考研数学讲座知识点精妙讲解受益总结.docx
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考研数学讲座知识点精妙讲解受益总结
考研数学讲座
（1）考好数学的基点
“木桶原理”已经广为人所知晓。
但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。
实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。
数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。
形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。
而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。
不过，《概率》不是第一层次基础课程。
学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。
更不会从概念出发分析解决问题。
基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。
这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。
教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。
这正好击中考生的软肋。
在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。
”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。
而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。
你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。
文献浩如烟海，知识千锤百炼。
非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。
方法十分经典，概念非常重要。
学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。
当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是---”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？
基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好，抓好基础正当时。
考研数学讲座
（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。
”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。
考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。
动笔的时间很少。
数学书不比小说。
看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。
求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。
你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件，我首先能得到什么？
”（分析法）；
或“要证明这个结论，就是要证明什么？
”（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。
下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样？
”
写成“连续A+不连续B=？
”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。
（穷尽法）。
如果，“连续A+不连续B=连续C”移项，则“连续C－连续A=不连续B”
这与定理矛盾。
所以有结论：
连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。
能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。
比如，
题面上有已知条件f′
（1）＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时，lim（f（1+h）－f
（1））/h＞0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。
而写不出的人就抓瞎了。
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠0，要是移项写成
（A－λE）α=0，α≠0，
这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。
望山跑死马。
思考一步写一步，观测分析迈下步。
路只能一步步走。
陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。
求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。
好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。
对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。
掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。
在限定的考试时间内作某年研考的全巻。
中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。
看看成绩多少。
不要以为你已经看过这些试卷了。
就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。
考研数学讲座（3）极限概念要体验
给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。
在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。
首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。
研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。
很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。
第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。
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那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。
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平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。
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极限概念是微积分的起点。
说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。
”
近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。
”
国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x0；一类是x→∞，
“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？
”
如果是，则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；
回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，
x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
x→0+时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。
x→∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。
在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。
函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。
在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。
）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。
这就是高阶，低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。
没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。
但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。
这就是
“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，）总有f（x）＞0”
*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”
这是已知函数的极限而回头观察。
逆向思维总是更加困难。
不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，）函数的绝对值恒小于1
若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，（你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，）函数的绝对值全大于1
*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1
（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1）
没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。
你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。
考研数学讲座（4）“存在”与否全面看
定义，是数学的基本游戏规则。
所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。
讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。
1．海涅定理
观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。
因而最直观的等价条件就是海涅定理：
定理
（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的“充分性”没有实用价值。
事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。
很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。
即唯一性定理：
“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。
”
唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。
2．用左右极限来描述的等价条件
用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：
定理
（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。
考研数学年年考连续定义，导数定义。
本质上就是考查极限存在性。
这是因为
函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。
函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。
考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。
考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
（3）突出极限值的等价条件
考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：
定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。
从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于
：
函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0
如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：
f（x）=A+α（无穷小）
考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。
“存在”与否全面看。
有利于我们理解前述等价条件。
我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。
例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。
分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。
所以
x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（0－0）=0，
x从右侧趋于0时，函数趋向+∞，由定理
（2），函数不存在极限。
也不能说，x趋于0时，exp（1/x）是无穷大。
但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0
例2x趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。
俗称震荡不存在。
分析用海涅定理证明其等价问题，“x趋于+∞时，sinx不存在极限。
”
分别取x=nπ及x=2nπ两个数列，n趋于+∞时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理
（1））。
故sinx不存在极限。
（构造法！
）
例3x趋于∞时，函数y=arctgx不存在极限。
分析把∞视为一个虚拟点，用定理
（2）。
由三角函数知识得，
x趋于+∞时，函数极限为π/2，x趋于－∞时，函数极限为－π/2，
故，函数y=arctgx不存在极限。
请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。
即
－∞方向有水平渐近线y=－π/2；+∞方向则有有y=π/2
例4当x→1时，函数f（x）=（exp（1/（x－1）））（x平方－1）∕（x－1）的极限
（A）等于2（B）等于0（C）为∞（D）不存在但不为∞
b]分析考查x→1时函数的极限，通常认为x不取1；而x≠1时，可以约去分母（x－1），让函数的表达式化为f（x）=（x+1）exp（1/（x－1））
左极限f（1－0）=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+∞，（选（D））
（画外音：
多爽啊。
这不过是“典型不存在1”的平移。
）
例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。
分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。
x=0是其定义分界点。
一看就知道必须分左右计算。
如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。
实际上
x→0-时，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1
x→0+时，exp（1/x）→+∞，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限
limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1
由定理
（2）得x→0时，limf（x）=1
例6曲线y=exp（1/x平方）arctg（（x平方+x+1）∕（x－1）（x+2））的渐近线共有
（A）1条．（B）2条。
（C）3条。
（D）4条。
选（B）
分析先观察x趋于∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。
即0，1和－2；对于每个零点x0，直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。
实际上有
x→∞时，limy=π/4，曲线有水平渐近线y=π/4
其中，x→∞时，limexp（1/x平方）=1；im（（x平方+x+1）∕（x－1）（x+2））=1（分子分母同除以“x平方”）
考查“嫌疑点”1和－2时，注意运用“典型不存在3”，
f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得x=－2不是曲线的竖直渐近线。
x→0时，前因式趋向+∞；后因式有极限arctg（－1/2），x=0是曲线的竖直渐近线。
啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。
看了上面几例，你有体会吗？
*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：
定理（4）夹逼定理——若在点x0邻近（或|x|充分大时）恒有g（x）≤f（x）≤h（x），且x→x0（或x→∞）时limg（x）=limh（x）=A则必有limf（x）=A
定理（5）单调有界的序列有极限。
（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。
）
加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。
共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。
考研数学讲座（5）无穷小与无穷大
微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。
1.概念
在某一过程中，函数f（x）的极限为0，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。
为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量，不是0；y=0视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。
不过这没啥意义。
依据极限定义，无穷大不存在极限。
但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。
为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。
（潜台词：
并不表示极限存在。
）比如
x从右侧趋于0时，limlnx=－∞；x从左侧趋于π/2时，limtgx=+∞
无穷大与无界变量是两个概念。
无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。
无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。
在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。
y=tgx（在x→π/2左側时）是无穷大。
在（0，π/2）内y=tgx是无界变量
x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。
不仿用高级语言来作个对比。
任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。
2.运算与比较
有限个无穷小量的线性组合是无穷小；“∞－∞”则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定：
有界变量•无穷小=无穷小无穷小•无穷小=（高阶）无穷小无穷大•无穷大=（高阶）无穷大
其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。
例10作数列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---
y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---
两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。
这表示可能会有无界•无界=有界
两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。
即“无穷小的比较”。
如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。
无穷大有类似的比较。
无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。
x趋于0时，α=xsin（1/x）和β=x都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。
两个无穷小不能比较。
这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数，我们看到
x趋于+∞时，y=x的μ次方，指数μ＞0的幂函数都是无穷大。
且习惯地称为μ阶无穷大。
（潜台词：
这多象汽车的1档，2档，---，啊。
）
x趋于+∞时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。
x趋于+∞或x趋于0+时，对数函数是无穷大。
x趋于∞时，sinx及cosx都没有极限。
正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
（1）x→+∞时，lim（x的n次方）∕exp（x）=0，这表明：
“x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。
”
或者说，“x趋于+∞时，函数exp（－x）是任意高阶的无穷小。
”
（2）x→+∞时，limlnx∕（x的δ次方）=0；δ是任意取定的一个很小的正数。
这表明：
“x趋于+∞时，对数函数lnx是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。
”
在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（－x）为“速降函数”。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。
它让我们更深刻地理解了基本初等函数。
如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。
例11函数f（x）=xsinx（A）当x→∞时为无穷大。
（B）在（－∞，+∞）内有界。
（C）在（－∞，+∞）内无界。
（D）在时有有限极限。
分析这和y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。
（选（C））
例12设有数列Xn，具体取值为
若n为奇数，Xn=（n平方+√n）∕n；若n为偶数，Xn=1∕n
则当n→∞时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量
分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。
用唯一性定理。
选（D））
请与“典型不存在1”对比。
本质相同。
例13已知数列Xn和Yn满足n→∞时，limXnYn=0，则
（A）若数列Xn发散，数列Yn必定也发散。
（B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。
（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。
（D）若变量1∕Xn为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小量。
分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。
例10给了我们一个很好的反例。
对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0
无穷小的倒数为无穷大。
故（D）中条件表明Xn为无穷大。
要保证limXnYn=0，Yn必须为无穷小量。
应选答案（D）。
考研数学讲座（6）微观分析始连续
微分学研究函数。
函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。
或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点，是先做微观分析
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