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建模答案

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2012年8月16日

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

就业招聘中双向选择问题的图论分析

摘要:

本文主要依托矩阵采用数学规划中的有关算法并结合图论思想解决在求职过程中，对满足应聘人员与招聘单位两组要求而做出的相应优化模型。

这样通过如此方式可以对社会整体人力资源进行最优化分配，既减少就业率低，又避免公司难招到合适的人才的有关现象。

关键词:

数学规划，图论，就业，人力资源。

1.引言

目前，大学生毕业人数逐年增多，但人力市场吸纳不能紧随其后。

因此大学生就业问题日益凸显出来，如今已引起了社会各方的广泛关注。

对应的主要方面有：

一方面，大量的大学生毕业后不能很快找到工作，实现就业；另一方面，用人单位也苦于不能招收到适合的人才。

这种现象的持续，严重影响到我国高等教育和国民经济的持续发展。

在对结业问题数学化后，通过一系列的数学方法，更合理的有依据的为就业中的人力资源分配做出有力的指导，解决就业与招聘的双向矛盾现象，促进社会的整个和谐。

2.问题分析

本文题目的主要目的就是针对应聘人员和招聘单位各自选择标准和各自整体条件进行整体上配对合理的最优化，显然本题是有关最优规划的问题模型。

就各个题目问题所问的，比如“配对成功率最高”,“配对的可能性最大”等，都是在相互满足对方要求并基于自身条件的前提下（也即彼此基础条件要满足对方要求至少2项），再从此基础上依据各题不同约束条件去考虑各自满意程度的最大化，并且也是基于此点而建立的相关满意程度优化模型的目标函数。

然而对借助建立的目标函数所放映的满意程度界定，可以借住均衡度和图论的思想简单明了的表达出来。

2.1问题一的分析：

分析可知,尽量满足双方要求情况下而使配对成功率高,说明求职方式是人员只能一对一的选，而单位可以一对多的招聘。

因此依据此条件为使配对率高，在单位可以多个招聘到优秀人员的前提下，人员对公司的选择权数比值相应较大，故从人员的角度去考虑彼此利益的最大化。

2.2问题二的分析：

求解一种25个用人单位和25位应聘者可同时配对的最佳方案，使得全部配对成功的可能性最大，显然是一对一关系的问题，亦是对问题一条件的进一步加强，要使全部配对成功的可能性最大，需要从全局的角度考虑，因此借用匈牙利算法求解类似分配、指派问题。

2.3问题三的分析：

双方各自都只有一次选择机会，且必须同时选中对方时才认为能够配对成功，要使得自己配对成功的可能性最大，显然必须依据上述数据基础和实际情况先从各自的心理上分析再综合分析以择取兼顾彼此的方案。

从用人单位心理出发，在选择求职者时首先考虑是哪些应聘者达标，其次，合标人中哪个选择自己的可能性最大；从应聘者心理出发，在选择单位时，首先考虑是哪些用人单位合标，其次，合标单位中哪个选择自己的可能性最大。

如此方可得到符合要求的方案。

2.4问题四的分析：

结合第三问的结果，只需针对对某些单位限制男女的要求在原基础上建立相应的约束条件即可，再用和第三问同样的筛选方法，选出数据即可。

2.5问题五的分析：

根据上述的做法可知，都是基于第一问所得出的数据模型，而在第一问中，先以公司出发，由每一个公司对总人数进行评价，一直到最后一个公司；再从应聘者的角度出发，分别考虑每个人对总的公司的评价，于是如果是N个应聘人员，M个公司，最终会得到一个NxM的矩阵，从而对原先算法没有本质性的影响。

3.模型假设

1在对各方满意程度的影响因素中，仅仅是相对应比较中符合相应选择条件或要求等级的条件或要求起决定性作用。

2符合相应等级配对条件的项数以及等级数通过简单的数字量化，并且总体相关数字和与相应满意程度是呈简单的线性关系。

4.符号说明

表一：

问题变量

矩阵X

用人单位的基本条件

矩阵Y

用人单位的要求条件

矩阵Z

应聘人员的基本条件

矩阵W

应聘人员的要求条件

矩阵Q

公司的要求条件与应聘者的基本条件的对比情况

矩阵R

应聘者的要求条件与公司的基本情况的对比情况

矩阵E

应聘者被公司考虑的情况

矩阵F

公司被应聘者考虑的情况

矩阵H1

各公司分别对各应聘者的考虑情况

矩阵H2

各应聘者分别对各公司的考虑情况

5.模型建立与求解

5.1均衡度

均衡度[2]是多个不相关因素变量（至少2个）对整体影响程度的比重的反应，依上述定义可知，当均衡度

=1时，均衡度则达到最好。

函数

是基于连续性质的变量的状态描述式，所以取相应的点状态量。

5.2图论

图论[3]是以图为研究对象。

图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

运用图论的思想，可以将想法思想简明的呈现出来。

运用图论的思想结合相应算法和定义是为了很明了的定义所谓的满意度。

结合图论思想建立的图形如下：

具体说明：

这是某一单位对某一人员的满意关系表。

相应路线终点坐标为（x，y），其中x表示该人员条件满足某一单位要求的项数，y表示该单位条件满足这一位人员要求的项数。

起点到终点的过程中满足一定要求:

步数的移动方向必须在x，y方向上交错进行每一步，且每一步沿x，y正方向所移动的步数不超过一步,往x方向所移动的一步表示某个人的5项基本条件中的一项条件满足某一单位的5项招聘要求中所对应的一项，若不满足则不移动；同理y也是。

那么可以从中得知：

要想达到配对的基本要求，终点坐标（x，y）必须满足x>1且y>1。

就均衡度而言借，此图可表示为终点与原点所连直线的斜率k，当k=1是均衡度最好，也即

=1。

当

>1时表示相对单位来说人员得到相应的优势，

<1时表示相对人员来说单位得到相应的优势。

为了表示满意程度，首先是根据

（x+y）进行首次筛选，其表示整体满意程度，也即配对成功率；考虑到相等的最大值较多，所以在就之前限定的范围内再求得

（

），此时的最大值等价于x与y的均衡度

，证明如下：

=x+y（

为定值）

xy=（

-y）y=

y-y2

易知当y=

/2，也即x=y时，有

（

）

此时x/y=1，说明此时的均衡度

也就说明在第一筛选条件下

值越大，其均衡度越好。

5.3各问题模型建立与求解

为方便分析，将原始数据预处理，

五个等级分别量化为

，从而对公司而言，我们记:

l=1,2…25

同样，对应聘者来说，我们记:

k=1,2…..25

考虑到对于双方都要至少满足两个条件，令

i=1,2…..625

m=1,2….625

分别将E,F构成25*25的方阵，即

H1=[E（1:

25,1）;E（26:

50,1）;……E（621:

625,1）]

H2=[F（1:

25,1）,F（26:

50,1）,……F（621:

625,1）]

求解得到25行25列的数据矩阵H，将矩阵中值为2的元素分别用其对应的二个匹配项数目乘积代替，对矩阵中值不为2的元素全部赋值为0，得到最终新矩阵

，结果如下：

5.3.1问题一：

结果分析：

列表表示人，一人只能选择一个公司，但公司可选择多人，详情如下：

应聘者

用人单位

P24

P18

P4，P22

P18，P24

P12，P22

应聘者

Q10

用人单位

P10，P18

P15，P23

P9，P16，P18，P23

P25

P11

应聘者

Q11

Q12

Q13

Q14

用人单位

P24

P4，P16，P24

P4，P22

P12，P15，P21，P24

应聘者

Q16

Q17

Q18

Q19

Q20

用人单位

P22

P4，P18,P22，P24,P25

P4，P6，P22

应聘者

Q21

Q22

Q23

Q24

Q25

用人单位

P12，P15

P10，P18,P24

P5，P24

P12，P18,P24

P8，P9，P12，P24，P25

5.3.2问题二：

其模型和求解基于问题一，条件限制为一人只能选一个公司，一个公司只能挑一人，属于典型的指派问题，要使得全部配对成功的可能性最大，即站在全局角度出发，目标函数为

其中

为0,1变量，当第I个公司和第J个人配对时，取值为1，否则取0。

借用匈牙利算法思想[1]解决此问题，得到的结果如下：

结果分析：

列标指示应聘者，行标指示公司，再次提取得到详情如下：

也就是说按照上图标的方式选择和匹配是符合题意的方案解。

5.3.3问题三：

该问题与问题二相似处但又有区别，问题三指明考虑使自己配对成功的可能性最大不同于问题二从全局出发，从个体出发再次将问题一已得结果深入分析如下：

首先从H矩阵中挑出最大的数20，确定其分别对应的I行J列，分析得知，第I个人选择第J个公司，并且第J个公司也选择第I个人，这样可以做到双方都想要的结果，于是敲定；再从H矩阵中挑出第二大的数16，同理分析…，最终提取得到的详情如下:

阶段一：

最大数20时

很显然，棕色线标度的可作为确定匹配对。

分析Q5，选择去P12，P22都是很好的选择，相对来说，P22的基本条件能全部达到自己的工作期望，而P12尚有一项达不到，从心理学角度来说，Q5会选择P22.同理分析Q6，Q13，Q21，得出结论：

Q6选择选择P10，P18都同等满足自己的期望，Q13选择P4，P22都同等满足自己的期望，Q21选择P12，P15都同等满足自己的期望，接下来从公司考虑，择优录取，得到结论是：

其中的粗线表示Q6会随机选择P10，P18;公司P10，P18也都想搏一搏争取Q6.

阶段二：

最大数16时

同样的，棕色线标度的可作为确定匹配对。

分析Q8，公司P9，P16，P23对其吸引程度相同；同样对于Q20，公司P4，P6一样具有吸引力，对于Q25，公司P8，P9，P25具有同样吸引力，接下来从公司考虑，择优录取，得到结论是：

图中粗线的含义与上类似

阶段三：

选取最大数为15时

从上图分析很容易得到这一阶段的结果图：

阶段四:

取最大数为12时

分析：

从P7角度出发，挑选出Q3，Q16，Q18中最优秀的。

从Q24出发，在P1和P20中挑出条件最好的，得到的结论是：

阶段五：

取最大数为10时，直接得到了Q22与P3配对

阶段六：

取最大数为9时

至此为止，剩下Q2，Q14，Q18，在公司P1看来，三者均只满足自己五个要求条件中的二个，所以可等同对待，亦即Q（2,14,18）均选择公司P1，而公司只需要从他们中随机挑选一个即可。

总结问题三：

图中黑线表示一一对应，理应成功配对，红色线表示公司或应聘者有多重选择的情况，按此选择方案最多能配对成功21对，最少15对。

5.3.4问题四：

在前三问的基础上加上性别限制，单位5和单位13只招聘男生，用人单位9和单位20只招聘女生，P5对应Q19（M），P13对应Q4（M）;P9对应Q8（M）,P20对应Q24（F）.

其中M代表男性，F代表女性，如此明显得出此种限制对P9必将影响，公司P9会调节做出相应决策，确保只挑选应聘者中的女性,可换挑Q9,.相对P14，P9对Q9号应聘者吸引力更大，Q9将换选P9.问题三结论变化，最多配对数增加1，变为22，最少配对数也增加1，变为16.

调整解果如下:

5.3.5问题五：

针对词方法是否可以退广到一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时？

答案是肯定的，由模型建立与求解中问题一的建模过程可知，I与M不需要一定相等，亦即不受限于应聘者的个数和用人单位的个数相等。

6模型的评价与推广

6.1模型的评价：

本文借用图论思想，使解题思路清晰明确，表达简洁，通俗易懂，对数据及其关系用图形的展显得直观。

本题数据组量不是很大，处理数据后得到的图形能给出直观解释，倘若数据量增加，这种方法的过程将相当繁琐，需要不断探究将方法系统化。

6.2模型的推广：

一者通过题目假设分析知，影响满意程度的项目因素仅就考虑了符合项的印象因素，没有再从符合项的基础上进一步考虑未满足项，因此可以参考此方向为解题思路再全面性的考虑；二者本模型也可适用于一般情况，可为解决类似双向选择的问题提供思路。

[参考文献]

[1]柳毅,佟明安.匈牙利算法在多目标分配中的应用[A].火力与指挥控,200227（04）.

[2]谷云东,赵峰.均衡度公理化定义的改进[A].模糊系统与数学,2008,22（03）.

[3]舒贤林,徐志才.图论基础及其应用[M].北京:

北京邮电学院出版社,1988.

附录

clc,clear

X=[53435

35452

23244

44544

15424

54354

45315

34435

43452

25542

51244

33454

45233

31245

44334

54432

42353

25543

44334

33344

42345

54354

35441

54435

34544

];

Y=[55435

45443

45144

45533

54314

45443

24534

35444

23445

55334

34532

44332

54544

13553

42345

44533

35544

44353

55414

44544

35424

44533

45414

53144

13545

];

Z=[55424

24453

43234

54414

54434

55354

43415

44435

43451

34532

54244

43253

45534

41135

43324

54532

54343

21543

44334

55343

44345

55354

35341

54415

34544

];

W=[44535

44543

44143

45433

53344

45542

24434

45431

32544

45234

54532

44432

54544

24542

32313

43543

34545

44333

55414

44553

35323

53545

45423

53343

13445

];%将数据预处理后得到的矩阵;

Q=zeros（25,5）;

R=zeros（25,5）;

T1=zeros（625,5）;

T2=zeros（625,5）;

E=zeros（625,1）;

F=zeros（625,1）;

H1=zeros（25,25）;

H2=zeros（25,25）;

H=zeros（25,25）;

fori=1:

form=1:

ifZ（i,1）>=Y（m,1）

Q（m,1）=1;

else

Q（m,1）=0;

end

ifZ（i,2）>=Y（m,2）

Q（m,2）=1;

else

Q（m,2）=0;

end

ifZ（i,3）>=Y（m,3）

Q（m,3）=1;

else

Q（m,3）=0;

end

ifZ（i,3）>=Y（m,3）

Q（m,3）=1;

else

Q（m,3）=0;

end

ifZ（i,4）>=Y（m,4）

Q（m,4）=1;

else

Q（m,4）=0;

end

ifZ（i,5）>=Y（m,5）

Q（m,5）=1;

else

Q（m,5）=0;

end

T1（（25*i-24）:

25*i,1:

5）=Q;

end

fori=1:

625

ifsum（T1（i,:

））>=2

E（i,1）=1;

else

E（i,1）=0;

end

fori=1:

25;

H1（1:

25,i）=E（（25*i-24）:

25*i,1）;

end

fori=1:

form=1:

ifX（i,1）>=W（m,1）

R（m,1）=1;

else

R（m,1）=0;

end

ifX（i,2）>=W（m,2）

R（m,2）=1;

else

R（m,2）=0;

end

ifX（i,3）>=W（m,3）

R（m,3）=1;

else

R（m,3）=0;

end

ifX（i,3）>=W（m,3）

R（m,3）=1;

else

R（m,3）=0;

end

ifX（i,4）>=W（m,4）

R（m,4）=1;

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