中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练.docx

1、中考数学复习题方法技巧专题6中点联想训练方法技巧专题(六)中点联想训练【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.2018南充 如图F6-1,在RtABC中,ACB=90,A=30,D,E,F分别为AB,

2、AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为()图F6-1A. B.1 C. D.2.2017株洲 如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是()图F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形3.2018荆门 如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQOP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为 ()图F6-3A. B. C.1 D.24.如图F6-4,在正方形AB

3、CD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是 ()图F6-4A.2.5 B. C. D.25.2018眉山 如图F6-5,在ABCD中,CD=2AD,BEAD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:ABC=2ABF;EF=BF;S四边形DEBC=2SEFB;CFE=3DEF.其中正确的结论有 ()图F6-5A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.2018苏州 如图F6-6,在ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EFCD(点F位于点E右侧),且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为.图F6-67.2018天津

4、 如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为.图F6-78.2018哈尔滨 如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,CEF=45,EMBC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为.图F6-89.2018德阳 如图F6-9,点D为ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,ADC为正三角形,给出下列结论,CB=2CE,tanB=,ECD=DCB,若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+

5、的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910.2017徐州 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A=50,则当BOD=时,四边形BECD是矩形.图F6-1011.2017成都 如图F6-11,在ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DHAC于点H,连结DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是O的切线;(2)若A为EH的中点,求的值;(3)若EA=EF=1,求O的半径.图F6-1112.2018淄

6、博 (1)操作发现:如图F6-12,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中ABAC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案

7、1.B解析 在RtABC中,ACB=90,A=30,BC=2,AB=4,CD=AB,CD=4=2.E,F分别为AC,AD的中点,EF=CD=2=1.故选B.2.C3.C解析 如图,连结OM,CM,OC.OQOP,且M是PQ的中点,OM=PQ.ABC是等腰直角三角形,ACB=90,CM=PQ,OM=CM,OCM是等腰三角形,M在OC的垂直平分线上.当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,点M所经过的路线长为AB=1.故选C.4.B5.D解析 如图,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证ADFMCF,AF=MF,AD=MC.又AD=BC,DC=AB=2AD,AB=

8、BM,ABC=2ABF,故正确.如图,延长EF,BC相交于点G.易得DEFCGF,FE=FG.BEAD,ADBC,EBG=90.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故正确.如图,由于BF是BEG的中线,SBEG=2SBEF,而SBEG=S四边形DEBC,S四边形DEBC=2SEFB,故正确.如图,设DEF=x,ADBC,DEF=G=x,又FG=FB,G=FBG=x,EFB=2x.CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,CF=CB,CFB=CBF=x,CFE=CFB+BFE=x+2x=3x=3DEF,故正确.故选D.6.4解析 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位

9、线和平行四边形的判定和性质.取AB的中点M,连结ME,则MEBC,ME=BC.EFCD,M,E,F三点共线,EF=2CD,CD=BC,MF=BD,四边形MBDF是平行四边形,DF=BM=AB=8=4.7.解析 如图,连结DE.D,E分别为AB,BC的中点,DEAC,DE=AC=2,EC=2.EFAC,DEEF,DEG为直角三角形.在RtEFC中,EC=2,C=60,EF=.G为EF的中点,EG=.在RtDEG中,DE=2,EG=,由勾股定理,得DG=.故答案为.8.4解析 如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EFAD,易证BEC是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得E

10、FNMBN,可得到BN=FN=,tanNBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.9.解析 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.ACD是正三角形,CDA=60,CEAD,B=DCB=30.在RtBCE中,B=30,CB=2CE,故正确;B=30,tanB=,故错误;在正ACD中,CE是ACD的中线,ECD=ACD=30,ECD=DCB,故正确;如题图,PM=d1,PN=d2.在RtMPN中,+=MN2.ACB=CMP=CNP=90,四边形MPNC为矩形,MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CPAB时,即P与E重合时,+最小.在RtACE中,AC=2,ACE=30,CE=ACc

11、os30=,则CE2=3,+的最小值为3,故正确.故正确的有.10.解:(1)证明:平行四边形ABCD,AEDC,EBO=DCO,BEO=CDO.点O是边BC的中点,BO=CO,EBODCO(AAS),EO=DO,四边形BECD是平行四边形.(2)100提示:若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BDAE,又AD=BC,AD=DE.A=50,根据等腰三角形的性质,可知ADB=EDB=40,BOD=180-ADE=100.11.解:(1)证明:连结OD,如图.OB=OD,OBD=ODB.又AB=AC,ABC=ACB,ODB=ACB,ODAC.DHAC,DHOD,DH是O的切线.(2)E=B,B=

12、C,E=C,EDC是等腰三角形.又DHAC,点A是EH中点,设AE=x,则EC=4x,AC=3x.连结AD,AB为O的直径,ADB=90,即ADBD.又ABC是等腰三角形,D是BC的中点,OD是ABC的中位线,ODAC,OD=AC=x,E=ODF.在AEF和ODF中,AEFODF,=,=,=.(3)设O的半径为r,即OD=OB=r.EF=EA,EFA=EAF.又ODEC,FOD=EAF,FOD=EFA=OFD,DF=OD=r,DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1.BDE=EAB,BFD=EFA=EAB=BDE,BF=BD=1+r,AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=

13、r-1.在BFD与EFA中,BFDEFA,=,=,解得r1=,r2=(舍去).O的半径为.12.解析 (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结BE,CD,可得ACDAEB,从而得DCBE,DC=BE,利用中位线得GMCD且等于CD的一半,GNBE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;(3)连结BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GMGN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.点M,G分别是BD,BC的中点,MGCD,MG=CD.同理可得NGBE

14、,NG=BE.DAB=EAC,DAC=BAE.又AD=AB,AC=AE,ADCABE,AEB=ACD,DC=BE,GM=GN.AEB+AFE=90,OFC+ACD=90,FOC=90,易得MGN=90,GMGN.(3)深入探究:GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.点M,G分别是BD,BC的中点,MGCD,MG=CD.同理NGBE,NG=BE.DAB=EAC,DAC=BAE.又AD=AB,AC=AE,ADCABE,AEB=ACD,DC=BE,GM=GN.GMCD,MHC+HCD=180,MHC+(45+ACD)=180,MHC+45+AEB=180,MHC+45+(45+CEB)=180,MHC+CEB=90,GNH+GHN=90,NGM=90,即GMGN,GNM是等腰直角三角形.