第二章第三节 有限与无限的问题.docx

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第二章第三节有限与无限的问题

第三节有限与无限的问题

教学目标

1.了解芝诺悖论的症结和意义

2.理解有限和无限的联系和区别

3.掌握潜无限和实无限的简史

教学重点

理解有限和无限的联系和区别

教学过程

一、引入

高等数学与初等数学的区别？

更加全面；

更加深刻；

更加细微；

更加本质；

更加理论化；

更加系统化；

…………

从研究“常量”发展到研究“变量”

从研究“有限”发展到研究“无限”

初等数学更多地在“有限”的领域里讨论，更多地以“有限”为手段和工具进行讨论；

高等数学则更多地在“无限”的领域里讨论，更多地以“无限”为手段和工具进行讨论。

二、新授

1.芝诺悖论

悖论：

从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。

悖论（paradox）具体是指：

由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。

那么命题B就是一个悖论。

例如：

“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；

但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。

再如：

“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。

1.外祖母悖论

我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。

我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。

而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。

而有了我，外祖母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾。

2.说谎者悖论——自指引发的悖论

“我正在说谎”

有克利特人中的一个本地中先知说：

“克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒”（《圣经·提多书》第一章）

3.“说谎者循环”

A说：

“下面是句谎话。

B说：

“上面是句真话。

”

（1）、芝诺悖论---由无限引出的

芝诺（前490？

—前430？

）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。

他企图证明该学派的学说：

“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。

于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。

这些悖论是从哲学角度提出的。

1）两分法

向着一个目的地运动的物体，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2如此类推，以至无穷，永远不能到达终点。

结论是：

无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。

2）阿基里斯（Achilles）悖论：

阿基里斯追不上乌龟。

3）飞矢不动悖论

一支飞行的箭是静止的：

由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。

4）“操场或游行队伍”

A、B两件物体以等速向相反方向运动。

从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。

由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。

因而一半的时间等于两倍的时间。

2.症结——“有限与无限”的矛盾

无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。

3.芝诺悖论的意义：

1）促进了严格、求证数学的发展

2）较早的“反证法”及“无限”的思想

3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：

空间和时间有没有最小的单位？

芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。

在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。

芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。

2、“有无限个房间”的旅馆

有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。

某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。

这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。

有一天开大会，所有房间都住满了。

后来来了一位客人，坚持要住房间。

旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：

“满了就是满了，非常对不起！

”。

正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：

“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。

于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房……依此类推。

最后1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。

1.“客满”后又来1位客人（“客满”？

）

1234┅k┅

↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1号房间。

第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。

老板的女儿再一次来解围，她说：

“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。

”

2.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人

1234┅k┅

↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇数号房间。

3.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人

1234┅k┅

↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

空出了一万个、又一万个的空房间。

全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。

4.该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？

“无穷大！

任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”----Hilbert（希尔伯特）

3、无限与有限的区别和联系

1.区别

1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。

当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。

1234567891011…n…

↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕

149162536496481100121…n2…

[该两集合：

有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。

这就形成悖论。

2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立

（1）实数加法的结合律

在“有限”的情况下，加法结合律

成立:

（a+b）+c=a+（b+c），

在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。

如

（2）有限级数一定有“和”。

√

是个确定的数

无穷级数一定有“和”。

×

则不是个确定的数。

称为该

级数“发散”。

反之称为“收敛”。

2.联系

在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。

1）数学归纳法通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。

2）极限通过有限的方法，描写无限的过程。

如：

；自然数N，都，使时，

。

3）无穷级数通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如

4）递推公式,n=2,3,…

3.数学中的无限在生活中的反映

1）大烟囱是圆的：

每一块砖都是直的。

（整体看又是圆的）

2）锉刀锉一个光滑零件：

每一锉锉下去都是直的

（许多刀合在一起的效果又是光滑的）

3）不规则图形的面积：

正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。

规则图形的面积→不规则图形的面积？

法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。

方格越小（格子的数目越多），所得面积越准。

法Ⅱ.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：

4、潜无限与实无限

1．潜无限与实无限简史

潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。

从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。

他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。

例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。

因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。

亚里士多德只承认潜无限，不承认直线是由点构成。

但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。

这就是实无限的观点。

康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。

所以康托当时的处境和待遇都不太好。

高斯反对实无限：

反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种说话的方式。

实无限、潜无限只是一个硬币的两个面

两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在现代数学中都是有用武之地。

微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限。

无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼近的过程，也是一个可供研究的实体。

Hilbert（希尔伯特）认为：

无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静的最大敌人。

由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。

有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。

来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。

1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。

康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。

“无穷集合”的本质

“无穷集合”中一定可以找到一个真子集，与全集一一对应。

如果一个集合中能够找到一个真子集，与全集一一对应，这个集合一定是“无穷集合”。

5关于无限的思考

（1）哲学对无限的兴趣

物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。

一个人的生命是有限的；一个人对

客观世界的认识是有限的。

（2）数学对无限的兴趣

数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。

在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。

一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。

如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。

[思]有无穷个房间的旅馆，客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？

答：

能。

法I.将所有旅游团的客人统一编号排成下表，按箭头进入1，2，3，4，5，…各号房间顺序入住，则所有人都有房间住。

一团：

1.1→1.21.31.4……

↙↙↙

二团：

2.12.22.32.4……

↙↙

三团：

3.13.23.33.4……

……………………………………

[思]：

构造一个“部分到整体的一一对应”：

从[0，1）→[0，+∞）。

答：

即

三、巩固练习

构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。

（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：

不能跑进9秒）