重点高中数学必修五数列导学案.docx

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重点高中数学必修五数列导学案

数列导学案

§2.1数列的概念及简单表示

（一）

【学习要求】

1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．

2．探索并掌握数列的几种简单表示法．

3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．

【学法指导】

1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念．

2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．

3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：

把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式．

【知识要点】

1．按照一定顺序排列的一列数称为，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做___项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第项．

2．数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为．

3．项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做_____数列．

4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式．

【问题探究】

探究点一　数列的概念

问题　先看下面的几组例子：

（1）全体自然数按从小到大排成一列数：

0,1,2,3,4，…；

（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：

1，，，，；

（3）π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排成一列数：

3,3.1,3.14,3.141，…；

（4）无穷多个1排成一列数：

1,1,1,1,1，…；

（5）当n分别取1,2,3,4,5，…时，（－1）n的值排成一列数：

－1,1，－1,1，－1，….

请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．

探究　数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？

探究点二　数列的几种表示方法

问题　数列的一般形式是什么？

回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？

探究　下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．

（1）数列：

1,3,5,7,9，…

①用公式法表示：

an＝；

②用列表法表示：

（2）数列：

1，，，，，…

①用公式法表示：

an＝.

②用列表法表示：

③用图象法表示为（在下面坐标系中绘出）：

探究点三　数列的通项公式

问题　什么叫做数列的通项公式？

谈谈你对数列通项公式的理解？

探究　根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？

数列

通项公式

－1,1，－1,1，…

an＝

1,2,3,4，…

an＝

1,3,5,7，…

an＝

2,4,6,8，…

an＝

1,2,4,8，…

an＝

1,4,9,16，…

an＝

1，，，，…

an＝

【典型例题】

例1　根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2012项．

（1）an＝cos；

（2）bn＝＋＋＋…＋.

小结　由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．

跟踪训练1　根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．

（1）an＝2n＋1；

（2）bn＝

例2　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

（1）1，－3,5，－7,9，…；

（2），2，，8，，…；

（3）9,99,999,9999，…；

（4）0,1,0,1，….

小结　据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．

跟踪训练2　写出下列数列的一个通项公式：

（1）2，4，6，8，…；

（2）0.9,0.99,0.999,0.9999，…；

（3）－，，－，，….

例3　已知数列{an}的通项公式an＝.

（1）写出它的第10项；

（2）判断是不是该数列中的项．

小结　判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．

跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），那么是这个数列的第______项．

【当堂检测】

1．下列叙述正确的是（　　）

A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}

C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{}是递增数列

2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：

1，，，，___，，….

3．已知下列数列：

（1）2000,2004,2008,2012；

（2）0，，，…，，…；

（3）1，，，…，，…；（4）1，－，，…，，…；

（5）1,0，－1，…，sin，…；（6）6,6,6,6,6,6.

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．（将合理的序号填在横线上）

【拓展提高】

4．写出下列数列的一个通项公式：

（1）a，b，a，b，…；

（2）－1，，－，，….

【课堂小结】

1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．

2．数列的表示方法：

①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．

3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．

§2.1数列的概念及简单表示

（二）

【学习要求】

1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．

2．能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质．

【学法指导】

1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．

2．由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中．例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质．

【知识要点】

1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的公式．

2．数列可以看作是一个定义域为（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列．

3．一般地，一个数列{an}，如果从起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做数列．如果数列{an}的各项都，那么这个数列叫做常数列．

4．已知数列{an}满足：

a1＝1，an＋1－an＝1，则an＝，从单调性来看，数列是单调数列．

【问题探究】

公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著《算盘全书》中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？

该问题在原书中作了分析：

第一个月和第二个月都是最初的一对兔子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子．到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子．继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子．书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{an}：

1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，an＋1＝an＋an－1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用．数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？

这一节我们就来学习数列的递推公式．

探究点一　数列的函数特性

问题　数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？

谈谈你的认识．

探究1　数列的单调性

下面给出了一些数列的图象：

an＝2n－1

an＝

an＝（－1）n

观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做递减数列；如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．

因此，要证明数列{an}是单调递增数列，只需证明an＋1－an0；要证明数列{an}是单调递减数列，只需证明an＋1－an0.

探究2　数列的周期性

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？

你能否求出该数列中的第2012项是多少？

探究点二　由简单的递推公式求通项公式

问题　递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？

探究1　对于任意数列{an}，等式：

a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an都成立．试根据这一结论，求解下列问题．

已知数列{an}满足：

a1＝1，an＋1－an＝2，试求通项an.

探究2　若数列{an}中各项均不为零，则有：

a1···…·＝an成立．试根据这一结论求解下列问题．

已知数列{an}满足：

a1＝1，＝（n≥2），试求通项an.

【典型例题】

例1　在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n≥1），写出此数列的前6项．

小结　已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可．

跟踪训练1　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝，＋＝（n∈N*，n≥3），求a3，a4.

例2　已知数列{an}的通项公式为an＝.求证：

数列{an}为递增数列．

小结　数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性．

跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是（　　）

A．an>an＋1B．an

例3　已知an＝（n∈N*），试问数列{an}中有没有最大项？

如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．

小结　数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过解不等式组来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组来确定．

跟踪训练3　在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数a的取值范围．

【当堂检测】

1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是（　　）

A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定

2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是（　　）

A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2

C．an＋1＝an＋（n＋1），n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋（n－1），n∈N*，n≥2

3．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列中最大项的值是（　　）

A．107B．108C．108D．109

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0（n∈N＋），则此数列的通项an等于（　　）

A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n

【课堂小结】

1．同数列的通项公式一样，数列的递推公式也是表示数列的常用方法之一．递推公式法与通项公式法统称为公式法．

2．函数与数列的联系与区别

一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．

另一方面，还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N*或它的有限子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高（即an>an－1），则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n（n∈N*）都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1

【拓展提高】

§2.2等差数列

（一）

【学习要求】

1．理解等差数列的意义．

2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．

3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．

【学法指导】

1．要善于通过实例的观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念，同时，还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”，“差是一个常数”等；要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式．

2．利用an＋1－an＝d（n∈N＋）可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列．

【知识要点】

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示．

2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_________，并且A＝.

3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.

4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为数列；若公差d<0，则数列{an}为数列．

【问题探究】

1．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星运动的轨迹和1531年、1607年的彗星的运动轨迹惊人地相似，便大胆断定这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间．

哈雷彗星的回归时间表（单位：

年）1607,1682,1759,1835,1910,1986,2061，….

预测它在本世纪回归的时间是2061年．

2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？

这个数列叫什么数列呢？

这个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，像这样的数列叫做等差数列．等差数列有很多的应用，这一节我们就来学习等差数列及其通项公式．

探究点一　等差数列的概念

问题1　我们先看下面几组数列：

（1）3,4,5,6,7，…；

（2）6,3,0，－3，－6，…；

（3）1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；

（4）－1，－1，－1，－1，－1，….

观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是

问题2　判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由：

（1）4,7,10,13,16，…；

（2）31,25,19,13,7，…；

（3）0,0,0,0,0，…；

（4）a，a－b，a－2b，…；

（5）1,2,5,8,11，….

探究　如何准确把握等差数列的概念？

谈谈你的理解．

探究点二　等差数列的通项公式

问题　如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？

探究1　根据等差数列的定义：

an＋1＝an＋d，可以依次得到a1，a2，a3，a4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式an.

探究2　由等差数列的定义知：

an－an－1＝d（n≥2），可以采用叠加法得到通项公式an.

探究点三　等差中项

问题1　如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，试用x，y表示A.

探究　若数列{an}满足：

an＋1＝，求证：

{an}是等差数列．

【典型例题】

例1　已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．

（1）a3＝5，a7＝13；

（2）前三项为：

a,2a－1,3－a.

小结　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．

跟踪训练1　若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

例2　已知，，成等差数列，求证：

，，也成等差数列．

跟踪训练2　已知a，b，c成等差数列，那么a2（b＋c），b2（c＋a），c2（a＋b）是否能构成等差数列？

例3　梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．

跟踪训练3在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃，求2km，4km，8km高度的气温.

【当堂检测】

1．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列是（　　）

A．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列

C．公差为－的等差数列D．不是等差数列

2．若abs，则等差数列a，x1，x2，b的公差是（　　）

A．b－aB．C．D．

3．在等差数列{an}中，

（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，则an＝___；

（2）已知a1＝3，d＝2，an＝21，则n＝___；

（3）已知a1＝12，a6＝27，则d＝___；

（4）已知d＝－，a7＝8，则a1＝___.

4．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：

时间t（s）

1

2

3

…

？

…

60

距离s（cm）

9.8

19.6

29.4

…

49

…

？

（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？

（2）利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？

它爬行49cm需要多长时间？

【课堂小结】

1．等差数列的判定关键要看an＋1－an（n∈N*）是否为一个与n无关的常数．由于an＋1－an＝an＋2－an＋1⇔2an＋1＝an＋an＋2，所以也可以利用2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）来判定等差数列．注意数列的项中含有字母时是否需要分类讨论．

2．等差数列的通项公式及其变形an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d的应用极其灵活，公式中的四个量a1，an，n，d中知三可求一．充分利用等差数列的函数特性可使解题过程更为简捷．

3．数列的应用题在数列中占有很重要的地位．

【拓展提高】

§2.2等差数列

（二）

【学习要求】

1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．

2．能运用等差数列的性质解决有关问题．

【学法指导】

1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练掌握等差数列的有关性质．

2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．

【知识要点】

1．等差数列的通项公式：

an＝.

2．等差数列的项的对称性：

有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：

a1＋an＝a2＋＝…＝ak＋.

3．等差数列的性质

（1）若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n（k、l、m、n∈N*），则.

（2）若{an}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.

（3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p、q是常数）是公差为的等差数列．

【问题探究】

探究点一　等差数列的常用性质

问题　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列

性质：

（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.

（2）若m＋n＝2k（m，n，k∈N*），则am＋an＝2ak.

请你给出证明．

探究　已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．

①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列（首项不一定选a1），公差为；

②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N＋）组成公差为的等差数列；

③数列{λan＋b}（λ，b是常数）是公差为的等差数列；

④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为；

⑤数列{λan＋μbn}（λ,μ是常数）仍是等差数列,公差为.

探究点二　等差数列与一次函数的联系

探究　由于等差数列{an}的通项公式an＝dn＋（a1－d），与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}中的任意两项，由an＝am＋（n－m）d，可知点（n，an）分布以为斜率，以为纵截距的直线上．

请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.

d>0

{an}为数列

d＝0

{an}为数列

d<0

{an}为数列

【典型例题】

例1　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．

小结　解决本类问题一般有两种方法：

一是运用等差数列{an}的性质：

若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw（m，n，p，q，w都是正整数）；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．

跟踪训练1　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．

例2　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．

小结　利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：

当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：

…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：

…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．

跟踪训练2　四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．

例3　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.

（1）数列{}是否为等差数列？

说明理由．

（2）求an.

小结　判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：

an＋1－an＝d（d为常数），也可以用an＋1－an＝an－an－1（n≥2）进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．

跟踪训练3　正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.

（1）数列{}是否为等差数列？

说明理由．

（2）求an.

【当堂检测】

1．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（　　）

A．3B．－3C．D．－

2．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝____

3．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8

4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．

【课堂小结】

1．