傅里叶级数课程及知识题讲解.docx
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傅里叶级数课程及知识题讲解
第15章傅里叶级数
§15.1傅里叶级数
一基本内容
一、傅里叶级数
f（x）anxn
在幂级数讨论中n1，可视为f（x）经函数系
1,x,x2,L,xn,L
线性表出而得．不妨称{1,x,x,L,x,L}为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．
1三角函数系
函数列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sinnx,L称为三角函数系．其有下面两个重要性质．
（1）周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；
（2）正交性任意两个不同函数的积在[,]上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．
对于一个在[
un（x）,um（x）
为
]可积的函数系un（x）:
x[a,b],n1,2,L，定义两个函数的内积b
un（x）
um（x）dx，
un（x）,um（x）
如果
mn
mn，则称函数系un（x）:
x[a,b],n1,2,L为正交系．
由于1,sinnx
sinnxdx
m
sinmx,
sinnx
sinmx
0m
cosnxdx
m
cosmx,
cosnx
cosmx
0m
sinmx,
cosnx
sinmx
cosnxdx
0
；
1,1
12dx
2
1
n
n；
；
n；
；
sinnxdx1cosnxdx0
所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系．
利用三角函数系构成的级数
a0
2
n1
ancosnxbnsinnx
称为三角级数，其中a0,a1,b1,L,an,bn,L为常数
2以2为周期的傅里叶级数
定义1设函数f（x）在
ak
上可积，
1f（x）,coskx1
f（x）coskxdxk0,1,2,L；
bk1f（x）,sinkx
f（x）sinkxdxk1,2,L，
ancosnxbnsinnx
称为函数f（x）的傅里叶系数，而三角级数a0
称为f（x）的傅里叶级数，记作
a0
f（x）～2
ancosnxbnsinnx
1
f（x）按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知
这里之所以不用等号，是因为函数其是否收敛于f（x）．
二、傅里叶级数收敛定理
定理1若以2为周期的函数f（x）在[,]上按段光滑，则
a0
2
ancosnxbnsinnxn1
f（x0）f（x0）
2
其中an,bn为f（x）的傅里叶系数．
定义2如果f（x）C[a,b]，则称f（x）在[a,b]上光滑．若
x[a,b）,f（x0）,f（x0）存在；
x（a,b],f（x0），f（x0）存在，
且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称
f（x）在[a,b]上按段光滑．
y
几何解释如图．
按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．
推论如果f（x）是以2为周期的连O续函数，且在[,x]上按
段光滑，则xR，
f（x）0ancosnxbnsinnx
2n1
定义3设f（x）在（,]上有定义，函数
f（x）f（x2k）
x（,]
x（2k,2k],k1,2,L
称f（x）为的周期延拓．
习题解答
1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数
（1）f（x）x,（i）x,（ii）0x2
当n
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
由系数公式得
11
a0f（x）dxxdx0
1时，
an
xcosnxdx
n
xd（sinnx）
sinnxdx0
bn
xsinnxdx
xd（cosnx）
xcosnx|
cosnxdx
（1）n12n，
所以
f（x）2（
n1
（ii）
1）n1sinnx
n，x（
）为所求．
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
由系数公式得
1212
a0f（x）dxxdx2
000
2
an
0
2
xd（sinnx）
bn
所以
（2）
xsin
2
nx|0
12
n0
sinnxdx0
xsinnxdx
xcosnxn
f（x）
f（x）=
2
xd（cosnx）
2
|20
sinnx
cosnxdx
，x
n，
（0,2）为所求．
2
x,
-π<
x<π,
（ii）0；
1
n
（i）
由系数公式得
22
a0
f（x）dx1
dx
1时，
x2cosnxdx
x2d（sinnx）
bn
所以
x2
sinnx|
xd（cosnx）
xcosnx|
2xsinnxdx
x2sinnxdx
2
cosnx|
xd（sinnx）
xsinnx|
f（x）
cosnxdx（
x2d（cosnx）
xcosnxdx
1）
n4
2
n，
1）n
sinnxdx
sinnx
2
n
）为所求．
a0
当n
bn
所以
解：
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
由系数公式得
12
0
1时，
12
0
f（x）dx
2x2
dx
82
3
x2cosnxdx
12
xn
2sinnx|
2
xd（sinnx）
2xsinnxdx
xd（cosnx）
2xcosnx|
x2sinnxdx
12
x
n
2
cosnx|0
f（x）
f（x）
42
2cosnxdx42
0n2，
22
xd（cosnx）
2
xcosnxdx
0
xd（sinnx）
2
xsinnx|0
2
sinnxdx
0
n，
cosnx
sinnx
x（0,2）为所求．
ax
bx
（3）
解：
函数f（x），x
（a
b,a
0,b0）
（
）作周期延拓的图象如下．
y
3O其按段光滑3，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得
1
f（x）dx10axdx1bxdx（ba）
02
0bxcosnxdx
[1
（1）n]a2b
n
101
bnaxsinnxdxbxsinnxdx
n0
（1）
f（x）
所以
n
（ba）
4
2（b
a）
1
2cos（2n1）x
1（2n1）2
n1sinnx
（ab）（
n1
1）n
n，x（,）为所求．
2设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c，有
1c21
ancf（x）cosnxdxf（x）cosnxdx,n0,1,2,L
1c21
bnf（x）sinnxdxf（x）sinnxdx,n1,2,L
c
证：
因为f（x），sinnx
cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令
1
f（x）cosnxdx
c2f（t2）cosn（t2
）d（t2）
从而an
an1
c+21
f（t）cosntdt
c2
f（x）cosnxdxc
f（x）cosnxdx
1
f（x）cosnxdxc
1
f（x）cosnxdx
c+2
c+2
f（x）cosnxdx
f（x）cosnxdx
bn
1
f（x）sinnxdx
f（x）sinnxdx
f（x）
3把函数
0x
4展开成傅里叶级数，并由它推出
（1）
（2）
111
L
1317
11
（3）
111
L
111317
解：
y
32
O23x
（
）作周期延拓的图象如下．
x
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
函数f（x），
由系数公式得
a0
f（x）dx
0dx1
4
dx
4
1时，
an
bn
[1
f（x）
（1）
cosnxdx
4
sinnxdx
4
1）n1]21n
n1
1sin（2n
2n1
2，则4
cosnxdx0
04
sinnxdx
04
1）x,
2k
2k
0）U（0,
）
为所求．
（2）
12
15
21
12
11
13
17
所以
x
取
3
6
3，则
11
5
4设函数
11
11
13
17
13
17
f（x）满足条件f（x
f（x）
，问此函数在
内的傅里叶级数具有
什么特性．
解：
因为f（x）满足条件所以f（x2）f（x
f（x）f（x），
）f（x），即f（x）是以2为周期的函数．
于是由系数公式得
1
a0
f（x）dx1
f（x）dx1f（x）dx
f（t
）dt
0f（x）dx
f（t
）dt
1
0f（x）dx
f（t
）dt
0f（x）dx0
当n
1时，
10
an
f（x）cosnxdx
f（x）cosnxdx
bn
故当b2k0．
1
f（t）cos（nx
1
）dxf（x）cosnxdx
1
（1）n1f（x）cosnxdx
2
f（x）cosnxdx
10
f（x
2k1
2k
f（x）sinnxdx
0f（x）sinnxdx
）f（x）时，函数
5设函数f（x）满足条件：
f（x什么特性．
解：
因为
所以f（x
1
f（x）满足条件
2）f（x
a0
f（x）dx1
f（t）dt
f（t
f（x）sinnxdx
2k1
2k，
f（x）在
内的傅里叶级数的特性是a2k0，
）f（x），问此函数在
内的傅里叶级数具有
f（x），
f（x），即f（x）是以2为周期的函数．于是由系数公式得1
f（x）dxf（x）dx
f（x）
2）dt
0f（x）dx
10f（x）dx
112
0f（t）dt0f（x）dx0f（x）dx
当n
an
1时，
1
01
f（x）cosnxdx
0
f（x）cosnxdx
1
f（t）cos（nxn）dx
1
f（x）cosnxdx
1
（1）n
f（x）cosnxdx
2
f（x）cosnxdx
2k
2k1
bn
10
f（x）sinnxdx
f（x）sinnxdx
f（x）sinnxdx
2k
2k1，
故当
0
f（x
f（x）时，函数
f（x）在
内的傅里叶级数的特性是a2k10，
cosnx,n0,1,2,L和sinnx,n1,2,L都是[0,]上的正交函数系，但[0,]上的正交函数系．
证：
就函数系{1,cosx,cos2x,L,cosnx,L
6试证函数系
他们合起来的却不是
}，
因为n，1,10dx，
cosnx,cosnx0cos2nxdx10（cos2nx
1）dx
2，
1,cosnxcosnxdx0又0；
m,n，mn时，
cosmx,cosnxcosmxcosnxdx
11
cos（mn）xdxcos（mn）xdx
所以{1,cosx,cos2x,L,cosnx,L}在[0,就函数系{sinx,sin2x,L,sinnx,L}，因为n，
]上是正交系．
sinnx,sinnx
21
0sin2nxdx20（1cos2nx）dx2
又m,n，mn时
sinmx,sinnx
0sinmxsinnxdx
0cos（m
n）xdx
cos（mn）xdx0
]上的正交系．
实因：
1,sinx
0sinxdx10
所以{sinx,sin2x,L,sinnx,L}在［0,］上是正交系．但{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,L,sinnx,cosnx,L}不是［0,
7求下列函数的傅里叶级数展开式
x
f（x）,0x2
（1）2；
x
f（x）,0x2
解：
2y作周期延拓的图象如下．
2
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
由系数公式得
12
0
a0
f（x）dx
xdx0
2
当n
1时，
12
0
xcosnxdx
2
12x
d（sinnx）
n02
bn
所以
（2）
解：
x
2n
12
0
2n
f（x）
2sinnx|
1
2n
x
sinnxdx
2
xcosnx|2
sinnx
2
sinnxdx0
0
2x
d（cosnx）
1
2n
cosnxdx
n，
x
f（x）1cosx,
（0,2）为所求．
x；
f（x）1cosx,
x作周期延拓的图象如下．
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．
f（x）1cosx
2sin2x
2sin2x
x0
因为
2sinx
2
所以由系数公式得
1
a0
f（x）dx
sinxdx
2
0sin2xdx
42
当n
1时，
2
x
sincosnxdx
2
bn
22
f（x）
所以
而x
f（x）故
（3）
解：
a0
当n
an
bn
sinxcosnxdx
2
sinxsinnxdx
2
n1
xsincosnxdx
2
42
2
（4n21）．
2sinxsinnxdx
02
1
2cosnx
4n21
f（0）
2
时，
2242
f（x）ax2
bx
（i）由系数公式得
1
1时，
1
f（x）d
2
（ax
（ax2
（ax2n
4a
2
n
bx
bx
f（0）
1n14n2
c,（i）0
c）dx
，x
f（
）
cosnx
1
，x
]为所求．
（ii）
x；
2b
2c
c）cosnxdx
bxc）sinnx|
2
0（2ax
22
（ax2bxc）sinnxdx
（ax2
bx
c）cosnx
（2axb）cosnxdxn0
n，
f（x）ax2bxc故
42a
4a
2cosnxn1n
4a2b
sinnx,xn
（0,2
）
为所求．
（ii）由系数公式得
a0
f（x）dx
（ax2bxc）dx
2c
当n1时，
12
an（axbxc）cosnxdx
bn
1（ax2bxn
（1）
（ax2
bx
（ax2
bx
12b
n
2ax
bx
c）sinnxdx
1
c）cosnx|
n
f（x）
c
（1）n
4a
2n，
c）sinnx|
（2ax
（2ax
b）sinnxdx
b）cosnxdx
22a
3
1）n
4a
2cosnxn2
（1）n2bsinnx,
n
）
为所求．
当n
1时，
an
1chxcosnxdx
11chxsinnx|nn
shxsinnxdx
1
2shxd（cosnx）n2
chxdx
2sh
（4）f（x）chx,
解：
由系数公式得
11a0f（x）dx
x；
所以
bn
n1112shxcosnx|
chxcosnxdx
（1）
n2sh
2
n
1
2an
n
an
1）n
2sh
（n21）
chxsinnxdx
chxd（cosnx）
chxcosnx|
shxcosnxdx
shxd（sinnx）
所以
bn
f（x）故
（5）
解：
a0
shxsinnx|
chxsinnxdx
1shxsinnx|
chxsinnxdx
1
2bnn，
0，
chx2sh
f（x）shx,
由系数公式得
f（x）dx
（
n1
1）
n1
2cosnxn21
x（,）为所求．
shxdx
1shxcosnx
chxcosnxdx
1）n
1）n
1）n
2shn
2sh
n
12sh
n
chxd（sinnx）
21chxsinnx|n2
12bnn，
所以
n12nshx
bn
1）n1（n22nsh1x）
f（x）shx
1）n
12nsh
（n2
1）
sinnx
x（
）为所求．
解：
求函数
f（x）
1
12（3x
2）
的傅里叶级数展开式并应用它推出
12
2n1n
f（x）
ax2bxc
42a
3
x（0,2
4a4a2b
2cosnxsinnx,n2
f（x）
1（3x26x
12
2）
n1
1
2cosnxn2
n1n
1
2cosnx
（0,2）
而f（0
0）f（2
0）
6，
故由收敛定理得
f（00）
f（2
0）
1
2cos0
1n2
f（x）cosnxdx
bn
1
f（x）cos
nx|
f（x）sinnxdxnbn
1
f（x）sin
nx|
f（x）cosnxdxnan
9
设f（x）为,
上光滑函数，
f（）
f（）．且an,
bn为f（x）的傅里叶系数，
an,bn
为f（x）的
导
函数
f（x）
的
傅里
叶系数
．证明
a00,
annbn,bn
nan
（n1,2,L）
．
证：
因为f（x）为
上光滑函数，
所以
f（x）
为,
上的连续函数，
故可积．
由系数公式得
a0
1f（x）dx
1
f（）f（
）0
an
1
当n1时，
故结论成立．
3
na
证：
则
n3bn
u0（x）设0
M
a0
2，
（x）在
M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数un（x）ancosnxbnsinnx，n1,2,L．
R上连续，且
n
0，
un
u0（x）
0，
un（x）
nansinnxnbncosnx亦在R上连续．
又
x
R，
un（x）
nansinnxnbncosnx
nannbn
2M
2n．
2M
而
2n
收敛，
所以
un（x）
nbncosnxnansinnx在R上一致收敛．
s（x）
a0
（ancosnxbnsinnx）
故设
2
n1
，则
s（x）（nancosnxnbnsinnx）un（x）
n1n1
s（x）
（
nancosnxnbnsinnx）
且
n
1
在R上连续．
a0
supn
（ancosnxbnsinnx）
10证明：
若三角级数2n1中的系数an,bn满足关系
15.2以2l为周期的函数的展开
基本内容
、以2l为周期的函数的傅里叶级数
xlt
设f（x）是以2l为周期的函数，作替换x，则
F（t）
flt
是以2为周期的函数，且f（x）在（l,l）上可积
F（t）在（,）上可积
F（t）:
a0
ancosntbnsinnt
于是
2
n1
其中
1an
1
F（t）cosntdt,bn
F（t）sinntdt
t令
xl得
F（t）
flt
f（x）
nxnx
sinntsin,cosntcosll
:
a0
nx
nx
f（x）
an
cos
bnsin
从而
2
n1
l
l．
an
1l
f（x）cos
nx
dx,
其中
ll
l
bn
1l
f（x）sin
nx
dx
lll．
上式就是以2l为周期的函数f（x）的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有
f（x0）f（x0）a0
nxnxancosbnsin
nlnl
其只含余弦项，故称为余弦级数．
f（x）是以2l为周期的奇函数，则f（x）cosnx奇，
同理，设
f（x）sinnx偶．
l
l
a
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