小学初中数学学习方法.docx

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小学初中数学学习方法

典型应用题

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。

（1）平均数问题：

平均数是等分除法的发展。

解题关键：

在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：

已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。

数量关系式：

数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：

已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：

是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：

（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数

；应用题，叫做和倍问题。

解题关键：

找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。

根

据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：

和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数

例:

汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：

大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18×5+7=97（辆）

（6）差倍问题：

已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：

两个数的差÷（倍数－1）=标准数标准数×倍数=另一个数。

（7）行程问题：

关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方

向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：

路程=速度和×时间。

同时相向而行：

相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：

追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：

路程=速度差×时间。

例甲在乙的后面28千米，两人同时同向而行，甲每小时行16千米，乙每小时行9千米，甲几小时追上乙？

分析：

甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追击路程），28千米里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。

列式28÷（16-9）=4

（小时）

（8）流水问题：

一般是研究船在“流水”中航行的问题。

它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。

它的特点主要是考虑水

（9）还原问题：

已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：

要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：

从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。

若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四个

班的人数相等，四个班原有学生多少人？

分析：

当四个班人数相等时，应为168÷4，以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上2

等于平均数。

四班原有人数列式为168÷4-2+3=43（人）

一班原有人数列式为168÷4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为168÷4-6+6=42（人）三班原有人数列式为168÷4-3+6=45（人

）。

（10）植树问题：

这类应用题是以“植树”为内容。

凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：

解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：

沿线段植树

棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷（棵树-1）总路程=株距×（棵树-1）

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。

后来全部改装，只埋了201根。

求改装后每相邻两根的间距。

分析：

本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。

列式为50×（301-1）÷（201-1）=75（米）

解题关键：

解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数

由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行：

2×2=4（千米）

所以，乙车行的路程是：

甲车行的路程是：

A、B两站间的距离是：

24+20=44（千米）

答略。

同普通客车相遇。

甲、乙两城间相距多少千米？

（适于六年级程度）

快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。

已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。

又已知两车相遇

时间，可以按“速度之和×相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。

普通客车已行驶

普通客车与快车速度之和是：

60+80=140（千米/小时）

两车相对而行的总路程是：

140×4=560（千米）

两车所行的总路程占全程的比率是：

甲、乙两城之间相距为：

综合算式：

答略。

2）求各行多少

例1两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。

相遇时甲、乙二人各走了多少千米？

（适于五年级程度）

解：

到甲、乙二人相遇时所用的时间是：

37.5÷（3.5+4）=5（小时）

甲行的路程是：

3.5×5=17.5（千米）

乙行的路程是：

4×5=20（千米）

答略。

例2甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。

相遇后他们又都走了1小时。

两人各走了多少千米？

（适于五年级程度）

解：

到甲、乙二人相遇所用的时间是：

40÷（4+6）=4（小时）

由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：

4+1=5（小时）

甲走的路程是：

4×5=20（千米）

乙走的路程是：

6×5=30（千米）

答略。

例3两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。

在相遇时第一列火车比第

二列火车多行了5.2千米。

到相遇时两列火车各行了多少千米？

（适于五年级程度）

解：

两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。

可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后

再分别求出所行的路程。

从出发到相遇所用时间是：

5.2÷（48.65-47.35）

=5.2÷1.3

=4（小时）

第一列火车行驶的路程是：

48.65×4=194.6（千米）

第二列火车行驶的路程是：

47.35×4=189.4（千米）

答略。

*例4东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。

第一列火车比第二列火车每小时快2千米。

相遇时这两列火车

各行了多少千米？

（适于五年级程度）

解：

两列火车的速度和是：

564÷6=94（千米/小时）

第一列火车每小时行：

（94+2）÷2=48（千米）

第二列火车每小时行：

48-2=46（千米）

相遇时，第一列火车行：

48×6=288（千米）

第二列火车行：

46×6=276（千米）

答略。

2.求相遇时间

例1两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小

时45千米。

两车开了几小时以后相遇？

（适于五年级程度）

解：

已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。

用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两

车相遇的时间。

500÷（55+45）

=500÷100

=5（小时）

答略。

例2两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市

答略。

例3在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。

据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。

我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌

人每小时前进5千米。

我军出发几小时后与敌人相遇？

（适于五年级程度）

解：

此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。

（62.75-11）÷（6.5+5）

=51.75÷11.5

=4.5（小时）

答：

我军出发4.5小时后与敌人相遇。

例4甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。

如果两列火车同时从两地相对

开出，经过几小时可以相遇？

（得数保留一位小数）（适于五年级程度）

解：

此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。

先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。

200÷（200÷5+200÷4）

=200÷（40+50）

=200÷90

≈2.2（小时）

答：

两车大约经过2.2小时相遇。

例5在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。

快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6

米。

从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？

（适于五年级程度）

解：

因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。

总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要

的时间。

（180+210）÷（9+6）

=390÷15

=26（秒）

答略。

3.求速度

例1甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。

快车每小时行60千米。

慢车每小时行多少千米？

（适于五年级

程度）

解：

先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：

550÷5-60

=110-60

=50（千米）

答略。

例2A、B两个城市相距380千米。

客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。

货车比客车每小时快5千米。

这两列车每小时各行多少

千米？

（适于五年级程度）

解：

客车每小时行：

（380÷4-5）÷2

=（95-5）÷2

=45（千米）

货车每小时行：

45+5=50（千米）

答略。

例3甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。

快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？

（

适于五年级程度）

解：

两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。

从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。

再用快车速度减去慢车的

速度，即得到题中所求。

50-（980÷10-50）

=50-（98-50）

=50-48

=2（千米）

答略。

例4甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。

已知快车与慢车的速度比是5∶4。

求快车和慢车每小

时各行多少千米？

（适于六年级程度）

两车的速度和是：

486÷6=81（千米/小时）

快车每小时行：

慢车每小时行：

答略。

例5两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。

一辆汽车每小时行37千米。

另一辆汽车每小时行多少千米？

（适于五年级程度）

解：

如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。

也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速

度之和。

从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。

答略。

例6甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。

甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。

乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。

乙骑自

行车每小时行多少千米？

（适于五年级程度）

解：

两人相遇时，甲共走：

0.8+2=2.8（小时）

甲走的路程是：

5×2.8=14（千米）

乙在2小时内行的路程是：

40-14=26（千米）

所以，乙每小时行：

26÷2=13（千米）

综合算式：

[40-5×（0.8+2）]÷2

=[40-5×2.8]÷2

=[40-14]÷2

=26÷2

=13（千米）

答略。

例7甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。

甲先出发，每小时步行5千米。

1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。

乙每小

时行驶多少千米？

（适于五年级程度）

解：

从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：

50-5-11=34（千米）

这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。

甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。

经过2小时两人相遇

。

乙每小时行多少千米？

”

由此可知，二人的速度和是：

34÷2=17（千米/小时）

乙每小时行驶的路程是：

17-5=12（千米）

综合算式：

（50-5-11）÷2-5

=34÷2-5

=17-5

=12（千米）

答略。

（二）追及问题

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。

由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。

他们同时向同一个方向前进。

甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的

速度骑自行车追赶甲。

几小时后乙能追上甲？

（适于高年级程度）

解：

求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：

10-5=5（千米）

再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8（小时）

综合算式：

9÷（10-5）

=9÷5

=1.8（小时）

答略。

*例2甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。

乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。

甲几小时才能追上乙？

（适于高年级程度）

解：

甲每小时行：

5×1.2=6（千米）

甲每小时能追上乙：

6-5=1（千米）

相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。

6÷1=6（小时）

答：

甲6小时才能追上乙。

*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。

甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙

？

（适于高年级程度）

解：

此题的运动路线是环形的。

求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也

就是追及的路程。

因此，甲追上乙的时间是：

400÷（350-250）

=400÷100

=4（分钟）

答略。

*例4在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的

速度追击敌人。

在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。

从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？

（适于高年级程度）

解：

敌我两军行进的速度差是：

8.5-5.5=3（千米/小时）

我军追上敌军用的时间是：

6÷3=2（小时）

从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：

2+0.5=2.5（小时）

综合算式：

60÷（8.5-5.5）+0.5

=6÷3+0.5

=2.5（小时）

答略。

*例5一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。

离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。

通讯员以每小时10千米

的速度回到驻地，取了地图立即返回。

通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？

（适于高年级程度）

解：

通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。

通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷2）千米

。

这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。

根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。

（3+3÷2）÷（10-5）

=4.5÷5

=0.9（小时）

答略。

（三）相离问题

相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。

解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。

例1哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。

几分钟后二人相距960米？

（适于四年级程

度）

解：

二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。

因此，得：

960÷（85+75）

=960÷160

=6（分钟）

答略。

例2甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。

甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。

8小时后，甲、乙二人相距多少千米？

（适于四

年级程度）

解：

先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。

（6+7）×8

=13×8

=104（千米）

答略。

*例3东、西两镇相距69千米。

张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。

已知张每小时比王多行1.5千米

。

二人每小时各行多少千米？

出发地距东镇有多少千米？

（适于高年级程度）

解：

由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷6）千米/小时。

张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。

从而可以分别求

出二人的速度。

张每小时行：

（69÷6+1.5）÷2

=（11.5+1.5）÷2

=13÷2

=6.5（千米）

王每小时行：

6.5-1.5=5（千米）

出发地距东镇的距离是：

6.5×6=39（千米）

答：

张每小时行6.5千米，王每小时行5千米；出发地到东镇的距离是39千米。