人教版学年 九年级数学下册 期末复习 相似三角形 知识点+易错题精选含答案.docx

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人教版学年九年级数学下册期末复习相似三角形知识点+易错题精选含答案

2019年九年级数学下册期末复习相似三角形

知识点+易错题精选

知识概述

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义

对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．

4.相似三角形的基本性质

①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．

②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比

④面积比等于相似比的平方

温馨提示：

　　①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

　　②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

　　③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

5.相似三角形的判定定理

①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；

②三边对应成比例的两个三角形相似；

③两角对应相等的两个三角形相似；

④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：

（1）判定三角形相似的几条思路：

①条件中若有平行，可采用判定定理1；

②条件中若有一对角相等（包括隐含的公共角或对顶角），可再找一对角相等或找夹边对应成比例；

③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

6.位似

①定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

②性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．

注意：

（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上

三角形的重心

①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍

相似三角形解题思路：

1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

　学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：

（1）“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；

（2）“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；

（3）“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D（或∠C=∠E），则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

温馨提示：

　　从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．

相似三角形易错题精选

一、选择题

若在比例尺为1:

50000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是（     ）.

A．1250kmB．125kmC．12.5kmD．1.25km

若a:

b:

c=3:

5:

7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于（  ）

A．-3B．-5C．-7D．-15

下列说法中正确的是（）

A．两个平行四边形一定相似B．两个菱形一定相似

C.两个矩形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似

如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）

A．B．C．D．

关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意一组对应点P，P/与位似中心O的距离满足OP=k•OP/．

A．①②③④B．②③④C．②③D．②④

在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是（）

A．（-2,1）B．（-8,4）C．（-8,4）或（8,-4）D．（-2,1）或（2,-1）

如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）

A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm2

如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）

A．B．C．D．

如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）

A．4B．4C．6D．4

将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则PM:

CN的值为（）

A．B．C．D．

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）

A．B．C．D．

二、填空题

如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD=　　.

如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是　　（写出一个即可）

《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：

“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？

”歌谣的意思是：

有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸（提示：

仗和尺是古代的长度单位，1丈=10尺，1尺=10寸），可以求出竹竿的长为________尺.

如图，已知两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1：

3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是___________．

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.

如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=________，AnBn=________．（n为正整数）

三、解答题

已知均不为0，且，求的值.

如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．

（1）求证：

BC=CE；

（2）求证：

AD:

BD=AC:

BC;

如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°.求证：

△ACP∽△PDB．

如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，点F在ED上，且∠CBF=∠D.

（1）求证：

FB2=FE•FA；

（2）若BF=3，EF=2，求△ABE与△BEF的面积之比.

一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高.

如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足2∠BAD=∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.

（1）求证：

直线BC是⊙O的切线；

（2）连接EF，若tan∠AEF=，AD=4，求BD的长.

参考答案

C；

D；

D

D

C.

B

D

C

解：

作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，

∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，

在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，

∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故选：

C．

B

C

B解析：

①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；

②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，

又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，

纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：

B．

答案为：

；

答案为：

EF∥BC（写出一个即可）；

答案为：

45；

答案为：

（2，1）或（﹣2，﹣1）．

3；

答案为：

6；n（n+1）

解：

设=k，则①②③

由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k, ∴b=，

分别代入①，④得，a=,c=.∴.

证明：

（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．

又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．

∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．故△BCE是等腰三角形，BC=CE．

（2）∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得AD:

BD=AC:

CE，

又∵BC=CE，∴AD:

BD=