心理与教育统计学课件(张厚粲版)差异量数.ppt

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第四章差异量数,差异量数是表示量数之间的差异程度的一些统计量的总称。

差异量数包括：

绝对差异量数、相对差异量数和相对位置量数。

第一节绝对差异量数,全距全距的意义：

全距的计算：

3.全距的优缺点优点：

计算简便缺点：

易受极端值的影响全距只是一种低效的差异量数，一般情况下主要用于对数据作预备性检查，了解数据的大概散布范围，以便确定如何进行统计分组。

百分位差,百分位数：

又叫百分位点。

它是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比。

第P百分位数就是指在其值为P的数据以下，包括分布中全部数据的百分之p，其符号为2.百分位数的计算3.百分位差,四分位差,四分位数与四分差四分位数：

将一组数据按大小顺序排列或编制成次数分布表后，若把总频数分成相等的四部分，四部分数据的分界点称为四分点或四分位，四分点所在位置的量数则称为四分位数。

用Q表示。

四分差：

四分位差,四分差的计算量数已分组归类求四分差：

表4-1已分组归类量数求四分差,平均差,意义：

计算：

未归类量数求AD：

可用定义式。

已归类量数求AD,表4-3已分组归类求平均差,3.平均差的优缺点优点：

平均差是根据全部数值计算的，受极端值影响较全距小。

缺点：

由于采取绝对值的方法消除离差的正负号，应用较少。

平均差,二、方差与标准差,方差与标准差的意义方差:

标准差：

标准差的计算,基本公式：

原始量数求标准差的公式：

由次数分布表求标准差：

由简单次数分布表求S：

由次数分布表求标准差：

由分组次数分布表求S：

证明：

表4-7运用假定平均数求标准差,总标准差的合成,例：

在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。

例：

求总标准差,解:

求总平均数:

求,填入表内第5、6、7列。

代入公式：

1.性质方差是对一组数据中各种变异的总和的测量，具有可加性和可分解性。

统计实践中常利用方差的可加性去分解和确定属于不同来源的变异性（如组内、组间等），并进一步说明各种变异对总结果的影响，是以后统计推论中最常用的统计特征数。

方差与标准差的性质和意义

（1）,1.性质标准差是一组数据方差的平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性。

每一个观测值都加上一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。

每一个观测值都乘以一个相同的常数C，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数。

以上两点相结合，每一个观测值都乘以同一个常数C（C0），再加上一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。

方差与标准差的性质和意义

（2）,2.方差与标准差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。

其值越大，说明次数分布的离散程度越大，该组数据较分散；其值越小，说明次数分布的数据比较集中，离散程度越小。

标准差具备一个良好的差异量数应具备的条件：

反应灵敏；计算公式严密确定；容易计算；适合代数运算；受抽样变动影响小；简单明了。

标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性。

方差与标准差的性质和意义（3）,切比雪夫定理,第二节相对差异量数,一、差异系数意义：

又称变异系数、相对标准差等，用CV来表示。

用公式表示为：

标准差系数的适用条件,两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测的特质不同；两个或两个以上样本使用的是同一种观测工具，所测的特质相同，但样本间的水平相差较大。

标准差系数的应用,例10：

已知某小学一年级学生的平均体重为24.5千克,体重的标准差为3.6千克;平均身高为110厘米,标准差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大？

例11：

某市2个月组女童的体重的平均数为5.45千克,标准差为0.62千克;6岁组女童的平均体重为19.02千克,标准差为2.12千克。

试比较两组女童体重的离散情况。

应用标准差系数的注意事项,测量的数据要保证具有等距尺度，这时计算的平均数和标准差才有意义，应用差异系数进行比较才有意义。

观测工具应具备绝对零，这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。

因此，差异系数常用于重量、长度、时间、编制得好的测验量表范围内。

差异系数只能用于一般的相对差异量的描述，至今尚无有效的假设检验方法，因此差异系数不能进行统计推论。

第三节相对位置量数,一、百分等级定义:

是将一个数列中的量数,按大小顺序排列,将其次数分为100等份,从而表明某一量数在此百分等级中所处的位置。

求百分等级的方法:

图示法（见教材P83页）,求百分等级的方法,公式法由原始量数求百分等级:

（有两种算法）先将原始量数按其大小顺序排列,并记上各量数的次数;把各原始量数的次数自上而下累加;根据以下公式,确定百分等级:

式中,PR是百分等级,N是总次数,R是某量数在团体中处于由大到小的名次（即最大数等级为1）。

求百分等级的方法,公式法由原始量数求百分等级:

（有两种算法）先将原始量数按其小大顺序排列,并记上各量数的次数;把各原始量数的次数自下而上累加;根据以下公式,确定百分等级:

式中,PR和N与上式的含义相同,cf是某量数以下各量数的次数之和。

求百分等级的方法,公式法:

由次数分布表求百分等级式中,PR是百分等级，X是给定量数，f是该分数所在组的次数，i是组距，Lb是该分数所在组的精确下限，Fb是小于L的自下而上累加次数，N是总次数。

表4-12由次数分布表求百分等级,第三节相对位置量数,二、标准分数标准分数的定义定义:

原始量数与其平均数的差数,除以标准差所得的商,称之为标准分数。

又称为Z分数。

用公式表示：

标准分数是以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。

标准分数从分数对平均数的相对地位、该组分数的离中趋势两个方面来表示原始分数的地位。

标准分数的求法,第三节相对位置量数,二、标准分数标准分数的性质Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量。

一组原始分数转换得到的Z分数可以是正值，也可以是负值。

所有原始分数的Z分数之和为0，Z分数的平均数也为0,即一组数据的标准分数的标准差为1,即。

若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数值服从均值为0，标准差为1的标准正态分布。

标准分数转换的意义,把原始分数转换成Z分数，就是把单位不等距的和缺乏明确参照点的分数转换成以标准差为单位，以平均数为参照点的分数。

因为在一个分布中，标准差所表示的距离是相等的，以标准差为单位就使单位等距了。

以平均数为参照点，也就是以0为参照点，因为等于平均数的原始分数转换成标准分数后，其值为0.原始分数转换成Z分数，就是转换为以1为标准差，以0为参照点（平均值）的分数，从而可以明确各个原始分数的相对地位，并且分数间也有了相互比较的基础。

正因为它以1（1个标准差）为单位，以0为参照点，故名标准分数。

标准分数的应用,1.比较几个性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低例：

测验一个班级的数学成绩，平均数为80分，标准差为8分；又测验了该班的语文成绩，平均数为70分，标准差为5分。

甲生在数学测验中得81分，在语文测验中得78分，问该生哪一学科的成绩在班上比较优？

解：

标准分数的应用,2.计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置例16在招生考试时，有甲、乙两考生的各科成绩如下表4-14，如果这两个考生只录取一个，应录取哪位考生？

表4-14标准分数在计算总成绩中的应用,标准分数的应用,3.表示标准测验分数,标准分数的应用,4.异常值的取舍在一个正态分布中，平均数上下一定的标准差处，包含有确定百分数的数据个数。

根据这个原理，整理数据时，常采用三个标准差法取舍数据，即如果数据值落在平均数加减三个标准差之外，则在整理数据时，可将此数据作为异常值舍弃。

以上时指数据较多的情况。

标准分数的应用,4.异常值的取舍如果数据个数较少，则可依据下表所列的标准差数的一半（全距与标准差比率一半）乘以标准差，然后再求与平均数的和、差，并以这两个值为界取舍数据。

表4-15全距与标准差的比率随N变化表,N510152040501002004005007001000,2.33.13.53.74.34.55.05.55.96.16.36.5,高考标准分制度简介,标准分制度的意义标准分制度建立的方法和步骤常模量表分数的建立学科常模量表分数的转换步骤:

将全体考生的学科原始分数从大到小排序；求出每一个分数的百分等级Pi；由Pi查正态分布表，找出大于Pi的最小值所对应的正态分数Zi；按量表平均分为500，标准差为100进行线性变换，即代入下列公式：

常模量表分数的建立,综合分常模量表分数的转换步骤:

将各科的常模量表分数按一定的权重合成总分;再按照中的转换步骤进行转换，从而得到平均分为500，标准差为100的综合分常模量表分数。

第四节差异量数的选用,良好差异量数应具备的条件:

反应灵敏。

代表性强。

含义简明。

较为可靠，不易受两极量数的影响。

适合于代数运算。

各种绝对差异量数的比较：

各种绝对差异量数的关系：

在正态分布或微偏态的单峰分布中，各种绝对差异量数间的关系为：