数学建模液体的浓稀度课程设计.docx

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数学建模液体的浓稀度课程设计

《数学模型》课程设计

液体的浓度稀释

院（系）名称信息工程学院

专业班级09普本信计1班

学号*********

学生姓名许秀成

指导教师王爱苹

2011年06月12日

数学模型课程设计评阅书

题目

液体的浓度稀释

学生姓名

许秀成

学号

090111006

指导教师评语及成绩

指导教师签名：

年月日

答辩评语及成绩

答辩教师签名：

年月日

教研室意见

总成绩：

教研室主任签名：

年月日

课程设计任务书

2010—2011学年第二学期

专业班级：

09普本信计1班学号*********姓名：

许秀成

课程设计名称：

数学模型

设计题目：

.液体的浓度稀释

完成期限：

自2011年06月6日至2011年06月12日共1周

设计依据、要求及主要内容：

一、设计目的

在当今经济飞速发展的社会，一些高科技术逐渐进入人民的生活中.其中数学的应用更为广泛，数学建模就是数学应用中的一个很好的例子，人们已逐渐认识到数学建模教育对大学生培养的重要性和所起的作用.而构建数学模型的过程，要求我们把复杂的实际问题抽象为简单的合理的数学结构，下面我们以液体的浓度稀释为例来体验数学建模的应用.

二、设计要求

1．要运用数学方法解决实际问题，先将这个实际问题转化为一个相应的数学问题.

2．利用一定的工具建立微分方程模型，求出方程的解来说明实际现象.

3．要清楚明了地表达出课程设计的内容和相应的结果.

三、参考文献

[1]戴朝寿,孙世良.数学建模简明教程[M].北京:

高等教育出版社,2007.

[2].叶其孝.中学数学建模[M]..长沙:

.湖南教育出版社,1998

[3]汪雷，宋向东.线性代数及其应用[M].北京:

.高等教育出版社,2001

计划答辩时间：

2011年06月21日

工作任务与工作量要求：

查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字。

指导教师（签字）：

教研室主任（签字）：

批准日期：

年月日

液体的浓度稀释

摘要

数学技术已经成为高技术的一个极为重要的组成部分和思想库.在此我们应用数学建模来解决液体浓度的稀释问题，主要是盐水的稀释,通过这个例子的运用让我们更好的体验数学建模在生活中应用的重要性.

关键词：

微分方程，盐的变化，数学模型

1数学模型的背景

众所周知，人类已经进入了以计算机、网络、数码、光纤、多媒体为主要标志的信息时代。

定量化和数字化技术得到了迅速发展和应用，特别是数学的应用越来越广泛，数学的应用正在向一切领域渗透。

复旦大学李大潜教授指出：

“数学技术已成为高技术的一个极为重要的组成部分和思想库”，“高技术本质上是一种数学技术”。

运用数学方法解决实际问题，必须设法在数学与实际问题之间架设一座桥梁，这座桥梁就是数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型。

2数学建模的现实意义

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学，它一直是和各种各样的应用问题紧密相关联的。

英国著名哲学家培根说过“数学是科学的大门和钥匙”，应用数学方法解决实际问题，不论这个问题是来自工程，经济，金融还是社会，生命科学领域，都必须设法在数学与实际问题间架设一座桥梁，首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题，其次对它进行分析与运算，最后将所求得的解答回归现实，看能否有效的回答原有的实际问题。

数学建模是数学走向应用的必经之路，在应用数学学科中占有重要的地位，特别是在当今社会中。

17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了近代数学最重要的成果之一—微积分，并以微积分为工具推导了著名的力学定律——万有引力定律。

这一成就是科学史上成功地建立数学模型的范例。

马克思曾说过：

“一门科学只有成功地动用数学时，才算达到了完善的地步”。

可以认为数学在各门科学中被应用的水平，计算机技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的领域。

一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节。

3模型建立的整个过程

3.1课题描述

在甲乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均未装满），其浓度均为5g/L.现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶,搅拌均匀,同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（量筒容积足够大，在稀释过程中均不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输出.问时刻t乙桶的盐水浓度是多少?

3.2模型建立与求解

设y1（t）和y2（t）分别表示t时刻甲乙两桶内盐的数量.先分析甲桶:

任取一段时间[

]，则该时段甲桶内盐的改变量为

两边同除以

，并令

得初值问题

（1）

这就是甲桶中盐含量的数学模型.对

（1）式分离变量并积分,可得

它表示甲桶内盐的变化,显然甲桶中盐水在稀释.

现分析乙桶:

同理在任意时段[

]内乙桶内盐的改变量为

两边同除以

并令

得初值问题

这就是乙桶中盐含量的数学模型

将

代入上式并整理得

求解此一阶线性微分方程得

所以任意时刻t，乙桶内盐水的浓度为

（g/L）

4模型应用

微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技，工程，经济，军事，生态，社会等各个领域有着广泛应用。

我们建立的减肥模型就是利用微分方程，通过微分方程的解来分析问题和现象，因此，如何对实际问题建立起微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题。

此类数学模型可以推广应用到很多领域，如求物体达到的最大高度，液体的浓度稀释问题，凶杀作案时间的推断问题，运动轨迹问题，人口问题等方面。

有些看似很复杂的问题在正确应用数学模型的情况下可以得到很好的解释和解答。

通过对模型的分析和假设会使我们对此题有个清晰的认识。

5总结

课程设计的过程虽然有点枯燥无味，但让我体会到了老师在每次上课前为我们做好课件的辛苦，在此真挚的说声：

老师，您辛苦了！

这次课程设计我主要是应用以前学习的数学建模的一些知识，来完成这次课程设计的。

建立的模型比较简单，这就降低了一些难度。

这次课程设计让我把以前学习到的知识得到巩固和进一步的提高认识，对已有知识有了更进一步的理解和认识，我在课程设计中碰到了很多的问题，我通过查阅相关书籍，资料，通过自己钻研，特别是得到了王老师的谆谆教导，王老师给予了我很大的帮助，不仅给了我思路上的开阔，还让我认识到了自己对以前所学知识的不足方面。

计算机的发展也进一步的加快了模型这一方面的发展。

以前很多的模型需要人们用手来求解，有些模型相当的麻烦。

但近些年来计算机的到了突飞猛进的发展，这就减轻了人们的负担，使得模型的求解相当的简单。

数学模型的应用范围也进一步的扩大。

其实数学模型不仅在生产中，就连我们的现实生活中也到处都可以用到的。

当然，通过这次课程设计，我也发现了自身的很多不足之处，在以后的学习中，我会不断的完善自我，不断进取，能使自己在数学建模这方面有一个大的发展。

参考文献

[1]戴朝寿,孙世良.数学建模简明教程[M].北京:

高等教育出版社,2007.

[2].叶其孝.中学数学建模[M]..长沙:

.湖南教育出版社,1998

[3]汪雷，宋向东.线性代数及其应用[M].北京:

.高等教育出版社,2001