和拓展，是学生个性化阅读和课外延伸的最好载体。

综上所诉，在任意三角形中，成立，指出这

即是三角形正弦定理。

正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；即

设计意图：

感受正弦定理的形成过程，通过问答方式把复杂的证明过程简单化，有利于学生理清思路，同时，能在轻松愉悦的环境中学习

教师带领学生分析定理，总结：

（1）正弦定理反映的是边和对角的关系

（2）边和对角的比值相等，分子是边，分母就是对角，结构对称。

（3）任取一等式有四个量，两组边和对角，知道三个任意可求。

感受数学的美。

3.理解定理，合理应用

为了巩固所学知识，培养应用意识，进入典例剖析这一环节。

求：

其他边和角的大小（保留根号）。

变式练习1：

本题中如果把c=10改为b=10,其它条件不变，你能求出其它量吗？

设计意图：

例1较简单，预测学生能独立解答。

老师先对各个小组学习成果作出即时性评价，再用多媒体展示完整的解题过程，正弦定理得到了及时应用，突出了本节课的教学重点。

例2：

在三角形ABC中

求A

变式练习2：

本题中若把B=450改为A=300,其它条件不变,求B.

设计意图：

进一步熟悉正弦定理，明确用它解三角形需要什么条件，根据课前预设会有漏解情况，学生先独立思考，再小组交流，老师巡视后在屏幕上展示学生的正解和误答，裸露学生的思维过程，发现问题并解决问题，培养学生细心、严谨的科学态度。

为第二课时深层次讨论解的个数问题，打下良好的基础。

根据例1、例2引导学生总结正弦定理的应用。

问题5.在解三角形中，正弦定理可以解决哪几类问题？

师生共同总结：

（1）已知两角一边，求其他边和角；

（2）已知两边与其中一边对角，求其他边和角。

4.当堂检测，及时反馈

设计意图：

检测本节课的掌握程度，培养同学们堂堂清，日日清的好习惯！

5.总结反思提高认识

师：

本节课你学到了什么，从知识和思想方法两个方面总结

学情分析：

学生可能会说到正弦定理，解三角形；教师适时引导同学们想想关于正弦定理的证明，用正弦定理可以测出达不到的两点间的距离

设计意图：

（1）再次回顾正弦定理及其应用

（2）感受这堂课所涉及的数学思想方法

6.分层作业自主探究

1必做题：

课本P5：

练习1、2；

2选做题：

正弦定理

中，请研究常数与外接圆半径之间关系。

3开放式作业：

将正弦定理的其它证明方法写成论文。

设计意图：

针对学生的学习水平层次进行分类，目的是让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心,真正体现“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”。

7.板书设计

1、定理：

2、证明方法：

§1.1.1正弦定理（第1课时）

例1：

例2：

总结：

小结：

（一）知识：

（二）方法：

8.教学反思

本课采用探究发现式教学方法，以问题为教学出发点，设计问题情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学方法的融入和渗透。

整个教学设计中，特别注重以下几个方面：

（1）重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，训练他们从特殊到一般，归纳总结的学习方法。

（2）注重将正弦定理的学习和生活实例结合起来，让学生感受带数学源于生活。

（3）开放课堂，注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。

评测练习

1、一个三角形的内角分别为

和

，如果

角所对的边长是4，则角

所对的边长为________；

2

中，sinA:

sinB:

sinC=5:

7:

8,a+b+c=100,则

，

3、已知的外接圆半径是1，则

___________；

4、在

中，

解三角。

效果分析

本课采用探究发现式教学方法，以问题为教学出发点，设计问题情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学方法的融入和渗透。

正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法。

本节的重点正弦定理的应用，已知两边及其中一边的对角求其他元素，已知两角和一边求其他元素；对于正弦定理解决的两类问题，我设计了两个例题两个变式训练，起到了预期效果，能很好的突破此重点，在课堂测试中能很好的体现。

作为教师只有真正树立以学生的发展为本的教学理念，才能尊重学生思维过程的发生、发展，才能从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，才能为学生提供充分的数学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人。

观评记录

一、本节自评

本课采用探究发现式教学方法，以问题为教学出发点，设计问题情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学方法的融入和渗透。

整个教学设计中，特别注重以下几个方面：

（1）重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，训练他们从特殊到一般，归纳总结的学习方法。

（2）注重将正弦定理的学习和生活实例结合起来，让学生感受带数学源于生活。

（3）开放课堂，注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。

二、听课老师评价

1、王秀青：

主要优缺点分析：

本节课符合“课程标准”的规定和学生的实际情况，能创造性的整合教材，目标明确，要求具体，坚持启发式教学等多种教学方法，注重对学生的评价，使每个学生有不同程度的收获，体验到学习成功的快乐，学生有积极的情感反应，课堂氛围良好，教学目标达成度高。

2、崔希荣：

优点：

课上利用有效、实用的教学手段，增强了课堂的感染力，在提高学生学习兴趣方面起到很好的作用；教学设计体现学生的主体作用，让学生有感而发，突出所学知识的鲜活性；恰当地创设情境，充分体现本节课的教育作用；板书设计简明扼要，让学生对本节课重要知识点一目了然。

不足：

对问题的设定的层次性如果更有梯度，教学效果会更好。

3、李令祥：

教师能关注学生情感态度价值观的形成，注重培养学生的思维能力，学生有积极的情感反应，有不同程度的收获，注意从学生生活实际和社会现实生活中科学合理地选取教育资源，充分体现高中数学课应有的教育价值；教学内容与时俱进，充分体现高中数学课的时代特点。

能创造性地使用教科书，在教学策略、方法、手段上有独到之处，有较为鲜明的教师个性和教学风格。

教师的语言表达再抑扬顿挫些、再充满激情一点，定能使整堂课更有感染力和亲和力，教学目标达成度会更高。

4、康书奇：

课堂注重学生思维能力的培养，坚持启发式教学，教学手段灵活多样，课堂辩论环节开放性强，收放有度，教师对学生进行正确的价值引导，点评准确到位。

学生能积极参与教学活动，教学目标达成度高。

建议采取更为灵活有效的课堂活动培养学生的创新思维。

能大胆地整合教材，创造性开发和运用联系学生所学内容，以学生活动引领课堂，注重对学生的及时点评和引导；关注学生的生活经验，创设教学情境，能触动学生的心灵；设计有思维价值的问题，注重培养学生的思维能力。

如果教师的情绪再饱满些，更好地融入到课堂教学中，课堂气氛会更热烈，教学效果会更好。

课后反思

《正弦定理》这一节内容，在备课中有两个问题需要精心设计，一个是问题的引入，一个是定理的证明。

课本通过一个实际问题引入，但没有深入展开下去；对正弦定理的证明是利用三角形的直角三角形为特例，从特殊到一般导出的，但不够自然。

为了处理好这两个问题，我首先确定了一个基本原则，就是充分利用课本素材，从学生的“最近发展区”入手进行设计。

具体的思路就是从解决边角关系之间的数量关系入手展开，将问题一般化导出三角形中的边角关系——正弦定理。

1、本节课虽然在我的引导下，完成了教学任务，但是一味地为了完成任务而忽略了对学生正确思维的展开和引导。

上好一堂课不仅有好的教学设计，还应有灵活应变的能力，只有从思想上真正转变为以学生的发展为根本，才不会为了进度而将学生强拉进自己事先设计好的轨道。

正是教学有法，又无定法。

然而，在以后的教学中要做到课堂灵活多变是需要很多的经验的积累，所以在以后的课堂上要多注意这一点。

2、问题是思维的起点，是学生主动探索的动力。

本节课通过对三角形边角关系的数量之间的联系的解决、展开，引导学生在问题解决中发现结论。

符合认识问题的思维规律，对激发学生探究问题兴趣是非常有益的。

3、正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，从学生的“最近发展区”入手去设计问题，思路自然，是学生们易于接受的一种证明方法。

但在具体的推导时，要注意尊重学生思维的发展的过程，这是一种理念，也是一种能力。

在教学设计和课堂教学中应充分了解学生、研究学生，备课不仅是备知识，更重要的是备学生。

作为教师只有真正树立以学生的发展为本的教学理念，才能尊重学生思维过程的发生、发展，才能从学生的生活经验和已有知识背景出发，创设合理的教学情境，才能为学生提供充分的数学活动和交流的机会，使学生从单纯的知识接受者转变为数学学习的主人。