普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ文科数学全解全析.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ文科数学全解全析
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）文科数学全解全析
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．
（A）（B）（C）（D）
2．设全集，集合，，则
（A）（B）（C）（D）
3．若变量满足约束条件则的最大值为
（A）4（B）3（C）2（D）1
4．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
（A）（B）7（C）6（D）
5．的展开式中的系数为
（A）（B）（C）0（D）3
6．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．已知函数.若且，，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．已知、为双曲线C：
的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A．2B．4C．6D．8
9．正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
10．设则
（A）（B）（C）（D）
11．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
（A）（B）（C）（D）
12．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为
（A）（B）（C）（D）
13．已知为第三象限的角，，则．
二、填空题
14．不等式的解集是.
15．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.（用数字作答）
16．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为.
三、解答题
17．（本小题满分10分）（注意：
在试题卷上作答无效）
记等差数列的前的和为，设，且成等比数列，求.
18．（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
已知的内角A，B及其对边，满足，求内角．
19．（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
20．（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：
SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
21．（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若在上是增函数，求的取值范围．
22．（注意：
在试题卷上作答无效）
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：
点在直线上；
（Ⅱ）设，求的内切圆的方程.
参考答案
1．C
【解析】本试题主要考查三角函数的诱导公式及特殊角求值．
，故选C．
2．C
【解析】本试题主要考查集合的概念及集合的交集、补集运算．
．故选C．
3．B
【解析】本试题主要考查简单的线性规划问题．可行域是由构成的三角形，当目标函数过点B时有最大值3，故选B．
4．A
【解析】本试题主要考查等比数列的性质及指数幂的运算．由已知得，∵且，∴，∴，故选A．
5．A
【解析】本试题主要考查二项展开式的通项公式和指定项系数的求法，考查分类讨论的思想方法．项的系数是，故选A.
6．C
【详解】
本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．
7．C
【详解】
解：
因为函数，且由，（假设a8．B
【解析】
本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．
9．D
【详解】
试题分析：
因为∥，所以与平面所成角的余弦值等价于与平面所成角的余弦值．设正方体棱长为a，易知平面且设垂足为E，所以即为所求角．由已知可得DE=，从而，所以．故选D．
考点：
斜线与平面所成的角．
10．C
【解析】本试题主要考查指数、对数函数的运算性质、图像，利用指数、对数函数的单调性比较大小．，，而，∴，∴，故选C．
11．D
【解析】本试题主要考查圆的性质、向量的数量积，兼顾考查不等式问题．设圆心为O，∠OPA为，则的夹角为2，由于OAPA，所以，且，所以，故选D．
12．B
【解析】本试题主要考查几何体体积的计算、球的性质，综合考查空间分析问题、解决问题能力．过CD作平面PCDAB于P，设P到CD的距离为，则
，所以当h最大时，体积最大，当直径通过AB与CD的中点时，，所以，故选B．
13．
【解析】本试题主要考查同角三角函数的基本关系式和正切的二倍角公式．由已知得，∴．
14．
【解析】
本试题主要考查分式不等式及高次不等式的解法．原不等式，利用数轴穿根法解得．
15．30
【解析】本试题主要考查排列组合知识及分类讨论的思想方法．分两种情况：
（1）A类选1门，B类选2门，有种方法；
（2）A类选2门，B类选1门，有种方法，共有30种方法．
16．
【解析】本试题主要考查椭圆的方程与几何性质，考查定比分点问题．假设椭圆的焦点在x轴，方程为，设点，由，则D分有向线段的比为，则，代入方程得，所以.
17．或
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，以及等比数列的性质，考查考生用方程组的思想解决数列问题的能力．
设数列的公差为d．依题设有
或
或．
点评：
数列问题属于高考的传统题型，近两年全国Ⅰ文科卷，对于数列解答题的难度有所降低，旨在考查考生对数列的基本公式、性质的掌握，显然降低了对综合能力的要求．
18．
【解析】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值，以及考查逻辑思维能力、运算能力，同时考查转化与化归的思想、方程思想．
由及正弦定理得
从而，
.
又
故
所以.
点评：
解斜三角形实际属于三角函数的范畴，对三角函数的考查有五种基本题型：
考查纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、三角变换及求值与解斜三角形的交汇，每年对这方面的考查往往是轮番出现，备考应注意这几个方面的强化训练．
19．（I）0.40.
（II）
【解析】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率问题，考查考生分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力．
（Ⅰ）记A表示事件：
稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：
稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：
稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：
稿件被录用.
则D=A+B·C,
=
=
=0.25+0.5×0.3
=0.40.
（Ⅱ）记表示事件：
4篇稿件中没有1篇被录用；
表示事件：
4篇稿件中恰有1篇被录用；
表示事件：
4篇稿件中恰有2篇被录用；
=+
=0.1296+0.3456
=0.4752,
．
点评：
概率问题是高考的必考题型，一般都在18、19题，试题的难度不大．主要考查考生对互斥事件、独立事件等基本概率模型知识的掌握程度以及应用知识分析问题、解决问题的能力．新背景下的概率问题是高考的亮点内容之一，估计明年高考对概率解答题的考查除了常规模式外，还可能与数列、不等式、统计等交汇命题．
20．（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）120°
【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判断与性质定理、平面与平面垂直的性质，二面角的求解，以及考查逻辑思维能力、空间想象力与简单运算能力、同时考查转化与化归的思想.
解法一：
（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知即为直角三角形，故.
又,
所以，.
作，，
故平面EDC，内的两条相交直线都垂直.
所以，.
（Ⅱ）由知
.
故为等腰三角形.
取中点F，连接，则.
连接，则.
所以，是二面角的平面角.
连接AG，AG=，,
所以，二面角的大小为120°.
解法二：
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，
设则,,.
（Ⅰ）,
设平面的法向量为,
由,
故
令，
又设，则
设平面的法向量，
由,得
，
故.
令，则.
由平面得.
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取中点F，则,,
故,由此得.
又,故由此得,
向量与的夹角等于二面角的平面角.
于是,
所以，二面角的大小为120°.
点评：
对立体几何的考查是一直解答题中比较常规、变化不大的题。
但今年（Ⅰ）的问题的设置由证明空间位置关系变为证明西安段之间的相等关系，在力求创新考查，但实际还是考查空间直线、平面之间的位置的关系的证明及应用.
21．（Ⅰ）是的极小值，无极大值
（Ⅱ）
【解析】本题主要考查导数的两大应用，即利用导数求极值和解决函数的的单调性问题，考查考生对高次方程的因式分解能力与计算能力．
（Ⅰ）．
当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值．
所以是的极小值，无极大值.
（Ⅱ）在上，单调增当且仅当
即．①
（i）当a=0时①恒成立；
（ii）当a>0时①成立,当且仅当,
解得．
（iii）当a<0时①成立，即
当且仅当。
解得：
．
综上，a的取值范围是．
点评：
本题属于导数的常见题型，与往年不同的是函数次数的升高，这就对考生的因式分解能力加大了要求，这就要求我们在复习备考时，在牢固掌握三次函数的导数问题的同时对四次的导数问题也应该有所涉及．
22．（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点的直线方程代入抛物线方程消去，设与的交点，，根据韦达定理求得和的表达式，进而根据点求得点的坐标，进而表示出直线的直线方程，求出直线在轴上的截距进而原式得证；（Ⅱ）首先表示出结果为求得，进而求得的值，推知的斜率，则方程可知，设，利用点到直线的距离进而求得和圆的半径，则圆的方程可得．
试题解析：
（Ⅰ）设，，，
的方程为.
将代入得到：
由韦达定理知道：
所以直线BD的方程为：
，
即
令得到：
=1
所以点F（1,0）在直线BD上
（Ⅱ）由①知，
因为，
故，解得
所以的方程为
又由①知，故直线BD的斜率，
因而直线BD的方程为
因为KF为的平分线，故可设圆心，
到及BD的距离分别为.
由得，或（舍去），
故圆M的半径.
所以圆M的方程为.
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