中考冲刺九年级春季班第11讲平行四边形的存在性问题学生版.docx
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中考冲刺九年级春季班第11讲平行四边形的存在性问题学生版
九年级下学期春季班
(学生版)
最
新
讲
义
平行四边形的存在性问题
内容分析
在几何中,平行四边形的判定方法有如下几条:
①两组对边互相平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线互相平分;⑤两组对角相等。
在压轴题中,往往与函数(坐标轴)结合在一起,运用到④⑤的情况较少,更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形.
知识结构
模块一:
已知三点的平行四边形问题
知识精讲
A
B
C
M1
M2
M3
1、知识内容:
已知三点后,其实已经固定了一个三角形(平行四边形的一半),如图
.第四个点M则有3种取法,过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可(如图中3个M点).
2、解题思路:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)用一点及其对边两点的关系,求出一个可能点;
(3)更换顶点,求出所有可能的点;
(4)根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.
例题解析
【例1】如图,抛物线
经过直线
与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使
的点P的坐标;
A
B
C
D
O
x
y
(3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的
坐标.
【例2】如图,已知抛物线
与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为(1,0),tan∠OBC=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一
边的平行四边形,若存在,写出点P的坐标;
x
y
A
B
C
O
(3)抛物线的对称轴与AC交于点Q,说明以Q为圆心,以OQ为半径的圆与直线BC
的关系.
【例3】如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,
经过点A,点B(圆心P在x轴负半轴上),已知AB=10,AP=
.
(1)求点P到直线AB的距离;
(2)求直线y=kx+b的解析式;
(3)在
上是否存在点Q,使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
A
B
O
P
x
y
模块二:
存在动边的平行四边形问题
知识精讲
1、知识内容:
在此类问题中,往往是已知一条边,而它的对边为动边,需要利用这组对边平行且相等列出方程,进而解出相关数值.更复杂的有,一组对边的两条边长均为变量,需要分别表示后才可列出方程进行求解.
2、解题思路:
(1)找到或设出一定平行的两条边(一组对边);
(2)分别求出这组对边的值或函数表达式;
(3)列出方程并求解;
(4)返回题面,验证求得结果.
(5)
例题解析
【例4】
A
B
C
O
P
N
M
x
y
如图,抛物线
与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B
,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交
直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m.
①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的
代数式表示线段PM的长度;
②联结CM、BN,当m为何值时,四边形BCMN为平行四边形?
【例5】如图,已知抛物线
经过A(0,1)、B(4,3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB
于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
x
y
O
A
B
【例6】如图,在
中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t
0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:
QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?
若存在,求出t的值;若不存在,说
明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,
A
B
C
D
P
Q
求点Q的速度.
随堂检测
【习题1】已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数
的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数
的图像上,且MO=MA.二次函数
的图像经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
x
y
1
1
O
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在
一次函数
的图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
【习题2】在平面直角坐标系xOy中,经过点A(
,0)的抛物线
与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称.
(1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角;
(2)如果点E是抛物线上的一动点,过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F在E的右边,过点E作EG⊥AD于点G,设E的横坐标为m,
的周长为l,试用m表示l;
(3)点M是该抛物线的顶点,点P是y轴上一点,Q是坐标平面内一点,如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形,求该矩形的顶点Q的坐标.
课后作业
【作业1】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
与x轴、y轴分别交于点A、B,点C在线段AB上,且
.
(1)求点C的坐标(用含有m的代数式表示);
(2)将
沿x轴翻折,当点C的对应点C′恰好落在抛物线
上
时,求该抛物线的表达式;
(3)设点M为
(2)中所求抛物线上一点,当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行
A
B
C
O
x
y
四边形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.
【作业2】如图,直线
与反比例函数
(
)的图像交于点A、B,与x轴、y轴分别交于D、C,
,
.
(1)求反比例函数解析式;
(2)联结BO,求
的正切值;
B
x
y
O
A
C
D
(3)点M在直线
上,点N在反比例函数图像上,如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.