中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练.docx

中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练.docx

《中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练

方法技巧专题（六）　中点联想训练

【方法解读】1.与中点有关的定理:

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

（2）等腰三角形“三线合一”的性质.（3）三角形的中位线定理.（4）垂径定理及其推论.

2.与中点有关的辅助线:

（1）构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.

（2）延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.（3）把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.

1.[2018·南充]如图F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为（　　）

图F6-1

A.B.1C.D.

2.[2017·株洲]如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是（　　）

图F6-2

A.一定不是平行四边形

B.一定不会是中心对称图形

C.可能是轴对称图形

D.当AC=BD时,它为矩形

3.[2018·荆门]如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（　　）

图F6-3

A.πB.πC.1D.2

4.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是（　　）

图F6-4

A.2.5B.C.D.2

5.[2018·眉山]如图F6-5,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:

①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有（　　）

图F6-5

A.1个B.2个

C.3个D.4个

6.[2018·苏州]如图F6-6,在△ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧）,且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为　　　　. 

图F6-6

7.[2018·天津]如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为　　　　. 

图F6-7

8.[2018·哈尔滨]如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为　　　　. 

图F6-8

9.[2018·德阳]如图F6-9,点D为△ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,△ADC为正三角形,给出下列结论,①CB=2CE,②tanB=,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+的最小值是3.其中正确的结论是　　　　（填写正确结论的序号）. 

图F6-9

10.[2017·徐州]如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.

（1）求证:

四边形BECD是平行四边形;

（2）若∠A=50°,则当∠BOD=　　　　°时,四边形BECD是矩形. 

图F6-10

11.[2017·成都]如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.

（1）求证:

DH是☉O的切线;

（2）若A为EH的中点,求的值;

（3）若EA=EF=1,求☉O的半径.

图F6-11

12.[2018·淄博]

（1）操作发现:

如图F6-12①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:

线段GM与GN的数量关系是　　　　;位置关系是　　　　. 

（2）类比思考:

如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?

请说明理由.

（3）深入探究:

如图③,小明在

（2）的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.

图F6-12

参考答案

1.B　[解析]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=AB,∴CD=×4=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=×2=1.故选B.

2.C　

3.C　[解析]如图,连结OM,CM,OC.

∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=PQ.

∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=PQ,∴OM=CM,

∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.

∵当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,

∴点M所经过的路线长为AB=1.故选C.

4.B

5.D　[解析]如图①,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确.

如图②,延长EF,BC相交于点G.易得△DEF≌△CGF,

∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故②正确.

如图②,由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,∴S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确.

如图②,设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,

又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.

∵CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,∴CF=CB,

∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确.故选D.

6.4　[解析]解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质.

取AB的中点M,连结ME,则ME∥BC,ME=BC.

∵EF∥CD,∴M,E,F三点共线,

∵EF=2CD,CD=BC,∴MF=BD,

∴四边形MBDF是平行四边形,

∴DF=BM=AB=×8=4.

7.　[解析]如图,连结DE.

∵D,E分别为AB,BC的中点,

∴DE∥AC,DE=AC=2,EC=2.

∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,

∴△DEG为直角三角形.

在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=.

∵G为EF的中点,∴EG=.

在Rt△DEG中,DE=2,EG=,

由勾股定理,得DG==.

故答案为.

8.4　[解析]如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EF∥AD,易证△BEC是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=,tan∠NBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.

9.①③④　[解析]由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.

∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.

在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正确;

∵∠B=30°,∴tanB=,故②错误;

在正△ACD中,CE是△ACD的中线,

∴∠ECD=∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正确;

如题图,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,+=MN2.∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°,

∴四边形MPNC为矩形,∴MN=CP.

要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小.

在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,

∴CE=AC·cos30°=,则CE2=3,

∴+的最小值为3,故④正确.

故正确的有①③④.

10.解:

（1）证明:

∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC,

∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.

∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,

∴△EBO≌△DCO（AAS）,∴EO=DO,

∴四边形BECD是平行四边形.

（2）100°　提示:

若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.

∵∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.

11.解:

（1）证明:

连结OD,如图.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

又∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.

∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,

∴DH是☉O的切线.

（2）∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,

∴△EDC是等腰三角形.

又∵DH⊥AC,点A是EH中点,

∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x.

连结AD,∵AB为☉O的直径,

∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.

又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,

∴OD是△ABC的中位线,

∴OD∥AC,OD=AC=x,∴∠E=∠ODF.

在△AEF和△ODF中,

∴△AEF∽△ODF,∴=,

∵==,∴=.

（3）设☉O的半径为r,即OD=OB=r.

∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.

又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,

∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,

∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,

∴BD=CD=DE=r+1.

∵∠BDE=∠EAB,

∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,

∴BF=BD=1+r,

∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-（1+r）=r-1.

在△BFD与△EFA中,

∴△BFD∽△EFA,

∴=,

∴=,

解得r1=,r2=（舍去）.

∴☉O的半径为.

12.[解析]

（1）通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;

（2）连结BE,CD,可得△ACD≌△AEB,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;

（3）连结BE,CD,仿照

（2）依然可得相同的结论.

解:

（1）操作发现:

线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GM⊥GN.

（2）类比思考:

上述结论仍然成立.

理由如下:

如图①,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.

①

∵点M,G分别是BD,BC的中点,

∴MG∥CD,MG=CD.

同理可得NG∥BE,NG=BE.

∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.

又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,

∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.

∵∠AEB+∠AFE=90°,

∴∠OFC+∠ACD=90°,

∴∠FOC=90°,

易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.

（3）深入探究:

△GMN是等腰直角三角形.

证明如下:

如图②,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.

②

∵点M,G分别是BD,BC的中点,

∴MG∥CD,MG=CD.

同理NG∥BE,NG=BE.

∵∠DAB=∠EAC,

∴∠DAC=∠BAE.

又∵AD=AB,AC=AE,

∴△ADC≌△ABE,

∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.

∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,

∴∠MHC+（45°+∠ACD）=180°,

∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,

∴∠MHC+45°+（45°+∠CEB）=180°,

∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,

∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,

∴△GNM是等腰直角三角形.