3．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是（ D ）
A．x－y＋1<0B．2x＋3y－6>0
C．2x＋5y－10≥10D．4x－3y≤12
[解析] 当x＝0，y＝0时，4x－3y≤12成立，故选D．
4．不等式
表示的平面区域的面积是__6__．
[解析] 作出平面区域如图△ABC，A（－1,0）、B（1,2）、C（1，－4），S△ABC＝
·|BC|·d＝
×6×2＝6．
（d表示A到直线BC的距离．）
命题方向1 ⇨二元一次不等式表示的平面区域
例题1 画出不等式2x＋y－6≤0表示的平面区域．
[解析] 先画直线2x＋y－6＝0（画成实线），把原点（0,0），代入2x＋y－6．
因为2×0＋0－6＝－6<0，
所以（0,0）在2x＋y－6≤0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图所示．
『规律总结』 由于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点（x，y），使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点（x0，y0），把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0（或＜0）表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
〔跟踪练习1〕 画出不等式－x＋2y－4＜0表示的平面区域．
[解析] 先画直线－x＋2y－4＝0（画成虚线），取原点（0,0），代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以，不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示．
命题方向2 ⇨二元一次不等式组表示的平面区域
例题2 画出下列不等式组表示的平面区域．
．
[分析] 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
[解析] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域为图中阴影部分（包括边界）．
『规律总结』 1．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：
①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），从Ax0＋By0＋C的正负判断．
〔跟踪练习2〕画出不等式组
表示的平面区域．
[解析] 不等式2x－y－1≥0表示的平面区域是直线2x－y－1＝0下方区域（包括直线上的点）；不等式x>－y即x＋y>0，表示的区域是直线x＋y＝0上方区域（不包括直线）；x≤3表示的区域为直线x＝3的左侧区域（包括直线）；不等式组表示的区域为三个平面区域的公共部分，如图中的阴影部分．
命题方向3 ⇨用二元一次不等式组表示已知平面区域
例题3 画出以A（3，－1）、B（－1,1）、C（1,3）为顶点的△ABC的区域（包括边界），用二元一次不等式组表示该区域．
[分析] 利用直线方程的点斜式，可求得边界所在的直线方程，取△ABC内的特殊点检验，可得所求不等式组．
[解析] 如图所示，则直线AB、BC、CA所围成的区域就是所求△ABC的区域，
直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0．
在△ABC内取一点P（1,1），代入x＋2y－1，得1＋2×1－1＝2>0．所以直线x＋2y－1＝0对应的不等式为x＋2y－1>0．把P（1,1）代入x－y＋2，得1－1＋2>0；
代入2x＋y－5，得2×1＋1－5<0．因此对应的不等式分别为x－y＋2>0,2x＋y－5<0．又因为所求区域包括边界，所以所求区域的不等式组为
．
『规律总结』 已知平面区域，用不等式（组）表示，其一般步骤是
①求出边界的直线方程；
②确定不等号，从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号．
〔跟踪练习3〕试用不等式组表示由x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域（包括边界）．
[解析] 直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0,2x＋y＋1＝0表示的三角形区域如图阴影部分所示．取区域内的点（－
，0）验证：
－
＋0＋2＝
>0，－
＋0＋1＝－
<0，
2×（－
）＋0＋1＝－2<0．∴所求区域用不等式组表示为
．
忽略边界虚实、位置不明致使表示平面区域失误
例题4 画出不等式组
表示的平面区域．
[错解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
[辨析] 错解中，画图时没有注意边界的虚实，且位置不明而致误．
[正解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
求平面区域的面积
例题5 不等式组
表示的平面区域的面积为（ B ）
A．
B．
C．
D．
[分析] 首先画出不等式组表示的平面区域，求出各直线的交点，再结合平面区域的形状确定直接求面积不是先分割再求面积．
[解析] 不等式组
表示的平面区域如图所示．
由
，得
．由
，得
．
由
，得
．∴A（
，
）、B（－2，－2）、C（8，－2）．
∴BC＝10，点A到边BC的距离d＝
－（－2）＝
．∴平面区域的面积为S＝
×10×
＝
．
1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的（ D ）
A．左上方 B．右上方
C．左下方D．右下方
[解析] 将（0,0）代入2x－y－6，得－6<0，可知（0,0）点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧，则所求区域在对应直线的右下方．
2．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的点是（ D ）
A．（0,0）B．（1,1）C．（0,2）D．（2,0）
[解析] x＝0，y＝0时，3x＋2y<6成立，x＝1，y＝1时，3x＋2y<6成立，
x＝0，y＝2时，3x＋2y<6成立，x＝2，y＝0时，3x＋2y<6不成立．故选D．
3．不等式组
表示的平面区域是（ B ）
[解析] 将（0,0）代入检验知点（0,0）满足x＋3y－6≤0，平面区域应在直线x＋3y－6＝0的下方，点（0,0）不满足x－y＋2<0，故平面区域应在直线x－y＋2＝0的上方，结合图形知选B．
4．不等式组
表示的平面区域的面积为__2__．
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图，
其面积S＝
×2×2＝2．
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式组
表示的区域为D，点P1（0，－2），点P2（0,0），则（ A ）
A．P1∉D，P2∉D B．P1∉D，P2∈D
C．P1∈D，P2∉DD．P1∈D，P2∈D
[解析] P1点不满足y≥3．P2点不满足y＜x和y≥3．∴选A．
2．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为（ A ）
A．
B．
C．
D．
[解析] 取原点O（0,0）检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D．
O点满足x－2y＋2≥0，排除C．∴选A．
3．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是（ B ）
[解析] 将（±1,0）代入均满足，故选B．
4．已知点（3,1）和（－4,6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是（ C ）
A．a<－7或a>24B．－24C．－77
[解析] 要使点（3,1）和（－4,6）在直线3x－2y＋a＝0的两则，必须且只需（3×3－2×1＋a）[3×（－4）－2×6＋a]<0即可，解得－75．不等式组
表示的平面区域是一个（ C ）
A．三角形B．直角梯形
C．梯形D．矩形
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点（0,1）代入（x－y＋5）（x＋y）＝4>0，知点（0,1）在不等式（x－y＋5）（x＋y）≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
6．不等式组
表示的平面区域的面积是（ B ）
A．18 B．36
C．72 D．144
[解析] 作出平面区域如图．
交点A（－3,3）、B（3、9）、C（3，－3），
∴S△ABC＝
[9－（－3）]×[3－（－3）]＝36．
二、填空题
7．点P（m，n）不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m、n满足的条件是__5m＋4n－1≤0__．
[解析] 由题意知点P不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，即为点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0．
8．若不等式组
表示的平面区域为I，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过I中的那部分区域的面积为
．
[解析] 如图所示，I为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD，而B（－2,0），O（0,0），C（0,1），D（－
，
），E（0,2），△CDE为直角三角形．∴S四边形BOCD＝
×2×2－
×1×
＝
．
三、解答题
9．画出不等式组
表示的平面区域．
[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直
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