41线段射线直线.docx

41线段射线直线.docx

《41线段射线直线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《41线段射线直线.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

41线段射线直线

§4.1线段、射线、直线

一、教学目标

1．使学生在了解直线概念的基础上，理解射线和线段的概念，并能理解它们的区别与联系．

2．通过直线、射线、线段概念的教学，培养学生的几何想象能力和观察能力，用运动的观点看待几何图形．

3．培养学生对几何图形的兴趣，提高学习几何的积极性．

二、教学重点和难点

直线、射线、线段的概念是重点．对直线的“无限延伸”性的理解是难点．

三、教学手段

现代课堂教学手段

四、教学方法

启发式教学

五、教学过程

（一）、联系实际，提出问题

1．让学生举出实际生活中所见到的直线的实例（可请5～6位学生发言）．

2．教师总结：

铅笔、尺子、桌子边沿等都有长度，是可以度量的，它们都是直线的一部分，此时给出直线的概念“直线是向两个方向无限延伸着的．”继而提问“无限延伸”怎样解释，教师可形象的归纳出“直线是无头无尾、要多长有多长．”让学生闭起眼睛想象一下．

再提问：

在我们以前学过的知识中有没有真正是直线的例子？

（数轴）

3．通过前面学生所举的例子，给出线段定义“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．”

4．教师画出一条直线，并在直线上标出一条线段，然后擦掉一部分，只剩下一条射线，先看它与直线、线段的区别，后给出射线的定义：

“直线上的一点和它一旁的部分叫做射线．”

（二）、正确表示直线、射线和线段

1．直线的表示有两种：

一个小写字母或两个大写字母．但前面必须加“直线”两字，如：

直线l；直线m，直线AB；直线CD．（板书表示出来）

2．线段的表示也有两种：

一个小写字母或用端点的两个大写字母．但前面必须加“线段”两字．如：

线段a；线段AB．（板书表示出来）

3．射线的表示同样有两种：

一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字．如：

射线a；射线OA．（板书表示出来）

（三）、运动变化，找出联系

1．让学生找出三者之间的区别：

端点的个数，0个，1个，2个．

2．教师通过图示将线段变化为射线、直线．指出事物之间都不是孤立的，静止的，而是互相联系的，变化的．

（1）先画出线段AB，然后向一方延长，成为一条射线，再向相反的方向延长，成为一条直线．告诉学生：

线段向一方延长就会成为射线，向两方延长就会成为直线．因此，直线、射线都可以看作是由线段运动而成的．

（2）再画出一条直线，在直线上任找一点，擦掉一点一旁的部分，就成为一条射线，在射线上再找一点，两点之间的部分就成为一条线段．

（四）、回到实际，巩固概念

1．让学生举出生活中的直线、射线和线段的事例．如：

手电筒的光线，灯泡发出的光线等．

2．练习：

（1）如图1-1，A，B，C，D为直线l上的四个点．

问：

图中共有几条线段？

以C为端点的射线有哪几条？

（2）如图1-2，A，B，C为平面上的三个点，分别画出过点A，B；点A，C；点B，C的三条直线．

（3）如图1-3，P是直线l外一点，A是直线L上一点．过P，A作一条直线；过A作一条射线．

（4）如图1-4，图中共有多少条线段？

（五）、小结

1．教师提问：

（1）本节课你掌握了几个几何概念？

（2）直线、射线和线段三者之间的关系是什么？

（3）本节课应该理解哪几个关键词？

（4）在表示直线、射线和线段时应注意什么？

在学生回答的基础上教师给以完善和补充，并进一步强调三者之间的关系．同时指出这三个概念是平面几何的基础．

2．再设问：

直线还有什么性质呢？

为下节课讲直线的性质埋下伏笔．

六、练习设计

 p．11，1；p．12，3；p．14，1．2．

七、板书设计

§4.1线段、射线、直线

八、教学后记

§4.2比较线段的长短

一、教学目标

1．使学生在理解线段概念的基础上，了解线段的长度可以用正数来表示，因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算．使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识，从而初步了解数形结合的思想．

2．使学生学会线段的两种比较方法及表示法．

3．通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力．

二、教学重点和难点

对线段与数之间的关系的认识，掌握线段比较的正确方法，是本节的重点，也是难点．

三、教学手段

现代课堂教学手段

四、教学方法

启发式教学

五、教学过程

（一）、复习线段的概念，引出线段的长度的度量和表示

1．学生动手画出

（1）直线AB．

（2）射线OA．（3）线段CD．

2．提出问题：

能否量出直线、射线、线段的长度？

（如果有学生将直线、射线也量出了长度，借此复习直线和射线的概念．）

3．提出数与形的问题：

线段是一个几何图形，而线段的长度可用一个正数表示．这就是数与形的结合．

4．线段的两种度量方法：

（1）直接用刻度尺．

（2）圆规和刻度尺结合使用．（教师可让学生自己寻找这两种方法）

5．教师再讲表示法：

线段AB=7cm．

二、通过实例，引导学生发现线段大小的比较方法

教师设计以下过程由学生完成．

1．怎样比较两个学生的身高？

提出为什么要站在一起，脚底要在一个平面上？

2．怎样比较两座大山的高低？

只要量出它们的高度．

由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法：

重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置．教师为学生演示，步骤有三：

（1）将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合．

（2）线段AB沿着线段CD的方向落下．

（3）若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记AB=CD．

若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．

若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．

如图1-6．

教师讲授此部分时，应用几个木条表示线段AB和线段CD，这样可以更加直观和形象．也可以用圆规截取线段的方法进行．

数量比较法 用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比较．可以用推理的写法，培养学生的推理能力．写法如下：

因为 量得AB=××cm，CD=××cm，

所以 AB=CD（或AB＜CD或AB＞CD）．

总结：

现在我们学会了比较线段的大小，还会比较什么？

学生可以回答出，可以比较数的大小，进而再问：

数的大小如何比较？

（数轴）再问：

比较线段的大小与比较数的大小有什么联系？

引导学生得到：

比较线段的大小就是比较数的大小．

三、应用实例，变式练习：

1．如图1-7，量出以下图形中各条线段的长度，比较它们的大小．并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论？

2．如图1-8，根据图形填空．

AD=AB+______+______，AC=______+______，CD=AD-______．

3．如图1-9，已知线段AB，量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点．

4．如图1-10，根据图形填空，

（1）AB=______+______+______．

（2）AB-a=______+______．

（四）、小结

1．教师提问：

怎样表示线段的长度？

怎样比较线段的大小？

通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解？

2．根据学生回答的情况，教师重点总结数与形的结合以及比较线段大小的两种方法．

六、练习设计:

p．18，1．2题．p21，2．3．4题．

七、板书设计

§4.2比较线段的长短

八、教学后记

§4.3角的度量与表示

一、教学目标

1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法．

2．使学生掌握角的各种表示方法．

3．通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点．

4．使学生掌握平角、周角和直角的概念．

二、教学重点和难点

角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点．

三、教学手段

现代课堂教学手段

四、教学方法

启发式教学

五、教学过程

（一）、从实际生活中建立角的概念

1．问题的提出：

回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系．以后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想，在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？

（让学生思考几分钟后，举手发言，由于学生的几何知识还不多，因此可能举出的例子很少，或者有不妥之处，教师应加以鼓励并引导．）

2．教师总结：

三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角．这些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到，今天我们先学习角的有关概念．

3．让学生自己观察在实际生活中看到的角．（如：

桌子的角、钟表的时针和分针所成的角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等．）

4．教师提问：

通过同学们的例子，我们应该怎样给角下定义呢？

引导学生观察这些角的共同特点：

角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线．由此引导学生得到角的定义：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．

注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件

（1）有两条射线．这两条射线叫做角的两边．

（2）两条射线有一个公共的端点．这个公共的端点叫做角的顶点．（3）还应指出的是：

我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸．

5．教师提问钟表的指针是怎样形成角的？

学生能够回答：

一个指针在转．教师这时指出角的第二个定义：

一条射线OA由原来位置绕着它的端点O旋转到另一个位置OB所成的图形．（教师拿圆规演示出来射线的旋转情况，并在黑板上给出图形．）

注意对这一定义的理解：

（1）此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的．也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置．

（2）在此定义中，对运动的方向并没有要求．也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转．但要明确：

初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角．这一点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔．（教师在讲解过程中要加以演示）（3）要告诉学生OA叫做角的始边，OB叫做角的终边．而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角．

（二）、平角、周角和直角的概念

教师设计以下提问：

1．从角的第二定义出发，对射线OA的旋转可以到哪些特殊位置？

2．这些特殊的角之间有哪些关系？

针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义．

平角：

射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角．

周角：

射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时，所成的角叫做周角．

直角：

平角的一半叫做直角．

（三）、角的表示法

这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守．

1．角的内部和外部

角的内部：

射线旋转时经过的平面部分是角的内部．

角的外部：

平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部．

教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部进行讲解，使学生有一个感性的认识，如图1-16．

注：

角将平面分为三部分．即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点．

2．大写字母表示角：

规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，如图1-17．

以上四个角依次表示为：

∠ABC，∠BOE，∠CAN，∠BDC．

注意顶点的字母不一定用O，角的终边与始边的字母也可以随意．

在下面的图形中，我们将看一看平角和周角的表示方法，如图1-18．

左边的图为平角，记为∠AOB，右边的图为周角，记为∠AOB．注意周角由于终边与始边重合，所以OA与OB为同一条射线．标法如图．

3．用一个大写字母表示角：

如图1-17中的四个角也可以记为∠B，∠O，∠A，∠D．但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母．如图1-19．

左边的图中以O为顶点的角有三个∠AOC，∠COB和∠AOB，如果写∠O就不知道表示哪一个角，右边的图形中以A为顶点的角有六个，写成∠A后就会分不清表示的是哪一个角．因此用一个大写字母表示角的时候，一定要在不会发生混淆的情况下使用．

4．用一个希腊字母表示角：

方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如α，β，γ等，记作∠α，读作角α．如图1-20．

5．用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作∠1，读作角1．如图1-20，在一个顶点的角较多的情况下，也可以这样表示，如图1-21．

6．练习：

（1）如图1-22，将下面图形中的角分别用两种方法表示．

（2）写出图中大于直角且小于平角的角．（用三个大写字母表示）如图1-23．

（四）、总结

教师提问：

1．这节课我们都学习了哪些概念？

2．通过这节课你都认识了哪些角？

它们都怎样定义的?

学生回答后，教师再做总结．

（1）这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一个是用运动的观点．对第二定义的形式要加以重视．在此基础上，有了特殊角：

平角、周角、直角的概念．

（2）角的表示方法有四种：

用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字母表示；用一个阿拉伯数字表示．

六、练习设计

1．每人在实际生活中找出三到五个角的实例，其中包括直角、平角和周角．

2．如图1-24，指出每个图形中的所有直角．（直观判断）

3．如图1-25（a），指出下列每个图形中的所有小于180°的角．

4．

（1）任意画一个角∠AOB，在它的内部取一点E，作射线OE，用大写字母写出图中所有的角；

（2）任意画一个角∠EOF，在它的内部取两个点A，B，作射线OA，OB．用希腊字母表示图中所有的角．

七、板书设计

§4.3角的度量和表示

八、教学后记

§4.4角的比较

一、教学目标

1．使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法．

2．使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算．

3．使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式．

4．培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力．

二、教学重点和难点

重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义．

难点是角平分线定义的各种数学表达式．

三、教学手段

现代课堂教学手段

四、教学方法

启发式教学

五、教学过程

（一）、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法

1．类比联想，提出问题

前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题．

上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，以及角的和、差、倍、分的画法问题．（板书课题）

2．类比联想，探索解决问题的方法

（1）师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法．

（2）分组讨论，发现方法．

提出问题：

如图1-26（a），试比较∠AOB和∠COD的大小并画出∠AOB+∠COD．

教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：

（a）角大小比较的方法：

重叠法和度量法．

（b）角的和、差、倍、分的画法．

3．角的大小可以有两种比较方法：

重叠比较法和度量法．

（1）重叠比较法：

由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置．

角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外．（让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图1-26（b．）

记作：

∠AOB=∠COD

记作：

∠AOB＞∠COD

记作：

∠AOB＜∠COD

（2）度量法：

因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小．（注意写法）

例1 如图1-27，比较∠AOB与∠CDE的大小．

因为 量得∠AOB=35°，∠CDE=65°．

所以 ∠CDE＞∠AOB．

4．角的和、差、倍、分也可以有两种方法：

作图法和度量计算法．

（1）作图法：

在图中作出两个角的和、差、倍、分．

例2 已知∠AOB，∠CED且∠AOB＞∠CED，如图1-28．

求作（i）∠AOB与∠CED的和；

（ii）∠AOB与∠CED的差；

（iii）∠CED的二倍．

教师在黑板上以草图的形式为学生演示，依照线段的和、差、倍、分的作法，从而发现作图中的问题，怎样做一个角等于已知角．由于这个基本作图没学，因此作图法暂时不能具体操作，所以目前切实可行的方法只有度量计算法．

（2）度量计算法．

依然选用例2，解法如下

解：

量得∠AOB=50°，∠CED=20°，

∠AOB与∠CED的和是70°．

∠AOB与∠CED的差是30°．

∠CED的二倍是40°．

练习

（1）如图1-29，∠AOB=130°，∠AOE=50°，∠OEA=60°，求∠BOE，∠OEB．

（2）如图1-30，量出∠BAC，∠ABD，∠BDC，∠ACD的度数，并求出四个角的和，∠BAC与∠ACD的和．

（3）如图1-31，已知∠A=∠B=25°，若∠A+∠B+∠BCA=180°，求∠ACE．

二、角平分线的概念

教师提问：

1．回忆怎样求线段的中点．

2．怎样平分一个角．

总结：

在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，因此我们下面重点研究角的二等分．将线段二等分的点，叫做线段的中点，由此，我们得一个新的概念——角平分线．

角平分线定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．

对这个定义的理解要注意以下几点：

1．角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段．如图1-32，它是由角的顶点出发的一条射线，这一点也很好理解，因为角的两边都是射线．

2．当一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式．如图1-32，可写成

因为 OC是∠AOB的角平分线，

所以∠AOB=2∠AOC=2∠COB，                          

（1）

∠AOC=∠COB，                                       

（2）

反过来，只要具备上述

（1）、

（2）、（3）、（4）中的式子之一，就能得到OC为∠AOB的角平分线．这一点学生要给以充分的注意．

练习：

1．画一个三角形ABC，然后作出这三个角的平分线．观察它们是否交于一点，如果交于一点，则交点的位置在哪里？

2．如图1-33，若∠AOB=∠COB=∠DOC，进行下列填空．

（1）∠AOD=（   ）+（   ）+（   ）；

（2）∠AOB=（   ）∠AOD；

（3）∠AOD=（   ）∠COB；

（4）∠DOB=（   ）=（   ）+（   ）．

（三）、总结

教师提问：

这节课我们都学习了哪些内容和主要的思维方法？

学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳．

1．学习的内容有三个：

（1）比较角的大小．

（2）角的和、差、倍、分．（3）角平分线的概念．

2．学习了类比联想的思维方法．

六、练习设计

1．用量角器量出图1-34中各角的度数，并比较∠B与∠CAE，∠ACD与∠BAC的大小．

2．如图1-35，1-36，∠AOD=∠BOC=90°，∠COD=42°，求∠AOC，∠AOB．

3．如图1-37，OC是∠AOB的角平分线，∠CAO=90°，∠CBO=90°，比较∠ACO与∠BCO的大小．

七、板书设计

§4.4角的比较

八、教学后记

§4.5平行

一、教学目标

1．使学生理解平行线的定义，掌握它的画法，培养学生画图的基本技能．

2．使学生理解平行公理及其推论．

3．通过观察图形，培养学生发现问题的能力．

4．初步培养学生从反面思考问题的能力．

二、教学重点和难点

行线的定义、画法以及平行公理和推论是重点，而推论的证明是难点．

三、教学手段：

现代课堂教学手段

四、教学方法：

启发式教学

五、教学过程

（一）、从旧的知识引入新的概念，给出平行线定义

问：

每人拿出两只笔表示直线，这两条直线之间有哪些位置关系呢？

请把你得到的结论用几何图形画出来．（如图2-40）

问：

这三种位置关系如果用两条直线的交点个数来表示，分别是几个交点？

（一个，没有、无数多个）

对两条直线相交的情况，以及三条直线相交的情况都已进行过研究，下面就要开始研究两条直线没有交点的情况，这样的两条直线叫做平行线．

1．定义：

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．

请大家想一想，在实际生活中平行线的实例．

（铁路的两条铁轨、两条高压电线、马路的两边等）

问：

“不相交的两条直线叫做平行线”，这一句话是否正确？

（或者问：

去掉“在同一平面内”是否可以？

）

（举出异面直线的情况，房屋、长方体的棱都可以．）

强调：

对重合的两条直线只看作一条，因此得到以下结论：

在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．

2．平行线的记法和画法．

（1）记法：

如图2-41

（1），直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，也可记作CD∥AB，因为两条直线平行是相互的．

（2）画法：

工具：

一把直尺和一块三角板或用两块三角板．（一块代替直尺）

教师演示：

并强调，①三角板要两贴紧，一斜边贴紧直线l，另一直角边贴紧直尺．②向下滑动，也可向上推动，都可以画出直线l的平行线，如图2-41

（2）．③如果将三角板换成两条直角边做两贴紧也能画出．如图2-41（3）．④直尺不能动．⑤不能徒手画．⑥两条线段平行，指它们所在的直线平行．

变式练习：

做直线l的平行线（如图2-41（4））

（二）、通过实践活动发现平行公理

1．实践活动

（1）已知直线l，能作几条直线平行于l．（答：

无数条）

（2）P为直线l外一点，过P点能作几条直线平行于l？

在学生实践的基础上，引导学生发现平行公理．

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

三、通过实践活动发现平行公理推论

1．实践活动：

如图2-41（5），已知直线l和直线外的点A，B，分别过A点和B点作l的平行线．

当学生作出图2-41（5）后，引导学生提出猜想．

2．猜想：

若AE∥l，BF∥l，则AE∥BF．

3．分析证明：

证明两条直线平行，只有根据定义，即从正面证明它们不相交，但这很不容易，因此我们从反面思考这个问题．

（这种思考问题的角度与书中证明“两条直线相交只有一个交点”时的思考是一样的）

在同一平面内的两条直线只有两种位置关系，不是平行就是相交．如果相交不成立，那么它们就一定是平行了，因此我们只要否定相交就可以了．

相交为什么不可能？

假定AE与BF相交于P，P点既在AE上，又在BF上，因为AE∥l，BF∥l，所以过P点有两条直线与l平行，这样就与平行公理矛盾，所以AE与BF不能相交，只能平行．这样我们就证明了一个重要结论．（引导学生用文字叙述）

4．平行公理的推论：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

推论的实质：

平行线具有传递性．

练习：

作图并填空．

（1）作∠BAC=90°．

（2）在∠BAC的一边AC上，依次截取AE=1厘米，EF=2厘米．

（3）过E作EP∥AB，过F作FG∥AB．

由作图填空．

因为EP∥______，FG∥______，（作图）

所以______∥______．（   ）

（四）、小结

1．教师先向学生提出问题．

本节课