课堂新坐标高考数学文科山东专版二轮复习限时集训18 不等式与线性规划含答案解析.docx
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课堂新坐标高考数学文科山东专版二轮复习限时集训18不等式与线性规划含答案解析
专题限时集训（十八） 不等式与线性规划
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、基本不等式
1．（2016·日照一模）已知a＞0，b＞0，a＋b＝
＋
，则
＋
的最小值为（ ）
A．4 B.2
C．8D.16
B [由a＋b＝
＋
，有ab＝1，
则
＋
≥2
＝2
.]
2．（2016·长沙一模）若实数a，b满足
＋
＝
，则ab的最小值为（ ）
A.
B.2
C．2
D.4
C [依题意知a＞0，b＞0，则
＋
≥2
＝
，当且仅当
＝
，即b＝2a时，“＝”成立，因为
＋
＝
，所以
≥
，即ab≥2
，所以ab的最小值为2
，故选C.]
3．（2016·东营一模）若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________.
【导学号：
73552077】
2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2
＝2
，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.]
4．（2016·江苏高考）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．
8 [在锐角三角形ABC中，∵sinA＝2sinBsinC，
∴sin（B＋C）＝2sinBsinC，
∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，等号两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2tanBtan
C.
∴tanA＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝
＝
.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tanBtanC－1>0，∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC＝
.
又由tanBtanC>1得
>1，
∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC＝
＝
＝（tanA－2）＋
＋4≥2
＋4＝8，当且仅当tanA－2＝
，即tanA＝4时取得等号．
故tanAtanBtanC的最小值为8.]
二、线性规划问题
5．（2016·山东高考）若变量x，y满足
则x2＋y2的最大值是（ ）
A．4B.9
C．10D.12
C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由
得A（3，－1），由图易得（x2＋y2）max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10.故选C.]
6．（2016·浙江高考）若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组
求得A（1,2），联立方程组
求得B（2,1），可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为
＝
，故选B.]
7．（2016·北京高考）已知A（2,5），B（4,1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（ ）
A．－1 B.3
C.7 D.8
C [作出线段AB，如图所示．作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B（4,1）时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.]
8．（2016·全国丙卷）设x，y满足约束条件
则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－
x＋
＋
过点A（－1，－1）时，z取得最小值，即zmin＝2×（－1）＋3×（－1）－5＝－10.]
9．（2016·全国乙卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216000 [设生产A产品x件，B产品y件，则
目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分（包括边界）内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60,100），（0,200），（0,0），（90,0）．
当直线z＝2100x＋900y经过点（60,100）时，z取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．]
10．（2015·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件
则
的最大值为________．
3 [画出可行域如图阴影所示，∵
表示过点（x，y）与原点（0,0）的直线的斜率，
∴点（x，y）在点A处时
最大．
由
得
∴A（1,3）．
∴
的最大值为3.]
[B组 “10＋5”模拟题提速练]
一、选择题
1．（2016·德州一模）已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ）
【导学号：
73552078】
A．a2＜b2B.
＜1
C．a＜1－bD.
＜
C [因为a＜b＜0，所以a2＞b2，
＞1，
＞
，a＋b＜1.
因此A，B，D不正确，C正确．]
2．（2016·长春一模）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为
，则f（ex）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜－1或x＞－ln3}
B．{x|－1＜x＜－ln3}
C．{x|x＞－ln3}
D．{x|x＜－ln3}
D [f（x）＞0的解集为
，
则由f（ex）＞0得－1＜ex＜
，
解得x＜－ln3，即f（ex）＞0的解集为{x|x＜－ln3}．]
3．（2016·武汉联考）已知g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝
若f（2－x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）∪（2，＋∞）
B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C．（1,2）
D．（－2,1）
D [设x＞0，则－x＜0，所以g（－x）＝－ln（1＋x），因为g（x）是R上的奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝ln（1＋x），所以f（x）＝
易知f（x）是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.]
4．（2016·重庆一模）若log4（3a＋4b）＝log2
，则a＋b的最小值是（ ）
A．6＋2
B.7＋2
C．6＋4
D.7＋4
D [由log4（3a＋4b）＝log2
，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝
，由a＞0，得b＞3.
∴a＋b＝b＋
＝b＋
＝（b－3）＋
＋7≥2
＋7＝4
＋7，即a＋b的最小值为7＋4
.]
5．（2016·烟台二模）已知x，y满足线性约束条件
则目标函数z＝
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
A [由约束条件
作出可行域如图，
B（0,4），P（－1，－2），
由图可知，过PB的直线的斜率大于0且最大，
即kPB＝
＝6，
∴目标函数z＝
的最小值为
＝
，故选A.]
6．（2016·临沂模拟）若x，y满足约束条件
则z＝3x＋5y的取值范围是（ ）
A．[3，＋∞）B.[－8,3]
C．（－∞，9]D.[－8,9]
D [作出可行域，如图所示的阴影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－
x＋
z，
z表示直线y＝－
x＋
z在y轴上的截距，截距越大，z越大，
由图可知，当z＝3x＋5y经过点A时z最小；当z＝3x＋5y经过点B时z最大，由
可得B（3,0），此时zmax＝9，由
可得A（－1，－1），此时zmin＝－8，
所以z＝3x＋5y的取值范围是[－8,9]．]
7．（2016·贵阳模拟）若变量x，y满足约束条件
则（x－2）2＋y2的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.5
D [作出不等式组对应的平面区域如图，
设z＝（x－2）2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2,0）的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．
由
得
即C（0,1），
此时zmin＝（x－2）2＋y2＝4＋1＝5，故选D.]
8．（2016·石家庄模拟）已知x，y满足约束条件
若目标函数z＝y－mx（m＞0）的最大值为1，则m的值是（ ）
【导学号：
73552079】
A．－
B.1
C．2D.5
B [作出可行域，如图所示的阴影部分．
∵m＞0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由
解得
即A（1,2），∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]
9．（2016·江西师大附中模拟）若关于x，y的不等式组
表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为（ ）
A．1或
B.
或
C．1或
D.
或
D [可行域由三条直线x＝0，x＋y＝0，kx－y＋1＝0所围成，因为x＝0与x＋y＝0的夹角为
，所以x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为
或x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为
.当x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为
时，可知k＝1，此时等腰三角形的直角边长为
，面积为
；当x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为
时，k＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为
，所以选D.]
10．（2016·泰安模拟）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当
取得最小值时，x＋2y－z的最大值是（ ）
A．0 B.
C.2 D.
C [
＝
＝
－3＋
≥2
－3＝1，当且仅当
＝
，即x＝2y时等号成立．
此时z＝x2－3xy＋4y2＝（2y）2－3·2y·y＋4y2＝2y2.
∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2（y－1）2＋2，
∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2，故选C.]
二、填空题
11．（2016·烟台一模）不等式
＜0的解集为________．
∪
[原不等式可化为
·
＞0，其解集为
∪
.]
12．（2016·青岛模拟）定义运算“⊗”：
x⊗y＝
（x，y∈R，xy≠0），当x＞0，y＞0时，x⊗y＋（2y）⊗x的最小值为________.
【导学号：
73552080】
[当x＞0，y＞0时，x⊗y＋（2y）⊗x＝
＋
＝
≥
＝
.所以所求的最小值为
.]
13．（2016·张掖一模）设不等式组
表示的平面区域为M，若直线l：
y＝k（x＋2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．
[作出不等式组对应的平面区域，如图所示．
直线y＝k（x＋2）过定点D（－2,0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，
当经过点B时，直线斜率最小，
由
解得
即A（1,3），此时k＝
＝
＝1，
由
解得
即B（1,1），此时k＝
＝
，
故k的取值范围是
.]
14．（2016·廊坊一模）已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则
＋
的最小值为________．
－
[因为正数a，b，c满足b＋c≥a，
所以
＋
≥
＋
＝
＋
－
＝
＋
－
≥
－
.
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