∴当m=时,矩形EHDF的周长最大,最大值为;(8分)
第6题解图
(3)存在点P,使以点P,B,C为顶点的三角形是直角三角形.
如解图,设点P的坐标为(2,k),
∵B和C两点的坐标分别为(5,0),(0,-5),
∴BC==5,
①当∠CBP=90°时,
∵BC2+BP2=CP2,
∴(5)2+(5-2)2+(-k)2=22+(k+5)2,
解得k=3,
∴P1(2,3);(10分)
②当∠PCB=90°,
∵BC2+PC2=BP2,
∴(5)2+22+(k+5)2=(5-2)2+(-k)2,
解得k=-7,
∴P2(2,-7);(12分)
③当∠CPB=90°时,
∵PC2+PB2=BC2,
∴22+(k+5)2+(5-2)2+k2=(5)2,
解得k=1或k=-6,
∴P3(2,1),P4(2,-6),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,3),(2,-7),(2,1)或(2,-6).(14分)
7.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(2,0),B(-4,0)两点,直线y=2x-2交y轴于点D,过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点B关于直线y=2x-2对称的点E的坐标,判断点E是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线CE于点F,是否存在这样的点P,使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第7题图
解:
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(2,0),B(-4,0)两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2;
(2)点E在抛物线上,理由如下:
如解图①,设直线CD:
y=2x-2与x轴交于点N,过点E作EM⊥x轴,垂足为点M,
令y=2x-2=0,解得x=1,
∴点N的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,-2),
∵BN2=25,BD2=20,DN2=5,BN2=BD2+DN2,
∴BD⊥CD,
∵点B和点E关于点D对称,
∴BE=2BD,∴BE=4,
∵当x=-4时,y=2x-2=-10,
∴点C的坐标为(-4,-10),
∵BN=5,BC=10,
∴CN=5,
又∵∠MBE=∠BCN,∠CBN=∠BME,
∴△CBN∽△BME,
∴=,即=,
∴ME=4,
根据勾股定理得BM===8,
∴BM=8,∴OM=4,
∴点E的坐标为(4,-4),
当x=4时,
y=-x2-x+2=-×16-×4+2=-4,
∴点E在抛物线上;
第7题解图①
(3)存在,点P的坐标为(-1,)或(,)或(,-).
【解法提示】如解图②,设直线CE的解析式为y=kx+b′,
由
(2)得点C(-4,-10),E(4,-4),∴,解得,
第7题解图②
∴直线CE的解析式为y=x-7.
∵PF⊥x轴,设点P的坐标为(a,-a2-a+2),则点F的坐标为(a,a-7),
∴PF=|-a2-a+2-(a-7)|=|-a2-a+9|,
要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形,
∵PF∥BC,
∴PF=BC=10.
当-a2-a+9=10时,
解得a1=-4(舍去),a2=-1,
∴点P的坐标为(-1,),
当-a2-a+9=-10时,
解得a1=,
a2=,
∴点P的坐标为(,)或(,
-),
综上所述,存在点P,使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(-1,)或(,)或(,-).
8.如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A作直线AC∥x轴,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出相应点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第8题图
解:
(1)将点A(,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+bx中,得
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-x;
(2)设P点的坐标为P(m,m2-m),则D(m,-3),
∴PD=|m2-m+3|,AD=|m-|,
∵∠ACO=∠ADP=90°,
∴①当△ACO∽△ADP时,有=,
即=,
∴|m-|=|m2-m+3|,
∴(m-)=m2-m+3或-(m-)=m2-m+3,整理得m2-5m+12=0或m2-m=0,
解方程m2-5m+12=0得:
m1=4,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去);
解方程m2-m=0得:
m3=0,m4=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去);
此时P点的坐标为P(0,0)或P(4,6);
②当△ACO∽△PDA时,有=,
即=,
∴|m2-m+3|=|m-|,
∴(m2-m+3)=m-或-(m2-m+3)=m-,
整理得m2-11m+8=0或m2-7m+4=0,
解方程m2-11m+8=0,得:
m1=,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去);
解方程m2-7m+4=0,得:
m1=,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去);
此时P点的坐标为P(,-)或P(,-),
综上可知:
以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时,点P的坐标为:
P(0,0)或P(4,6)或P(,-)或P(,-);
(3)存在.在Rt△AOC中,OC=3,AC=,根据勾股定理得OA=2,
∵S△AOC=OC·AC=,S△AOC=S△AOQ,
∴S△AOQ=,
∵OA=2,∴△AOQ边OA上的高为,
如解图,过点O作OM⊥OA,截取OM=,
第8题解图
过点M作MN∥OA交y轴于点N,
∵AC=,OA=2,
∴∠AOC=30°,
又∵MN∥OA
∴∠MNO=∠AOC=30°,
∴在Rt△OMN中,ON=2OM=9,即N(0,9),过点M作MH⊥x轴交x轴于点H,
∵∠MNO=30°,∴∠MOH=30°,∴MH=OM=,OH=,即M(,),
设直线MN的解析式为y=kx+9(k≠0),
把点M的坐标代入得=k+9,即k=-,
∴y=-x+9,
联立得,
解得或,即Q(3,0)或(-2,15).
9.如图,抛物线经过原点O(0,0),与x轴交于点A(3,0),与直线l交于点B(2,-2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点C是x轴正半轴上一动点,过点C作y轴的平行线交直线l于点E,交抛物线于点F,当EF=OE时,请求出点C的坐标;
(3)点D为抛物线的顶点,连接OD,在抛物线上是否存在点P,使得∠BOD=∠AOP?
如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
第9题图备用图
解:
(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx,
将A(3,0),B(2,-2)代入y=ax2+bx中,
得,解得,
∴抛物线的解析式为y=x2-3x;
(2)设直线l的解析式为y=kx,
将B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k,
解得k=-1,
∴直线l的解析式为y=-x,
设点C的坐标为(n,0),则点E的坐标为(n,-n),点F的坐标为(n,n2-3n).
①当点C在点A的左侧时,如解图①所示,EF=-n-(n2-3n)=-n2+2n,OE==n,
∵EF=OE,
∴-n2+2n=n,
解得n1=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),n2=2-,
∴点C的坐标为(2-,0);
②当点C在点A的右侧时,如解图②所示,EF=n2-3n-(-n)=n2-2n,OE==n,
∵EF=OE,
∴n2-2n=n,
解得n1=0(C,E,F均与原点重合,舍去),n2=2+,
∴点C的坐标为(2+,0);
综上所述,当EF=OE时,点C的坐标为(2-,0)或(2+,0);
(3)存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,).
【解法提示】抛物线的解析式为y=x2-3x=(x-)2-,
∴顶点D的坐标为(,-),设抛物线的对称轴交直线l于点M,交x轴正半轴于点N,过点D作DG⊥OB于点G,过点P作PH⊥x轴于点H,如解图③所示,
∵直线l的解析式为y=-x,
∴∠MON=45°,
∴△ONM为等腰直角三角形,ON=MN=,OM=ON=,
∴DM=-=,
在Rt△DGM中,
∵∠DMG=∠NMO=45°,
∴Rt△DGM为等腰直角三角形,
∴MG=DG=×=,
∴OG=OM+MG=+=.
设点P的坐标为(c,c2-3c),当点P在x轴下方时,如解图③所示,OH=c,HP=3c-c2,
第9题解图③
∵∠HOP=∠BOD,
∴tan∠HOP=tan∠BOD,
∴=,即=,
解得c1=0(P点与O点重合,舍去),c2=,
∴点P的坐标为(,-);
当点P在x轴上方时,如解图④所示,OH=c,HP=c2-3c,
第9题解图④
同理可得=,
解得c1=0(P点与O点重合,舍去),c2=,
∴P点的坐标为(,).
综上所述,存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,).
10.在平面直角坐标系中,直线y=x-2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图①,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;
(3)如图②,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?
若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
图①图②
第10题图
解:
(1)直线y=x-2中,令y=0,解得x=4,
令x=0,解得y=-2,
∴点B(4,0),C(0,-2),
将点B(4,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c中,得,解得,
∴二次函数的表达式为y=x2-x-2;
第10题解图①
(2)如解图①,过点D作DE∥y轴,交BC于点E,
设点D的坐标为(x,x2-x-2)(-1∴DE=x-2-(x2-x-2)=-x2+2x,
∴S=S△CDE+S△BDE=(-x2+2x)×4=-x2+4x=-(x-2)2+4,
∴当x=2时,S有最大值,S的最大值为4;
(3)存在,满足条件的点D的横坐标为2或.
【解法提示】令y=0,则x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=4,
∴A(-1,0),
∵B(4,0),C(0,-2),
∴AB2=52=25,AC2=12+(-2)2=5,BC2=42+22=20,
∴AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,如解图②,取AB的中点P,
第10题解图②
∴P(,0),
∴PA=PC=PB=,
∴∠CPO=2∠ABC,
∴tan∠CPO==
tan2∠ABC=,
过点D作x轴的平行线交y轴于点R,交BC的延长线于点G,连接CR,
①当∠DCM=2∠ABC=∠DGC+∠CDG,
∵DG∥x轴,
∴∠DGC=∠ABC,
∴∠CDG=∠ABC,
∴tan∠CDG=tan∠ABC==,即=,
设点D(x,x2-x-2),
∴DR=x,RC=-x2+x,
∴=,解得x1=0(舍去),x2=2,
∴点D的横坐标为2;
②当∠MDC=2∠ABC,
∴tan∠MDC=,
设MC=4k,∴DM=3k,DC=5k,
∵tan∠DGC==,
∴MG=6k,∴CG=2k,∴DG=3k,
∵∠MGD=∠RGC,∠DMG=∠CRG=90°,
∴