二次函数和平行四边形存在性问题.docx

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二次函数和平行四边形存在性问题

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课题

名称

二次函数与平行四边形的存在问题

教案

重点

教

学

过

程

【知识梳理】

1、平行四边形的性质是什么？

2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？

3、解决问题的策略：

①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量

②分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。

1.（2011•盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点．

（1）求这个二次函数解读式；

（2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

2.（2010•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

3.（2011•阜新）如图，抛物线y=

x2+x﹣

与x轴相交于A、B两点，顶点为P．

（1）求点A、B的坐标；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．

4.（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x＋m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线交二次函数图象于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）D为直线AB与二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

5.（2011•淄博）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣2），与直线y=x交于点A（﹣2，﹣2），B（2，2）．

（1）求抛物线的解读式；

（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN=

，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与抛物线交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

6.（2011•内江）如图抛物线y=

x2﹣mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．﹣1）．且对称抽x=l．

（1）求出抛物线的解读式及A、B两点的坐标；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．　

7.（2011•凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．

（1）求抛物线的解读式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D（4，k）在

（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

8.（2011•衡阳）已知抛物线

．

（1）试说明：

无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x﹣1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？

若存在，求出点P的

坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

9.（2010•龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解读式，并写出顶点D的坐标；

（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；

（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：

在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

10.（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解读式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

11.（2010•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解读式；

（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？

若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

12.（2010•茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．

（1）求a，b，c的值；

（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．

①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

13.（2005•福州）已知：

抛物线y=x2－2x－3与y轴交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C/点。

（1）求点C/的坐标；

（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C/、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点和Q点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求出平行四边形的周长。

14.（2011•湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解读式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？

若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（2011•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

16.（2010•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在题

（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？

若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

17.（2010•武汉）如图，抛物线y1=ax2﹣2ax+b经过A（﹣1，0），C（0，

）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解读式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=

y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与

（2）中的函数图象交于点F、H．问四边形EFHG能否成为平行四边形？

若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

18.（2009•荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上.抛物线

经过AD的中点M．

（1）直接写出A、D两点的坐标；

（2）操作：

如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转

度角

，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．

探究1：

在旋转的过程中是否存在某一角度

，使得四边形AFEP是平行四边形？

若存在，请推断出

的值；若不存在，说明理由；

探究2：

设AP＝

，四边形OPDQ的面积为

，求

与

之间的函数关系式，并指出

的取值范围．

课后小结

上课情况：

课后需再巩固的内容：

配合需求：

家长_________________________________

学管师_________________________________