相似三角形等积式比例式知识分享.docx

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相似三角形等积式比例式知识分享

专题：

相似三角形的判定

相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下

良好基础。

我们本讲重点研究两个问题：

一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。

因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。

但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：

如图，△ABC中，/ACB=90,AB的垂直平分线交AB于D,；

交BC延长线于F。

求证：

CD=DE・DF。

u/l

分析：

我们将此等积式变形改写成比例式得：

，由等式左边得到

△CDF由等式右边得到厶EDC这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。

因为/CDE是

公共角，只需证明/DCE=/F就可证明两个三角形相似。

证明略（请同学们证明）提示：

D为直角三角形斜边AB的中点，所以AD=DC,则/DCE=/A.

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。

有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2.如图，已知△ABC中，AB=ACAD是BC边上的中线，CF//BABF交AD于P点，交AC于E点。

求证：

bP=PE・PF。

分析：

因为BPPEPF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=ACD是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平

分线的性质知PB=PC只需证明厶PE3APCF,问题就能解决了。

证明：

A

（1）AC=3BC=4;

（2）AC=二,AD=2

143

（3）AD=5DB=，;

（4）BD=4AB=29

分析：

运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。

解：

Rt△ABC中，/ACB=90,CDLAB于D,

例3.如图，已知：

在△ABC中，/BAC=90,ADLBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

•••/ADB=/ADC=/BAC=90,

•••/1+Z2=90°,Z2+ZC=9C°,

AS_3D

ac=7d

（1）vAC=3BC=4由勾股定理得AB=厶少+月凸=石顶=5,

AC32

•/aC=AD・AB,•••AD=----=,

916

•BD=AB-AD=5-=-,

•/cd-ab=ac-BC

ACSC12

•CD=--:

（或禾U用cD=ad・bd来求）

5

（2）VAC=-,AD=2,AC=AD・AB

239

•/bd=ab-ad•bd=--2=,

•/BC=BD・AB,且BC>0

JSD-AE

•BC=

14£

（3）vad=5db=:

且cD=ad・BD,

-JAD-ED=

•CD=1=12

1®

ab=ad+bd=-

•/aC=AD・AB,

（4）BD=4AB=29,bC=BD・AB,

•BC=/'•'八-..4=2±

/•AD=AB-BD=29-4=25

•/aC=AD・AB,

AC=■z，-■.-'=5■，…

•/cD=ad・bd,

CD='■■■1'F■'-■'4=10

£3

例5.已知：

如图，矩形ABCD中,AB:

BC=5:

6,点E在BC上，点F在CD上,EC=-BCFC=-CD

FGLAE于G

分析：

图中有直角三

£

（k>0），贝UEC=-BC=k,

角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5kBC=6k

33

FC=:

CD=-AB=3k,得DF=2k,由勾股定理可得

求证：

AG=4GE

AE=AB+Bh=50k2,EF2=EC?

+FC2=10k2,AF2=AE2+DF'=40k2,所以A^=eF'+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE又因为FG丄AE具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。

证明：

•••AB:

BC=56,

•••设AB=5k,BC=6k（k>0）,

.在矩形ABCD中，有

CD=AB=5k,BC=AD=6k,/B=ZC=ZD=9C°,

[£

•/EC=BC,•EC=■-X6k=k,•BE=5k,

33

•/FC=:

CD,•FC=-X5k=3k,•DF=CD-FC=2k

在Rt△ADF中，由勾股定理得

AF2=AD2+D^=36k2+4k2=40k2,

同理可得Ah=50k2,EF2=1Ck2,

222222

•AF+EF=4Ck+1Ck=5Ck=AE,

•△AEF是Rt△（勾股定理逆定理），

•/FG丄AE,AFE^AFGE

•EF"=GE-AE,VAE='■'J=5k

EFT_iota

...Ge=丄亠'=「k,•4GE=4k,

•AG=AE-GE=5'■;k-'k=4'k,

•AG=4GE.

例6.已知：

如图，Rt△ABC中,/ACB=9CC,CD!

AB于D,DEIAC于E,DF丄BC于F。

求证：

AE-BF•AB=CD。

证明：

Rt△ABC中,/ACB=90,CD!

AB,

•••cD=ad・BD,

•••CD=AD•BD2,

又•/Rt△ADC中,DELAC,Rt△BDC中,DF丄BC,

2—2亠

•AD=AE・AC,BD=BF・BC,

•CD=AE・BF-AC-BC,

又•/AC-BC=ABCD

•CD=AE・BF-AB-CD

•AE-BF-AB=CD

说明：

本题几次用到直角三角形中的重要等积式。

请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。

测试

选择题

1如图所示,在矩形ABCD中,AE1BD于E,S矩形=40cmf,Saabe：

Sadbq1:

5,贝UAE的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

2.

AE交BD于点F,已知BE：

EC=3:

1,Safbe=18,贝USafda

女口图，在口ABCD中,E是BC上的一点,的大小为（）。

32D.12

如图，在正方形ABCD中,点E在AB边上,

则厶AEG的面积与四边形BEG啲面积比为

A.1:

2B.1:

4

C.4:

9D.2:

3

4.如图，△ABC的底边BC=a,高AD=h,矩形GH都在BC上,且EF=2FG则矩形EFGH的周长是（ah

A十b卫用十d

EFGH内接于△ABC其中E、F分别在边ACAB上,

）。

ah6h

C.2h-nd.如十g

5.女口图，在△ABC中，/B=ZADE^ZCAD阴頁，设△EBD△ADC△ABC的周长依次为m、m>>

m。

那么的值是（）。

35

A.2B.4C.-D.4

答案与解析

答案：

1、A2、C3、C4、B5、D

解析：

1.解•/ZBAD=90°,AE丄BD

•••S

△ABE：

SaDBA=Ab:

△ABE^ADBA

•S△ABE:

Sadba^—1:

5,•AB2:

DB=1:

5,

•AB:

DB=1:

；。

设AB=k,DB=--k,

则AD=

J屁—朗■独。

2

•S矩形=40cm,•k•2k=40。

•k=2--'。

•BD=k=10,AD=4-。

1

1

Saabd=?

BD-AE=20,•2•10AE=20

•AE=4（cm）。

故选Ao

2.Co

3.分析易证△ABF^ADAE故知BF=AEO

因AE：

EB=2:

1，故可设AE=2x,EB=x,贝UAB=3x,BF=2x。

由勾股定理得AF=「•「=・'"。

易证AAG0AABFO

可得Saage:

Saabf=AE2:

A『=（2x）2:

（岳）2=4:

13o

可得SaAGE：

S四边形BEGF=4:

9。

故选Co

FG与高AD=h的关系。

由EF

4•分析：

由题目条件中的EF=2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出//BC得厶AFE^AABC贝UEF与高h即可联系上。

解：

设FG=x,贝U

•/EF=2FG•EF=2x。

•/EF//BC,•△AFE^AABG

又ADLBC,设AD交EF于M贝UAM丄EF。

AOBC

o

ah

解之，得x=「“

•••矩形EFGH的周长为6x=-n。

评注：

此题还可以进一步求出矩形的面积。

若对题目再加一个条件：

A吐AC,那么还可证出F&=BG-CH

通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。

5.解析：

由/CAD=ZADE得AC//DE,•△ABSAEBD,又/B=ZCAD/C=/C,AB3ADAC

•••△AB3AEBD^ADAC即厶EBMADASAABC再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。

中考解析

例1.（重庆市）如图，在△ABC中，/BAC=90°,D是BC中点，AE±AD交CB延长线于点E,则结论正确的是（）

（A）AAED^AACB（B）AAEB^AACD（C）ABAE^AACE（D）AAEC^ADAC

考点：

相似三角形的判定

评析：

思路：

根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。

答案为C.

例2.（河北省）已知：

如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=ACDEIBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。

（1）求证：

△ABC^AFCD

（2）若S“cc=5,BC=10,求DE的长。

考点：

相似三角形的性质、等腰三角形的性质

评析：

思路：

第1问因AD=AC「・/ACBHCDF又D是BC中点，ED±BCB=ZECD•△ABSA

FCD

第2问利用相似三角形的性质，作AMLBC于M,易知Saabc=4Safcd。

：

Saabc=20,AM=4又tAM//ED

EDRD

再根据等腰三角形的性质，及中点，可以求出DE

证明：

（1）TDELBC,D是BC中点，

•EB=ECB=Z1.

又•••AD=AC「・/2=ZACB

•△ABC^AFCD.

（2）［方法一］:

过点A作AMLBC,垂足为点M.

•••△ABC^AFCDBC=2CD

$逊住_严牛

EgCD

又TSafce=5,••Saab（=20.

•••Saabc=jBC-AIMBC=1Q•20=JX10XAM,•AM=4.

DFSD

又•••DE//AM

丄21

•••DM=-DC=丄,BM=BD+DMBD=‘BC=5,

又•••FH//AM,

DE_FH

而=丽

£

亠，•点H是DM的中点.

又•••FH//DE

FHHC

~DE=~DC

L5

•/HC=HM+MC=

15

-,•DE=-

例3.（河南省）如图，点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形。

（1）当ACCDDB满足怎样的关系时，△ACP^APDB

（2）当厶AC3APDB时，求/APB的度数。

考点：

相似三角形的判定及性质。

评析：

本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。

当相似了对应角相等,易求/APB

答案：

解：

（1）v^PCD是等边三角形，

•••/PCDMPDC=60,PD=PC=CD

从而/ACP玄PDB=120

•当」」时，△ACP^APDB即当cD=AC・BD时，△ACNAPDB

（2）当厶AC3APDB时，/APC=ZPBD.

•••/APB=/APC+ZCPD+ZDPB

=ZPBD+60+ZDPB

=60°+60°

=120°.