[答案] A
[高考真题体验]
1.(高考山东卷)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:
选D.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.
2.(高考天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C.令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.
3.(高考四川卷)设p:
实数x,y满足x>1且y>1,q:
实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.当x>1且y>1时,x+y>2,即p⇒q所以充分性成立;
令x=-1,y=4,则x+y>2,但x<1,即q
p所以必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A.
4.(高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选C.a2n-1+a2n=a2n-1(1+q)=a1q2n-2(1+q)<0⇔q<-1⇒q<0,故必要性成立;而q<0⇒/q<-1,故充分性不成立.故选C.
5.(高考四川卷)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足
则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.如图,命题p表示圆心为(1,1),半径为
的圆及其内部,命题q表示的是图中的阴影区域,所以p
q,q⇒p.故选A.
6.(高考山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
课时规范训练
A组 基础演练
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
解析:
选B.依题意得,原命题的逆命题:
若一个数的平方是正数,则它是负数.
2.与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是( )
A.若a,b,c成等比数列,则b2≠ac
B.若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac
C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列
解析:
选D.因为原命题与其逆否命题是等价的,所以与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.
3.若集合A={x|2<x<3},B={x|(x+2)(x-a)<0},则“a=1”是“A∩B=∅”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.当a=1时,B={x|-2<x<1},满足A∩B=∅;反之,若A∩B=∅,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=∅”的充分不必要条件.
4.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
解析:
选A.A中逆命题为“若x>|y|,则x>y”是真命题;
B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;
C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;
D中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.
5.已知条件p:
x≤1,条件q:
<1,则綈p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.由x>1得
<1;反过来,由
<1不能得知x>1,即綈p是q的充分不必要条件,选A.
6.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2
C.1D.0
解析:
选C.原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;
它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,
则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
7.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2B.m=2
C.m=-1D.m=1
解析:
选A.已知函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.
所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
8.有四个关于三角函数的命题:
p1:
sinx=siny⇒x+y=π或x=y;
p2:
∀x∈R,sin2
+cos2
=1;
p3:
x,y∈R,cos(x-y)=cosx-cosy;
p4:
∀x∈
,
=cosx.
其中真命题是( )
A.p1,p3B.p2,p3
C.p1,p4D.p2,p4
解析:
选D.对于命题p1,若sinx=siny,则x+y=π+2kπ,k∈Z或者x=y+2kπ,k∈Z,所以命题p1是假命题.对于命题p2,由同角三角函数基本关系知命题p2是真命题.对于命题p3,由两角差的余弦公式可知cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny,所以命题p3是假命题.对于命题p4,由余弦的倍角公式cos2x=2cos2x-1得
=
=
,又因为x∈
,
所以cosx≥0,所以
=cosx,所以命题p4是真命题.综上,选D.
9.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是________.
解析:
找出命题的条件和结论,将命题的条件与结论互换,“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,故命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=-b”.
答案:
若|a|=|b|,则a=-b
10.给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
解析:
①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积不相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.
答案:
①③
B组 能力突破
1.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线;q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析:
选A.两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.
2.已知向量a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.当m=-3时,a=(9,-9),b=(1,-1),则a=9b,所以a∥b,即“m=-3”⇒“a∥b”;
当a∥b时,m2=9,得m=±3,
所以不能推得m=-3,即“m=-3”
“a∥b”.
故“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件.
3.函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:
f′(x0)=0;q:
x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析:
选C.由于q⇒p,则p是q的必要条件;而p
q,如f(x)=x3在x=0处f′(0)=0,而x=0不是极值点,故选C.
4.已知p:
x>1或x<-3,q:
x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)D.(-∞,-3]
解析:
选A.法一:
设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a},因为q是p的充分不必要条件,所以QP,因此a≥1,故选A.
法二:
令a=-3,则q:
x>-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B,C,D,选A.
5.设条件p:
实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;条件q:
实数x满足x2+2x-8>0,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
解析:
本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法.由x2-4ax+3a2<0得3a<x<a,由x2+2x-8>0得x<-4或x>2,因为q是p的必要不充分条件,则
所以a≤-4.
答案:
(-∞,-4]
6.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.
解析:
由x2>1,得x<-1,或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
答案:
-1