北京市海淀区学年第二学期高二年级期中练习数学文.docx
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北京市海淀区学年第二学期高二年级期中练习数学文
海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（文科）2018.4
学校班级姓名成绩
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一、选择题：
本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列复数中，与的乘积为实数的是
A.B.C.D.
2.已知函数，则下面各式中正确的是
A.B.
C.D.
3.函数，在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是
A.B.C.D.的大小无法确定
4.用反证法证命题“若果平面平面，且直线与平面相交，那么直线与平面相交”时，提出的假设应该是
A.假设直线平面B.假设直线平面与有公共点
C.假设直线与平面不相交D.假设直线在平面内
5.有这5名同学围成一圈，从起按逆时针方向依次循环报数，规定：
第一次报的数为1，第一次报的数为3.此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数的乘积的个位数字，如此继续下去.则第10次报的数应该为
A.2B.4C.6D.8
6.已知曲线：
①②③④.上述四条曲线中，满足：
“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是
A.1B.2C.3D.4
7.函数的部分图像可能是
8.函数，，其中为常数.则下面结论中错误的是
A.当函数只有一个零点时，函数也只有一个零点
B.当函数有两个不同的极值点时，一定有两个不同的零点
C.，使得函数的零点也是函数的零点
D.，使得函数的极值点也是函数的极值点
二、填空题：
本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
9.复数在复平面上对应的点位于第象限，且.
10.曲线在点处的切线与平行，则.
11.函数在上单调，则的取值范围是.
12.不等式的解集为.
13.计算，，请你根据上面的计算结果，猜想.
函数在区间上存在极值，则的取值范围是
14．已知函数和点，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则直线的斜率等于.
三、解答题：
本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题12分）
如图，曲边三角形中，线段是直线的一部分，曲线段是抛物线的一部分.矩形的顶点分别在线段，曲线段和轴上.设点，记矩形的面积为.
（Ⅰ）求函数的解析式并指明定义域；
（Ⅱ）求函数的最大值.
16．（本小题10分）
在各项均为正数的数列中，且.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）求证：
当时，.
解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容。
证明：
要证时，
只需证，
只需证
只需证
只需证，
根据均值定理，
所以原命题成立.
17.（本小题12分）
已知曲线在点处的切线为，其中.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求证：
直线和曲线一定有两个不同的公共点.
18.（本小题10分）
已知函数，其中常数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果函数没有零点，求实数的取值范围.
海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（文科）
参考答案及评分标准2018.4
一.选择题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
A
C
D
B
C
D
二.填空题.
9.四，10.11.
12.13.14.
说明：
9题，每个空2分，
11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分
13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分
三.解答题.
15.解:
（I）令，
解得（舍）…………………2分
因为点
所以，…………………4分
其定义域为…………………5分
（II）因为…………………7分
令，得，（舍）…………………8分
所以的变化情况如下表
0
极大
…………………10分
因为是在上的唯一的一个极大值，
所以在时，取得最大值.…………………12分
16.证明：
（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
解得，…………………2分
同理解得.…………………4分
（Ⅱ）
证明：
要证时，，
只需证，…………………6分
只需证，…………………8分
只需证,
只需证,…………………10分
根据均值定理，
所以原命题成立.
说明：
上面的空，答案不唯一,请老师具体情况具体分析
17.解：
（I）因为…………………1分
所以直线的斜率…………………2分所以直线的方程为…………………3分
化简得到…………………4分
（Ⅱ）法一：
把曲线和直线的方程联立得
所以…………………5分
所以
令…………………6分
所以，
令，得到得，…………………7分
所以的变化情况如下表
0
0
极大
极小
…………………8分
因为时，，而
所以在上有一个零点）…………………9分
而时，，所以在上只有一个零点
又在上没有零点，…………………10分
所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.
法二：
把曲线和直线的方程联立得
所以…………………5分
所以
令…………………6分
所以…………………8分
令，得到，…………………9分
所以只有两个不同的零点，
即直线和曲线有两个不同的公共点.…………………10分
18.解：
（Ⅰ）因为，其中…………………1分
当时，对成立
所以函数的单调递增区间为…………………3分
当时，令，，（舍）
则的变化情况如下表
0
极小
所以函数单调递减区间为，
单调递增区间为…………………5分
（Ⅱ）法一：
由（Ⅰ）知，当时，函数是单调递增函数，
而注意到，
但是当时，
所以函数在区间上存在零点，矛盾…………………7分
当时，由（Ⅰ）知道，在处取得唯一一个极小值
从而在处取得最小值
当，即，即时，函数没有零点，
当时，即时，显然不合题意，
当时，因为当时，
从而在区间上存在零点，矛盾
综上，实数的取值范围是．…………………10分
法二：
函数没有零点，等价于方程无解
显然不是零点，所以等价于无解…………………7分
设
则，…………………8分
令，则
则的变化情况如下表
0
无定义
极小
所以函数在处取得极小值，
而当时，
当且时，
当且时，
当时，
综上，实数的取值范围是．…………………10分
说明：
解答题有其它正确解法的请酌情给分.
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