初中数学.docx
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初中数学
常见运用题复习；
1.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：
销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．
每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？
每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
最大的月利润是多少？
2.某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量（本）与每本纪念册的售价（元）之间满足一次函数关系：
当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本．
请直接写出与的函数关系式；
当文具店每周销售这种纪念册获得元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？
最大利润是多少？
3.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
．
设李明每月获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
如果李明想要每月获得元的利润，那么销售单价应定为多少元？
4.九班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表：
时间（天）
售价（元/件）
每天销量（件）
已知该商品的进价为每件元，设销售该商品的每天利润为元．
求出与的函数关系式；
问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于元？
请直接写出结果．
5.一个批发商销售成本为元/千克的某产品，根据物价部门规定：
该产品每千克售价不得超过元，在销售过程中发现的售量（千克）与售价（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
6.
售价（元/千克）
…
…
销售量（千克）
…
…
求与的函数关系式；
该批发商若想获得元的利润，应将售价定为多少元？
该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润（元）最大？
此时的最大利润为多少元？
6.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．
求关于的函数关系式，并求出的最大值．
若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．
7.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点．
求证：
该二次函数的图象与轴必有两个交点；
设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；
在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．
8.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点．
若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．
9.如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的函数表达式；
若点在抛物线上，且，求点的坐标；
如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值．
10.如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于、的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
求抛物线的解析式；
是否存在这样的点，使线段的长有最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
求为直角三角形时点的坐标．
11.如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
求这个抛物线的解析式；
作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？
最大值是多少？
在的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标．
12.已知：
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，
点，另抛物线经过点，为它的顶点．
求抛物线的解析式；
求的面积．
13.已知二次函数．
当二次函数的图象经过坐标原点时，求二次函数的解析式；
如图，当时，该抛物线与轴交于点，顶点为，求、两点的坐标；
在的条件下，轴上是否存在一点，使得最短？
若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
14.如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆经过点，过点作直线，使．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
15.如图，为的直径，点在上，为的中点，过点作直线于，连接、．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长．
16.如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
17.如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．
求证：
是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
18.如图，内接于，点在半径的延长线上，．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径长为，求由弧、线段和所围成的阴影部分面积．（结果保留和根号）
19.如图，点为斜边上一点，以为半径的与切于点，与交于点，连接．
求证：
平分；
若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
20.如图，在中，，是边上的一点，连接，使，是上的一点，以为直径的经过点．
求证：
是的切线；
若，的半径为，求阴影部分的面积．（结果保留根号和）
21.如图，将圆形纸片沿弦折叠后，圆弧恰好能经过圆心，的切线与延长线交于点．
若半径为，用扇形围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．
求证：
．
22.“端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用、、、表示）这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有多少人？
将两幅不完整的图补充完整；
若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是粽的概率．
23.某校以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：
篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项），根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图：
学生选择最爱的体育项目统计表
运动项目
频数（人数）
频率
篮球
羽毛球
乒乓球
跳绳
其它项目
请根据以上图表信息解答下列问题：
统计表中的________，________；
在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角为________度；
该学校共有名学生，据此估计有多少名学生最喜爱乒乓球？
将名最喜爱篮球的学生和名最喜爱羽毛球的学生编为一组，从中随机抽取两人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率．
24.为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其他活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
在这次调查中，一共抽查了________名学生，其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为________．扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为________度．
请你补全条形统计图．
若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率．
25.我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，：
特别好；：
好；：
一般；：
较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
本次调查中，张老师一共调査了________名同学，其中类女生有________名，类男生有________名；
将上面的条形统计图补充完整；
为了共同进步，张老师想从被调査的类和类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
26.据报道，“国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目．某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
接受问卷调查的学生共有________名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为________；请补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”、“石头”、“布”这三种手势中的一种，规则为：
剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平．若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率．
答案
1.每件玩具的售价定为元时，月销售利润恰为元．根据题意得：
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∵且为正整数，
∴当时，，（元），
当时，，（元），
答：
每件玩具的售价定为元或元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是元．
2.每本纪念册的销售单价是元；由题意可得：
，
此时当时，最大，
又∵售价不低于元且不高于元，
∴时，随的增大而增大，即当时，（元），
答：
该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元．
3.①销售单价定为元时，每月可获得最大利润；②李明想要每月获得元的利润，销售单价应定为元或元．
4.解：
当时，，
当时，
，
综上所述：
；当时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元；当时，，解得，
因此利润不低于元的天数是，共天；
当时，，解得，
因此利润不低于元的天数是，共天，
所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．
5.解：
设与的函数关系式为，根据题意得
，
解得．
故与的函数关系式为；根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元；与的函数关系式为：
，
∵，
∴当时，值最大，最大值是．
∴该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润（元）最大，此时的最大利润为元．
6.时有最大值．设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，
∴的横坐标的绝对值等于的横坐标的绝对值，
又∵直线的解析式为，
则．
由，得，
解得，，．
不合题意，舍去．
如图，当为对角线时，知与应该重合，．四边形为平行四边形则，横坐标为，代入得出为．
由此可得或或或．
7.解：
令，则
，
∵二次函数图象与轴正半轴交于点，
∴，且，
又∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；
令，
解得：
，，
由得，故的坐标为，
又因为，
所以，即，
则可求得直线的解析式为：
．
再向下平移个单位可得到直线；由得二次函数的解析式为：
．
∵ 为二次函数图象上的一个动点，
∴．
∴点关于轴的对称点的坐标为．
∴点在二次函数上．
∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，
当时，；当时，；
结合图象可知：
，
解得：
．
∴的取值范围为：
．
8.解：
依题意得：
，
解之得：
，
∴抛物线解析式为
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，
解之得：
，
∴直线的解析式为；设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．
把代入直线得，，
∴，
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；设，
又∵，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：
解之得：
；
②若点为直角顶点，则即：
解之得：
，
③若点为直角顶点，则即：
解之得：
，；
综上所述的坐标为或或 或．
9.解：
把，代入，得
，
解得．
故该抛物线的解析式为：
．
由知，该抛物线的解析式为，则易得．
∵，
∴．
整理，得或，
解得或．
则符合条件的点的坐标为：
或或；设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得．
即直线的解析式为．
设点坐标为，，则点坐标为，
，
∴当时，有最大值．
10.解：
∵在直线上，
∴，
∴，
∵、在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．设动点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
，
，
∵，
∴当时，线段最大且为．∵为直角三角形，
若点为直角顶点，则．
由题意易知，轴，，因此这种情形不存在；
若点为直角顶点，则．
如答图，过点作轴于点，则，．
过点作直线，交轴于点，则由题意易知，为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴．
设直线的解析式为：
，
则：
，解得，
∴直线的解析式为：
①
又抛物线的解析式为：
②
联立①②式，解得：
或（与点重合，舍去）
∴，即点、点重合．
当时，，
∴；
若点为直角顶点，则．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
如答图，作点关于对称轴的对称点，
则点在抛物线上，且．
当时，．
∴．
∵点、均在线段上，
∴综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或．
11.解：
∵分别交轴、轴于、两点，
∴、点的坐标为：
，，
将，代入得，
将，代入得，解得，
∴抛物线解析式为：
；如答图，设交轴于点，
则，．
∵，
∴．
又点在抛物线上，且，∴，
∴，
∴当时，有最大值；
由可知，，，．
以、、、为顶点作平行四边形，点的可能位置有三种情形，如答图所示．
当在轴上时，设的坐标为
由，得，解得，，
从而为或，
当不在轴上时，由图可知为与的交点，
易得的方程为，的方程为，
由两方程联立解得为
故所求的点坐标为，或．
12.解：
依题意：
，
解得
∴抛物线的解析式为令，得，，，
∴．
由，得
作轴于点，
可得．
13.解：
∵二次函数的图象经过坐标原点，
∴代入二次函数，得出：
，
解得：
，
∴二次函数的解析式为：
或；∵，
∴二次函数得：
，
∴抛物线的顶点为：
，
当时，，
∴点坐标为：
，
∴、；当、、共线时最短，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
解得：
，
∴最短时，点的坐标为：
．
14.解：
是切线．
理由：
连接．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是切线．由可知，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
15.解：
相切，连接，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相切；方法：
连接，
∵，，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
方法：
∵，
易得，
∴，
∴．
16.解：
与相切．
证明：
连接．
∵是的平分线，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，即．
又∵过半径的外端点，
∴与相切．设，则，
根据勾股定理得：
，即，
解得：
，即，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
则阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
17.证明：
连接．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．即，
∴是的切线．
解：
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为：
．
18.解：
直线与相切，
∵在中，，
又∵，
∴是正三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴直线与相切．由得是，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19.证明：
∵切于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
设与交于点，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又由知，即，
∴四边形是菱形，则，，
∴，
∴．
20.证明：
连接，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；解：
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积
．
21.解：
设圆锥的底面圆半径为，
过作于，交于，连接，
有折叠可得，
∵，
∴，
∴在中，则，
∵，
∴，
∴弧的长为：
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵是的切线，
∴
∴，
∴，
∴．
22.本次参加抽样调查的居民由人；，，
补全统计图如图所示：
（人）
答：
该居民区有人，估计爱吃粽的人有人．如图：
（粽）．
23.["“,”"]根据题意得：
（人），
答：
估计有名学生最喜爱乒乓球；根据题意画树状图如下：
有表可知总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人都选择篮球的结果有种，所以抽取的两人都选择了最喜爱篮球的概率是．
24.，，．补全统计图如图：
画树状图如下：
∵共有种等可能结果，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的有种结果，
故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率是：
．
25.，，；如图所示：
根据张老师想从被调査的类和类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将类与类学生分为以下几种情况：
男
女
女
男
男男
女男
女男
女
女男
女女
女女
∴共有种结果，每种结果出现可能性相等，
∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
（一男一女）．
26.解：
根据题意得：
（名），“了解”人数为（名），
“基本了解”占的百分比为，占的角度为，
补全条形统计图如图所示：
根据题意得：
（人），
则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为人；列表如下：
剪
石
布
剪
（剪，剪）
（石，剪）
（布，剪）
石
（剪，石）
（石，石）
（布，石）
布
（剪，布）
（石，布）
（布，布）
所有等可能的情况有种，其中两人打平的情况有种，
则．
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