届高中数学苏教版 数列求和及综合应用 单元测试1 Word版 含答案.docx

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届高中数学苏教版数列求和及综合应用单元测试1Word版含答案

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考点25数列求和及综合应用

一、选择题

1.（2016·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

，cn＋1＝

，则（）

A、{Sn}为递减数列

B、{Sn}为递增数列

C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

【解析】选B.因为

，

，

，所以

，

，注意到

，所以

.

于是

中，边长

为定值，另两边的长度之和为

为定值.

因为

，

所以

，当

时，有

，即

，于是

的边

的高

随

增大而增大，于是其面积

为递增数列.

二、填空题

2.（2016·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列

的前

项和

，则

的通项公式是

_________

【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.

【解析】由

，解得

，又

，所以

，得

，所以数列

是首项为1，公比为

的等比数列.故数列的通项公式

【答案】

3.（2016·湖南高考理科·Ｔ15）

设

为数列

的前n项和，

则

（1）

_____；

（2）

___________.

【解题指南】

（1）令

，

代入即可得到答案.

（2）通过

整理可发现当当

为偶数时有

，于是代入第

（2）问的展开式即可得到答案.

【解析】

（1）因为

，所以

，

①，

，即

②，把②代入①得

.

（2）因为当

时，

，整理得

，所以，当

为偶数时，

，

当

为奇数时，

，所以

，

所以

，所以当

为偶数时，

，

所以

.

【答案】

（1）

（2）

4.（2016·重庆高考理科·Ｔ12）已知

是等差数列，

，公差

，

为其前

项和，若

、

、

成等比数列，则

【解题指南】先根据

、

、

成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出

.

【解析】因为

、

、

成等1比数列,

所以

化简得

因为

所以

故

【答案】

三、解答题

5.（2016·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数

（

）若

；

（

）设数列

【解析】（

）

，

令

，即

，解得

或

若

，则

时，

，所以

.

若

，则

时，

，

，所以

.

综上

的最小值为

.

（

）令

，由（

）知，

时，

.

即

.

取

，则

.

于是

.

所以

6.（2016·浙江高考文科·T19）在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.

（1）求d,an.

（2）若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解题指南】

（1）由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.

（2）由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.

【解析】

（1）由题意得,5a3·a1=（2a2+2）2,

d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.

（2）设数列{an}前n项和为Sn,

因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则

n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-

n2+

n;

n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-（Sn-S11）=-Sn+2S11=

n2-

n+110.

综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=

7.（2016·重庆高考文科·Ｔ16）设数列

满足：

，

，

．

（Ⅰ）求

的通项公式及前

项和

；

（Ⅱ）已知

是等差数列，

为前

项和，且

，

，求

．

【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前

项和,再利用题目中所给条件求解

.

【解析】（Ⅰ）由题设知

是首项为

公比为

的等比数列,所以

（Ⅱ）

所以公差

，

故

.

8.（2016·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f（an）,n∈N*.

（1）若a1=-c-2,求a2及a3.

（2）求证:

对任意n∈N*,an+1-an≥c.

（3）是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?

若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.

【解析】

（1）a2=2,a3=c+10.

（2）f（x）=

当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.

当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c;

当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2（-c-4）-c-8=c;

所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.

（3）由

（2）,结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列,

又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,

从而an+1=f（an）=an+c+8,

由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8.

①若a1<-c-4,则a2=f（a1）=-a1-c-8,

又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,

即a1=-c-8,从而a2=0,

当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f（an）=an+c+8,

而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求.

②若-c-4≤a1<-c,则a2=f（a1）=3a1+3c+8,

又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.

③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8,

从而{an}为无穷等差数列,符合要求.

综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞）.

9.（2016·上海高考文科·T22）已知函数

，无穷数列

满足an+1=f（an）,n∈N*

（1）若a1=0，求a2，a3，a4；

（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.

（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？

若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.

【解析】

（1）a2=2,a3=0,a4=2.

（2）a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.

①当0

所以

=（2-a1）2,得a1=1.

②当a1>2时,a3=2-（a1-2）=4-a1,

所以a1（4-a1）=（2-a1）2,

得a1=2-

（舍去）或a1=2+

.

综合①②得a1=1或a1=2+

.

（3）假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||.

由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|（*）.

以下分情况讨论:

①当a1>2时,由（*）得a1=0,与a1>2矛盾;

②当0

从而an=1（n=1,2,…）,

所以{an}是一个等差数列;

③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=（a1+2）-a1=2>0,

因此存在m≥2使得am=a1+2（m-1）>2.

此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.

综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,…,构成等差数列.

10.（2016·江苏高考数学科·Ｔ19）设

是首项为

，公差为

的等差数列

，

是其前

项和。

记

，

，其中

为实数。

（1）若

，且

成等比数列，证明：

（

）；

（2）若

是等差数列，证明：

。

【解题指南】利用条件

，且

成等比数列，求出

，再代入证明

（2）利用条件

是等差数列建立与c有关方程。

【证明】由题设知,Sn=na+

d.

（1）若

，得

.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以

即：

，化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.

因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.

从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=（nk）2a=n2k2a=n2Sk.

（2）设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+（n-1）d1,n∈N*,

代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有

+（b1-d1-a+

d）n2+cd1n=c（d1-b1）.

令A=d1-

d,B=b1-d1-a+

d,D=c（d1-b1）,则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.　（*）

在（*）式中分别取n=1,2,3,4,得

A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,

从而有

由

（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程

（1）,得B=0,从而cd1=0.

即d1-

d=0,b1-d1-a+

d=0,cd1=0.

若d1=0,则由d1-

d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.

又因为cd1=0,所以c=0.

11.（2016·湖南高考文科·Ｔ19）设

为数列{

}的前项和，已知

，2

，

N

（Ⅰ）求

，

，并求数列｛

｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列｛

｝的前

项和。

【解题指南】（Ⅰ）本题是利用递推关系

求数列的通项公式；（Ⅱ）根据第（Ⅰ）问可知应利用错位相减法求数列前n项和.

【解析】（Ⅰ）令

，得

，因为

，所以

，

令

，得

，解得

。

当

时，由

，两式相减，整理得

，于是数列

是首项为1，公比为2的等比数列，所以，

。

（Ⅱ）由（

）知

，记其前

项和为

，于是

①

②

1-②得

从而

12.（2016·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{an}的前n项和Sn满足：

（1）求数列{an}的通项公式an.

（2）令

，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：

对于任意

，都有

.

【解题指南】

（1）由题目中的等式求出

，然后由

求an；

（2）化简

，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.

【解析】

（1）由

得

由于

是正项数列，所以

.于是，当

时，

=

又因为

符合上式.综上，数列

的通项公式为

.

（2）因为

，

，所以

.

则

.

13.（2016·江西高考文科·Ｔ16）正项数列｛an｝满足

.

（1）求数列｛an｝的通项公式an；

（2）令bn=

，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求

，分析｛bn｝通项公式的特点选择正确的求和方法.

【解析】

（1）由

，得

.由于｛an｝是正项数列，所以

.

（2）由

，bn=

，则

所以

.

14.（2016·福建高考文科·T17）已知等差数列

的公差d=1,