例3
（多选）（2018·宝应中学调研）我国“神舟十一号”载人飞船于2016年10月17日7时30分发射成功．飞船先沿椭圆轨道飞行，在接近400km高空处与“天宫二号”对接，对接后视为圆周运动，如图3.两名宇航员在空间实验室生活、工作了30天．“神舟十一号”载人飞船于11月17日12时41分与“天宫二号”成功实施分离，11月18日顺利返回至着陆场．下列判断正确的是（ ）
图3
A．飞船变轨前后的机械能守恒
B．对接后飞船在圆轨道上运动的速度小于第一宇宙速度
C．宇航员在空间实验室内可以利用杠铃举重来锻炼身体
D．分离后飞船在原轨道上通过减速运动，再逐渐接近地球表面
答案 BD
解析 每次变轨都需要发动机对飞船做功，故飞船机械能不守恒，故A错误；根据万有引力提供向心力G
＝m
，得v＝
，轨道高度越高，线速度越小，第一宇宙速度是近地卫星的速度，是最大的运行速度，故对接后飞船在圆轨道上的线速度比第一宇宙速度小，故B正确；用举重锻炼身体主要就是利用杠铃等物体的重力，在空间实验室中杠铃处于完全失重状态，它对人的胳膊没有压力的作用，故C错误；当飞船要离开圆形轨道返回地球时，飞船做近心运动，万有引力要大于向心力，故要减小速度，故D正确．
变式2
（2017·如皋市调研）如图4所示，假设月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点．点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ，绕月球做匀速圆周运动．下列判断正确的是（ ）
图4
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
B．飞船在A点处点火变轨时，动能增加
C．飞船从A到B运行的过程中机械能增大
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T＝π
答案 A
解析 飞船在轨道Ⅰ上，万有引力提供向心力：
＝m
；在月球表面，万有引力等于重力得：
＝mg0，解得：
v＝
，故A正确；飞船在A点处点火变轨时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以动能是减小的，B错误；飞船点火后，从A到B运行的过程中，只有重力做功，机械能不变，故C错误；飞船在轨道Ⅲ绕月球运动，万有引力提供向心力，有：
＝m
R，又
＝mg0，解得：
T＝2π
，故D错误；故选A.
命题点三 双星或多星模型
1．双星模型
（1）定义：
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图5所示．
图5
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ω12r1，
＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
r1＋r2＝L
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
＝
.
⑤双星的运动周期T＝2π
⑥双星的总质量m1＋m2＝
2．多星模型
（1）定义：
所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图6甲所示）．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）．
图6
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）．
例4
2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预言，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”．其实，孤立的恒星与一颗行星组成的系统就是一个双星系统．如图7所示，恒星a、行星b在万有引力作用下，绕连线上一点O以相同的周期做匀速圆周运动．现测得行星b做圆周运动的半径为rb，运动的周期为T，a、b的距离为l，已知万有引力常量为G，则（ ）
图7
A．恒星a的质量为
B．恒星a与行星b的总质量为
C．恒星a与行星b的质量之比为
D．恒星a的运动可以等效于绕静止在O点、质量为
的天体做半径为（l－rb）的圆周运动
答案 B
解析 由题意可知，a和b到O点的距离分别为（l－rb）和rb，设两星质量分别为M1和M2，由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：
对M1：
G
＝M1
2（l－rb），
即M2＝
；
对M2：
G
＝M2
2rb，
即M1＝
；
则恒星a与行星b的总质量为
M1＋M2＝
（l－rb＋rb）＝
.
恒星a与行星b的质量之比为
＝
恒星a的运动可以等效于绕静止在O点、质量为M的天体做半径为（l－rb）的圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
＝M1（
）2（l－rb），即M＝
综上所述，选项B正确，A、C、D错误．
命题点四 天体的追及相遇问题
1．相距最近：
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t＝2nπ（n＝1,2,3，…）．
2．相距最远：
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足（ωA－ωB）t′＝（2n－1）π（n＝1,2,3…）．
例5
（多选）如图8，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有（ ）
图8
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：
周期的平方与半径的三次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，故A正确，B错误；设图示位置夹角为θ<
，b转动一周（圆心角为2π）的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：
Tb－
Tb＝（π－θ）＋n·2π（n＝0,1,2,3，…），可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：
Tb－
Tb＝（2π－θ）＋m·2π（m＝0,1,2,3，…），可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错误，D正确．
1．（多选）（2017·金坛四中期中）2016年6月12日，我国第23颗北斗导航卫星发射成功．我国北斗卫星导航技术堪比美国GPS.已知GPS导航系统中某卫星的运行周期约为12小时，则此卫星与北斗导航系统中的地球同步卫星相比较（ ）
A．线速度更大B．角速度更大
C．轨道半径更大D．向心加速度更大
答案 ABD
2．（多选）（2017·宿迁市上学期期末）2016年12月22日，我国成功发射了国内首颗全球二氧化碳监测科学实验卫星（以下简称“碳卫星”）．如图9所示，设“碳卫星”在半径为R的圆周轨道上运行，经过时间t，通过的弧长为s.已知引力常量为G.下列说法正确的有（ ）
图9
A．“碳卫星”内的物体处于平衡状态
B．“碳卫星”的运行速度大于7.9km/s
C．“碳卫星”的发射速度大于7.9km/s
D．可算出地球质量为
答案 CD
解析 “碳卫星”绕地球运行，做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故不处于平衡状态，处于完全失重状态，故A错误；v＝7.9km/s为第一宇宙速度，是绕地球的最大运行速度，“碳卫星”轨道半径比地球半径大，因此其运行速度应小于7.9km/s，故B错误；v＝7.9km/s为第一宇宙速度，是最小的地面发射速度，“碳卫星”轨道半径比地球半径大，因此其发射速度应大于7.9km/s，故C正确；“碳卫星”的线速度v＝
，根据万有引力提供向心力G
＝m
，解得地球质量：
M＝
＝
，故D正确．
3.（多选）（2017·镇江市一模）如图10所示，发射升空的卫星在转移椭圆轨道Ⅰ上A点处经变轨后进入运行圆轨道Ⅱ，A、B分别为轨道Ⅰ的远地点和近地点．则卫星在轨道Ⅰ上（ ）
图10
A．经过A点的速度小于经过B点的速度
B．经过A点的动能大于在轨道Ⅱ上经过A点的动能
C．运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期
D．经过A点的加速度等于在轨道Ⅱ上经过A点的加速度
答案 AD
解析 卫星在轨道Ⅰ上由B运动到A万有引力做负功，动能减小，所以经过A点的速度小于经过B点的速度，故A正确；同在A点，只有加速它的轨道才会变大，所以在轨道Ⅰ上经过A点的动能小于在轨道Ⅱ上经过A点的动能，故B错误；轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律，在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期，故C错误；根据a＝
，在轨道Ⅱ上经过A的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A的加速度，故D正确．
4．（2018·淮阴中学月考）2016年12月13日，天空出现“超级大月亮”，月亮的亮度和视觉直径都大于平常，如图11所示，究其原因，月球的绕地轨道实际上是一个偏心率很小的椭圆，当天月球刚好运动到近地点．结合所学知识判断下列与月球椭圆轨道运动模型有关的说法中正确的是（ ）
图11
A．月球公转周期小于地球同步卫星的公转周期
B．月球在远地点的线速度小于地球第一宇宙速度
C．月球在远地点的加速度大于在近地点的加速度
D．月球在远地点的机械能小于在近地点的机械能
答案 B
解析 根据开普勒第三定律得，
＝k，知月球的半长轴大于同步卫星的轨道半径，则月球的公转周期大于地球的同步卫星周期，故A错误．根据万有引力提供向心力G
＝m
知，轨道半径越大，线速度越小，则地球的第一宇宙速度大于远地点所在圆轨道上运行的速度，而月球在远地点的速度小于其所在圆上的速度，因为在远地点，万有引力大于向心力，而要进入圆轨道需加速．所以月球远地点的速度小于地球的第一宇宙速度，故B正确．月球在远地点所受的万有引力小于在近地点所受的万有引力，根据牛顿第二定律得，在远地点的加速度小于在近地点的加速度，故C错误．月球在椭圆轨道上运行，只有万有引力做功，机械能守恒，故D错误．
1．（2017·淮阴中学4月模拟）2017年4月12日19时04分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射实践十三号卫星．这是我国首颗高通量高轨道通信卫星（属地球同步卫星）．另外，2015年12月29日凌晨，我国在西昌卫星发射中心成功发射了高分四号遥感卫星．该卫星是我国以及世界首颗地球同步轨道高分辨率遥感卫星．下列关于这两颗地球同步卫星的说法不正确的是（ ）
A．这两颗卫星均在赤道的正上方
B．这两颗卫星的周期相同
C．这两颗卫星受到地球对它们的万有引力一定大小相等
D．这两颗卫星的线速度大小相等
答案 C
解析 实践十三号卫星和高分四号遥感卫星都是地球同步卫星，因此都在赤道所在平面，距地面的高度相同，A正确；它们的周期与地球自转周期相同，B正确；这两颗卫星的质量可能不同，所以地球对它们的万有引力可能不同，C错误；由G
＝m
得：
v＝
，轨道半径相同，所以线速度大小相等，D正确．
2．（多选）北京时间2016年11月18日13时59分，“神舟十一号”飞船返回舱在位于内蒙古自治区四子王旗内的阿木古郎草原主着陆场预订区着陆，航天员景海鹏、陈冬平安返回．在刚刚过去的33天里，“神舟十一号”和“天宫二号”在与未来空间站相同高度的轨道开展对接实验，快速变轨控制验证实验，为空间站探路，标志着我国航天事业又向前迈进一大步．若这两颗人造地球卫星，它们质量之比为m1∶m2＝1∶2，它们运行的线速度之比为v1∶v2＝1∶2，那么（ ）
A．它们运行的周期之比为8∶1
B．它们运行的轨道半径之比为4∶1
C．它们所受向心力之比为1∶16
D．它们正常运行的线速度一定大于7.9km/s
答案 AB
解析 根据万有引力提供向心力G
＝m
，线速度v＝
，它们运行的线速度之比为v1∶v2＝1∶2，所以轨道半径比r1∶r2＝4∶1.周期T＝2π
，周期之比T1∶T2＝8∶1，故A、B正确；根据万有引力提供向心力Fn＝G
，轨道半径之比为r1∶r2＝4∶1，所以向心力之比
＝
＝
＝
×（
）2＝
，故C错误；7.9km/s是绕地球的最大运行速度，所以它们正常运行的速度一定小于7.9km/s，故D错误．
3．（2017·响水中学期中）我国成功发射了“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了“伴飞”小卫星，若小卫星和飞船在同一圆轨道上，相隔一段距离一前一后沿同一方向绕行，下列说法正确的是（ ）
A．由飞船的轨道半径、周期和引力常量可以算出飞船质量
B．航天员踏在飞船表面进行太空漫步时，对表面的压力等于航天员的重力
C．飞船只需向后喷出气体，就可以在短时间内和小卫星对接
D．小卫星和飞船的加速度大小相等
答案 D
4.（多选）（2017·苏北四市期中）2016年10月17日，“神舟十一号”载人飞船成功发射，10月19日与“天宫二号”交会对接．如图1所示是“天宫二号”和“神舟十一号”交会对接前绕地球做匀速圆周运动的轨道示意图，下列说法正确的是（ ）
图1
A．“神舟十一号”的运动速度小于“天宫二号”
B．“神舟十一号”的运动周期小于“天宫二号”
C．“神舟十一号”的运动加速度小于“天宫二号”
D．“神舟十一号”必须加速才能与“天宫二号”交会对接
答案 BD
解析 根据
＝m
＝m
r＝ma，得到：
v＝
，T＝
，a＝
，所以轨道半径越大，速度越小，选项A错误；轨道半径越大，周期越大，选项B正确；轨道半径越大，加速度越小，选项C错误；从低轨道运动到
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